2012年浙江高考理科数学试题与解析8250.pdf

-2021 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数学理科 选择题局部共50 分 一、选择题：本大 题 共 10 小题，每题 5 分，共 50 分在每题给出的四个选项中，只 有一项为哪一项符合题目要求的 1设集合 Ax|1x4，Bx|x 22x30，那么 A(CRB)A(1，4)B(3，4)C(1，3)D(1，2)【解析】A(1，4)，B(3，1)，那么A(CRB)(1，4)【答案】A 2i 是虚数单位，那么 3+i 1i A12iB2iC2iD12i 【解析】3+i 1i 3+i1+i 2 2+4i 2 12i【答案】D 3设 aR，那么“a1是“直线l1：ax2y10 与直线l2：x(a1)y40 平行的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当 a1 时，直线l1：x2y10 与直线l2：x2y40 显然平行；假设直线l1 与直线l2平行，那么有：a2 1a1 ，解之得：a1ora2所以为充分不必要条件【答案】A 4把函数 ycos2x1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，然后向左 平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是 第 1 页-【解析】把函数 ycos2x1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)得：y1cosx1，向左平移 1 个单位长度得：y2cos(x1)1，再向下平移 1 个单位长度 得：y3cos(x1)令 x0，得：y30；x1，得：y30；观察即得答案 2【答案】B 5设a，b 是两个非零向量 A假设|ab|a|b|，那么 ab B假设 ab，那么|ab|a|b|C假设|ab|a|b|，那么存在实数，使得ab D假设存在实数，使得ab，那么|ab|a|b|【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的，|ab|a|b|，那么 a，b 共线，即存 在实 数，使得ab如选项 A：|ab|a|b|时，a，b 可为异向的共线向量；选项 B：假设 ab，由正方形得|ab|a|b|不成立；选项D：假设存在实数，使得ab，a，b 可为同向的共线向量，此时显然|ab|a|b|不成立【答案】C 6假设从 1，2，2，9 这9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法共 有 A60 种 B63 种 C65 种 D66 种【解析】1，2，2，9 这9 个整数中有 5 个奇数，4 个偶数要想同时取 4 个不同的 数其和为偶数，那么取法有：4 个都是偶数：1 种；第 2 页-2 个偶数，2 个奇数：22 C5C460 种；4 个都是奇数：4 C55 种 不同的取法共有 66 种【答案】D 7设Sn是公差为 d(d0)的无穷等差数列an的前 n 项和，那么以下命题错误的是 A假设 d0，那么数列Sn有最大项 B假设数列Sn有最大项，那么 d0 C假设数列Sn是递增数列，那么对任意的 nN*，均有 Sn0 D假设对任意的 nN*，均有 Sn0，那么数列Sn是递增数列【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：1，0，1，2，3，满足数列Sn是递增数 列，但是 Sn0 不成立【答案】C 8如图，F1，F2分别是双曲线 C：22 xy 221 ab (a，b0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M假设|MF2|F1F2|，那么 C 的离心率是 A 23 3 B 6 2 C2D3 【解析】如图：|OB|b，|OF1|ckPQ b c b，kMN c 直线PQ为：y b c (xc)，两条渐近线为：y b a x由 b yxc()c b yx a ，得：Q(ac ca ，bc ca )；由 b yxc()c b-yx a ，得：P(ac ca ，bc ca )直线 MN为：y bc ca b (x c ac ca )，令 y0 得：xM 3 c 22 ca 又|MF2|F1F2|2c，3cxM 3 c 22 ca ，解之得：2 2c3 e a ，-a2 即 e 6 2 第 3 页-【答案】B 9设 a0，b0 aabb，那么 abA假设2223 aabb，那么 abB假设2223 aabb，那么 abC假设2223 aabb，那么 abD假设2223 aabb，必有 2a2a2b2 b 构造函数：22 x【解析】假设 2223fxx，那么 xx fx2ln220恒成立，故有函数 fx22x 在 x0 上单调递增，即 ab 成立其 余选项用同样方法排除【答案】A 10矩形 ABCD，AB1，BC2将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进展翻着，在翻着过程中，A存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D对任意位置，三直线“AC 与 BD，“AB 与 CD，“AD 与 BC均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进展翻着，观察在翻着过程，即可 知选项 C 是正确的【答案】C 非选择题局部共100 分 二、填空题：本大题共 7 小题，每题 4 分，共 28 分 11某三棱锥的三视图(单位：cm)如下图，那么该三 3 棱锥的体积等于_cm 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形，右侧面也是一直角三角形故体积等于 11 3121-23 第 4 页-【答案】1 12假设程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值是 _【解析】T，i 关系如以下图：T1 1 2 1 6 1 24 1 120 i23456 【答案】1 120 13设公比为 q(q0)的等比数列an的前 n 项和为Sn假设 S23a22，S43a42，那么 q_ 【解析】将 S23a22，S43a42 两个式子全部转化成用 a，q 表示的式子 1 即 aaq3aq2 111 233 aaqaqaq3aq2 11111 ，两式作差得：2322 a1qa1q3a1q(q1)，即：2qq30，解之得：3 qorq1(舍去)2 【答案】3 2 14假设将函数 5 fxx 表示为 25 fxa0a11xa21xa51x 其中 a0，a1，a2，a5为实数，那么 a3_【解析】法一：由等式两边对应项系数相等 a 5 1 即：4 Caa0a10 5543 31 CaCaa 55443 0 法二：对等式：25 5 fxxa0a11xa21xa51x 两边连续对x 求导三次得：22 60 x6a24a(1x)60a(1x)，再运用赋值法，令x1 得：606a3，即 a310 345【答案】10-第 5 页-15在 ABC 中，M 是 BC 的中点，AM3，BC10，那么 ABAC_【解析】此题最适合的方法是特例法 假设ABC 是以 ABAC 的等腰三角形，如图，AM3，BC10，ABAC34 cosBAC 34341029 23434 ABACABACcosBAC29【答案】29 16定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离曲线C1：yx 2a 到直线l：yx 的距离等于 C2：x2(y4)22 到直线l：yx 的距离，那么实数a_ 【解析】C2：x 2(y4)22，圆心(0，4)，圆心到直线l：yx 的距离为：0(4)222 d，故曲线C2到直线l：yx 的距离为 ddrd22 另一方面：曲线C1：yx 2a，令 y2x0，得：1 2a 到直线l：x，曲线C1：yx 2 yx 的距离的点为(1 2 ，1 4 a)，111(a)a 2447 d2a 224 【答案】7 4 2ax1)0，那么 a_17设aR，假设 x0 时均有(a1)x1(x【解析】此题按照一般思路，那么可分为一下两种情况：(A)(1)10 ax 2 xax10 ，无解；(1)10 ax(B)2 xax 10 ，无解 因为受到经历的影响，会认为此题可能是错题或者解不出 此 题 其实在 x0 的整个区间 上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负(如下答图)我们知道：函数y1(a1)x1，y2x 2ax1 都过定点 P(0，1)1 考察函数y1(a1)x1：令 y0，得 M(a1，0)，还可分析得：a1；2ax1：显然过点 M(1 a 1 ，0)，代入得：2 1 a a1a1-考察函数y2x，解之 10 第 6 页-得：a2，舍去 a2，得答案：a2【答案】a2 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 18(本小题总分值 14 分)在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，ccosA 2 3 ，sinB5cosC()求 tanC 的值；()假设 a2，求 ABC 的面积【解析】此题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。()cosA 2 3 0，sinA1cos25 A，3 又 5cosCsinBsin(AC)sinAcosCsinCcosA 5 3 cosC 2 3 sinC 整理得：tanC5 ()由图辅助三角形知：sinC 5 6 又由正弦定理知：ac sinAsinC ，故 c3(1)对角 A 运用余弦定理：cosA 2222 bca 2bc3 (2)解(1)(2)得：b3orb3 3 (舍去)第 7 页-ABC 的面积为：S 5 2 【答案】()5；()5 2 19(本小题总分值 14 分)箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球的 2 分，取出一个黑球的 1 分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的时机均等)3 个球，记随 机变量 X 为取出 3 球所得分数之和()求 X 的分布列；()求 X 的数学期望 E(X)【解析】此题主要考察分布列，数学期望等知识点。()X 的可能取值有：3，4，5，6 P(X3)3 5 3 9 C C 5 42 ；P(X4)21 CC 54 3 C 9 20 42 ;P(X5)12 CC 54 3 C 9 15 42 ；P(X6)3 4 3 9 C C 2 42 故，所求 X 的分布列为 X3456 P 5 42 2021 4221 155 4214 21 4221()所求 X 的数学期望 E(X)为：E(X)i 6 4 91 iP(Xi)21 【答案】()见解析；()91 21 20(本小题总分值 15 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 23 的菱形，且BAD 120，且 PA平面 ABCD，PA26，M，N 分别为 PB，PD 的中点()证明：MN平面 ABCD；()过点 A 作 AQPC，垂足为点 Q，求二面角 AMNQ 的平面角的余弦值【解析】此题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。()如图连接 BD.M，N 分别为 PB，PD 的中点，在 PBD 中，MNBD-8 页-又 MN 平面 ABCD，MN平面 ABCD；()如图建系：A(0，0，0)，P(0，0，26)，M(3 2 ，3 2 ，0)，N(3，0，0)，C(3，3，0)设 Q(x，y，z)，那么 CQ(x3，y3，z)，CP(3，3，26)CQCP(3，3，26)，Q(33，33，26)由 OQCPOQCP0，得：1 3 即：2326 Q(，2，)33 对于平面 AMN：设其法向量为 n(a，b，c)33 AM(，0)，AN=(3，0，0)22 那么 3 a 3 33 AMn0ab01 b 22 3 ANn0 3a0c0 31 n(，0)33 同理对于平面 AMN 得其法向量为 v(3，1，6)记所求二面角 AMNQ 的平面角大小为，那么 cos nv nv 10 5 所求二面角 AMNQ 的平面角的余弦值为 10 5 【答案】()见解析；()10 5 21(本小题总分值 15 分)如图，椭圆C：22 xy 2+21(ab0)ab 的离心率为 1 2 ，其左焦点到点 P(2，1)的距离为10不 过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分()求椭圆 C 的方程；-第 9 页-()求 ABP 的面积取最大时直线 l 的方程【解析】()由题：e c a 1 2 ；(1)左焦点(c，0)到点 P(2，1)的距离为：22 d(2c)110(2)由(1)(2)可解得：a24，b23，c21 所求椭圆 C 的方程为：22 xy+1 43 ()易得直线 OP 的方程：y 1 2 x，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中 y0 1 2 x0 A，B 在椭圆上，22 xy AA+1 43 22 xy BB+1 43 k AB yy3xx32x3 ABAB0 xx4yy42y2 ABAB0 设直线 AB 的方程为 l：y 3 2 xm(m0)，代入椭圆：22 xy+1 433330 22 xmxm 3 y-xm 2 显然 222(3m)43(m3)3(12m)0 12m12 且 m0 由上又有：xxm，yAyB AB 23 m 3|AB|1 k|AB xx|1kAB AB 2(xx)4xx1kAB ABAB 4 2 m 3 点 P(2，1)到直线 l 的距离为：d 31mm2 1kAB1kAB SABP 1 2 d|AB|1 2|m2|4 2 m 3 ，当|m2|4 2 m 3 ，即 m3orm0(舍去)时，(SABP)max 1 2 此时直线 l 的方程 y 31 x 22【答案】()22 xy+1 43 ；()y 31 x 22-第 10 页-22(本小题总分值14 分)a0，bR，函数 3 fx4ax2bxab()证明：当 0 x1 时，()函数 fx 的最大值为|2ab|a；()fx|2ab|a0；()假设1fx1 对x0，1恒成立，求 ab 的取值范围【解析】此题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。()()2 fx12ax2b 当 b0 时，fx12ax22b0 在 0 x1 上恒成立，此时 fx 的最大值为：f14a2bab3ab|2ab|a；当 b0 时，2 fx12ax2b在 0 x1 上的正负性不能判断，此时 fx 的最大值为：，()fxmaxf(0)f1max(ba)3ab max ba，ba 2 3ab，b2a|2ab|a；综上所述：函数 fx 在 0 x1 上的最大值为|2ab|a；()要证 fx|2ab|a0，即证 gxfx|2ab|a 亦即证 gx 在 0 x1 上的最大值小于(或等于)|2ab|a，3 gx4ax2bxab，令 2 gx12ax2b0 x b 6a 当 b0 时，2 gx12ax2b0 在 0 x1 上恒成立，此时 gx 的最大值为：g0ab3ab|2ab|a；当 b0 时，gx12ax22b在 0 x1 上的正负性不能判断，bgmaxxmaxg()，g1 6a 第 11 页-4b max，2 babba 36a 4b b6abab，36ab6a b2a，|2ab|a；综上所述：函数 gx 在 0 x1 上的最大值小于(或等于)|2ab|a 即 fx|2ab|a0 在 0 x1 上恒成立()由()知：函数 fx 在 0 x1 上的最大值为|2ab|a，且函数 fx 在 0 x1 上的最小值比(|2ab|a)要大 1fx1 对x0，1恒成立，|2ab|a1 取 b 为纵轴，a 为横轴 那么可行域为：b2a ba 1 和 b2a 3ab1 ，目标函数为 zab 作图如下：由图易得：当目标函数为 zab 过P(1，2)时，有 zmax3 所求 ab 的取值范围为：，3【答案】()见解析；()，3-第 12 页