第四章扭转12281.pdf

1 第四章 扭 转 题号 页码 4-4.1 4-5.2 4-7.2 4-8.3 4-9.4 4-11.6 4-13.7 4-14.9 4-19.9 4-20.10 4-21.11 4-22.12 4-23.14 4-24.16 4-26.17 4-27.18 4-28.20 4-29.21 4-33.22 4-34.22 4-35.24 4-36.25 （也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解）4-4 图示圆截面轴，AB 与 BC 段的直径分别为 d1 与 d2，且 d1=4d2/3。试求轴内的 最大扭转切应力。题 4-4 图 解：由题图可知，AB 段和 BC 段的扭矩分别为 T1 =2M，T2 =M AB 段内的最大扭转切应力为 2 1 2 2 2 2 0 3 6 1 6T1 =16(2M)33=13.5M 1max d 3(4d2)d 3 BC 段内的最大扭转切应力为 2max =16T2 d 3 =16M d 3 结论：轴内的最大扭转切应力为 max=16M/(d 3)。4-5 一受扭薄壁圆管，外径 D=42mm，内径 d=40mm，扭力矩 M=500Nm，切 变模量 G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为 R =1(D+d)=20.5mm，=D d=1mm 0 2 2 2 2 2 于是，该圆管横截面上的扭转切应力为 =T 2R2=500N 2 0.02052 0.001m2=1.894 108 Pa=189.4MPa 依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 该圆管表面纵线的倾斜角为 =189.4MPa =G=189.4 10 75 109 rad=2.53 10-3 rad 4-7 试建立薄壁圆管的扭转切应力公式，即式（4-7），并证明当 R 0 /10 时，该 公式的最大误差不超过 4.53%。解：我们设薄壁圆管的平均半径和壁厚分别为 R0 和 。微剪力 dA 对截面圆心（矩心）的微力矩为 R0dA，由构成关系知，该截面的扭矩为 T=A R0dA(a)由于中心对称，沿圆周方向大小不变；又由于管壁很薄，沿壁厚方向也可近似地认为是均 匀分布的。这样一来，式(a)可以写成 T=R0A(b)对于薄壁圆管，其横截面面积可表示为 A 2R0 (c)将式(c)代入式(b)，得薄壁圆管的扭转切应力公式为 3 0 2 2 3 2 =T 2R2 (4-7)设 R0/=，按照公式(4-7)计算的扭转切应力为 =T=T (d)2R0 2 按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径依次为 d=2R0 ，D=2R0+横截面的极惯性矩为 I =(D4 d 4)=(2R +)4 (2R )4 =R0 (4R2+2)p 32 由此可得 32 0 0 2 0 =T(R +)=T (2R +)=T(2 +1)(e)max I 0 2 R (4R2+2)0 3(4 2+1)p 0 0 将式(d)与式(e)作比较，即 max =T 2 2 3 3(4 2+1)=T(2 +1)4 2+1 2 (2 +1)当 =R0 =10 时，=4 10 +1 =0.9548 max 2 10 (2 10+1)可见，当 R0/10 时，按公式(4-7)计算 的最大误差不超过 4.53。4-8 图 a 所示受扭圆截面轴，材料的 曲线如图 b 所示，并可用 =C 1/m 表示，式中的 C 与 m 为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分 布图。题 4-8 图 解：这里是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到（见书中4-2 节）4 d (a)dx 根据题设，轴横截面上距圆心为 处的切应力为 d 1/m 由静力学可知（构成关系），C()dx d(b)A dA=C(dx)1/m (m+1)/mdA=T A(c)可取径向宽度为 d 的环形微面积作为 dA，即 dA=2d(d)将式(d)代入式(c)，可得 2C(d )1/m d/2 (2 m+1)/md=T 由此得 dx 0 (d )1/m =(3m+1)T (e)dx 2Cm(d)(3m+1)/m 2 将式(e)代入式(b)，并注意到 T=M，最后得到扭转切应力公式为 =M 1/m 2m 3m+1(d)(3m+1)/m 2 横截面上的切应力分布图（以某一半径上的分布为例）示如图 4-8。4-9 在图 a 所示受扭圆截面轴内，用横截面 ABC 和 DEF 与径向纵截面 ADFC 切出 单元体 ABCDEF（图 b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。题 4-9 图 5 x x x z z 2 z I 解：单元体 ABCDEF 各截面上的应力分布图如图 4-9(a)所示。根据图(a)，不难算出截面 AOO1 D 上分布内力的合力为 F=1 (d l)=4Tl x1 2 max 2 d 2 同理，得截面 OCFO1 上分布内力的合力为 F =2 4Tl d 2 方向示如图(c)。设 F 、F 1 2 作用线到 x 轴线的距离为 e ，容易求出 1 e=2 d=d z1 3 2 3 根据图(b)，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为 F =d/2 T cos()dd=8T z2 同理，左端面上的合力为 方向亦示如图(c)。0 0 I p 2 F =8T 1 3d 3d 设 F 作用线到水平直径 DF 的距离为 e（见图 b），由 z 2 y T 2 d/2 3 T Fz e y =得 0 cos p(2 )d 0 d =4 T ey =4 3d 8T=3d 32 0.295d 同理，F 作用线到水平直径 AC 的距离也同此值。1 6 y I y y z y y y z z x z y y 3 根据图(b)，还可算出半个右端面 DO1 E 上竖向分布内力的合力为 /2 F 3 =0 d/2 T 0 p sin(2 )d d=4T 3d 设 F 作用线到竖向半径 O1 E 的距离为 e z 2（见图 b），由 T /2 2 d/2 3 T F e=3 2 0 cos d 0 d =I p 8 得 ez 2=T 8 3d 4T=3d 32 0.295d 同理，可算出另半个右端面 O1 FE 以及左端面 AOB、OCB 上的竖向分布内力的合力为 F=F=F 4 1 2=4T 3d e 2 方向均示如图(c)。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为。由图(c)可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个 力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。M =0，F (2e )+F e F (2e )F e =T T=0 x y 4 z 2 z 2 y y1 z 2 z1 y 2 2 M y =0，F 2 l F 1 (2e )=1 8Tl 3d 8Tl =0 3d M z =0，F 4 l F 3 l=4Tl 3d 4Tl=0 3d 既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。上述讨论中，所有的T 在数值上均等于 M。4-11 如图所示，圆轴 AB 与套管 CD 用刚性突缘 E 焊接成一体，并在截面 A 承受扭 力矩 M 作用。圆轴的直径 d=56mm，许用切应力 1=80MPa，套管的外径 D=80mm，壁 厚 =6mm，许用切应力 2=40MPa。试求扭力矩 M 的许用值。7 W =3 3 4 题 4-11 图 解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于 M。1.由圆轴 AB 求 M 的许用值 M 1 由此得 M 1 max1 p1=16M 1 d 3 1 M d 1 =0.056 80 106 N m=2.76 103 N m=2.76kN m 1 16 16 2由套管 CD 求 M 的许用值 M 2 R =D =80 6 mm=37mm，=6mm R 10 0 2 此管不是薄壁圆管。2 0 =806 2=68=0.85 80 80 M 2 16M 2 max2 =Wp2 D3(1 4)2 由此得 M 2 D3(1 16)2 =0.0803 (1-0.854)40 106 16 N m =1.922 103 N m=1.922kN m 结论：扭力矩的许用值为 M =1.922kN m。4-13 图示阶梯形轴，由 AB 与 BC 两段等截面圆轴组成，并承受集度为 m 的均匀分 布的扭力矩作用。为使轴的重量最轻，试确定 AB 与 BC 段的长度 l1 与 l2 以及直径 d1 与 d2。8 1 已知轴总长为 l，许用切应力为 。解：1.求 d1 在截面 A 处有最大扭矩，其值为 题 4-13 图 Tmax1 =ml 由该截面的扭转强度条件 =Tmax1 =16ml max1 Wp1 d 3 得 d1=3 16ml (a)2求 d 2(l2)BC 段上的最大扭矩在截面 B 处，其值为 Tmax2 =ml2 由截面 B 的扭转强度条件可得 d =3 16ml2 2 3求V(l2)该轴的总体积为 V=d 2(l l)+d 2l 4 1 2 4 2 2 =(16ml)2/3(l l)+(16ml2)2/3 l 4 2 2 4求 l2 根据极值条件 dV=0 dl2 9 2 0 0 3 得 (16ml)2/3+(16m)2/3 5 l 2/3 =0 3 2 即 5.求 l1和d2 l =(3)3/2 l 0.465l 2 5 (b)l1=l l2=1 (3)3/2 l 0.535l 5 (c)d2 =(16m )1/3 l1/3=(3)1/2 3 5 16ml 0.775d1 (d)该轴取式(a)(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。4-14 一密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷 F=1kN 作用。设弹簧的平均直径 D=40mm，弹簧丝的直径 d=7mm，许用切应力 =480MPa，试校核弹簧的强度。解：由于 m=D=40=5.71 10 d 7 故需考虑曲率的影响，此时，8FD(4m2）8 1.00 103 0.040 (4 5.71+2)N max =d 3(4m 3)0.0073 (4 5.71 3)m2=3.72 108 Pa=372MPa 结论：max ，该弹簧满足强度要求。4-19 一薄壁圆管，两端承受扭力矩 M 作用。设管的平均半径为 R 0，壁厚为 ，管 长为 l，切变模量为 G，试证明薄壁圆管的扭转角为 =Ml 证明：解此证明题的思路是 薄壁圆管的扭转切应力为 2GR0 。=T Wp=M 2 R2 从而有 =G =M 2GR2 10 注意到切应变 代表了圆管母线 AB 的倾斜角，示如图 4-19。右端点 B 绕所在截面圆心转过 弧段 BB，在小变形条件下，其值 s=l=Ml 2 2GR0 弧段 BB所对应的圆心角，正是圆管右端面相对于左端面的扭转角，即 =s =Ml 3 R0 2GR0 4-20 图示圆锥形薄壁轴 AB，两端承受扭力矩 M 作用。设壁厚为 ，横截面 A 与 B 的平均直径分别为 dA 与 dB，轴长为 l，切变模量为 G。试证明截面 A 和 B 间的扭转角为 =2Ml（d A+d B)A/B G d 2 d 2 A B 题 4-20 图 证明：自左端 A 向右取坐标 x，轴在 x 处的平均半径为 式中，R(x)=1(d 0 2 A d d+B A l x)=1(d 2 A +cx)轴在 x 处的极惯性矩为 3 c=d B 1 d A l 3 3 I p =2R0 依据=2 2(d A+cx)=(d A+cx)4 d dx 得截面 A 和 B 间的扭转角为 =T(x)=GI p 11 3 4 M G(d A +cx)12 A|-2 l A/B=4M l G 0 d(d A+cx)c(d+cx)3=2M G c (d A+cx)0 =2Ml(1 1)=2Ml(d A+d B)G(d d )d 2 d 2 G d2 d 2 B A B A A B 4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为 已知常数。题 4-21 图(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。设 A、B 两端的支反力偶矩分别为 M A和M B，它们的转向与扭力矩 M 相反。由于左右 对称，故知 由 M x =0 可得 M A =M B M A +M B =2M A =2M 即 M A =M B =M (b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩 M B，示如图 4-21(b)。变形协调条件为 B =0 (a)13 B 利用叠加法求 B，得到 =Ma M(2a)+M B(3a)(b)B 将式(b)代入式(a)，可得 GI p GI p GI p 进而求得 1 M B =M 3 1 M A =3 M（转向与 M B 相反）(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到 M A、M B 的转向与 m 相反。M A =M B=ma 2 (d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩 M B，从变形趋势不难判断，M B 的转向与 m 相反。变形协调条件为 B =0 (c)利用叠加法求 B，得到（x 从左端向右取）B =B,m+B,M=a m(a x)dx M B(2a)=ma2 2M B a (d)0 GI p GI p 2GI p GI p 将式(d)代入式(c)，可得 进而求得 M=ma B 4 M A 的转向亦与 m 相反。M A =ma M B=3ma 4 说明：用书中例 4-7 介绍的方法求解本题，结果相同，但工作量要大一些。4-22 试确定图示轴的直径。已知扭力矩 M1=400Nm，M2=600Nm，许用切应力 =40MPa，单位长度的许用扭转角 =0.25()/m，切变模量 G=80GPa。14 2 3 3 解：1.求 M B，画扭矩图 题 4-22 图 此为静不定轴，设 B 端支反力偶矩为 M B，该轴的相当系统示如图 4-22(a)。用叠加法求 B，B =1 GI p 400 0.500 600 1.250+M B 2.500 将其代入变形协调条件B =0，得 M=(600 1.250 400 0.500)N m B 2.500m =220N m 该轴的扭矩图示如图 4-22(b).2.由圆轴扭转的强度条件求 d 由扭矩图易见，将其代入扭转强度条件，T max =380N m T 16 T max =max =max 由此得 Wp d d 3 16 T max=3 16 380m =0.0364m=36.4mm 40 106 15 3.由圆轴扭转的刚度条件求 d 将最大扭矩值代入 T 32 T max =max GI p 得 Gd 4 32 T d 4 max =4 32 380 180m4 =0.0577m =57.7mm G 80 109 0.25 结论：最后确定该轴的直径 d 57.7mm。4-23 图示两端固定阶梯形圆轴，承受扭力矩 M 作用。为使轴的重量最轻，试确定 轴径 d1 与 d2，已知许用切应力为 。解：解法 1 1.几何方面 题 4-23 图 此为静不定轴，本题从几何分析入手比较方便。解题思路为：d 2/d1 T d 2 在 M 作用下，M 所在截面 C 只有一个扭转角，故知变形协调条件为 AC =BC =C (a)这里足标中的 A和B 系指轴的左端面和右端面。2物理方面 依据剪切胡克定律，有 1max =1max，G 2 max =2 max G (b)要使轴最轻，只有使1 max =2 max =才能实现（等强度观点），由式(b)可得 1max =2 max(c)注意到 将式(d)代入式(c)，得到 1max =C(d1/2)，a 2 max =C(d2/2)2a (d)d 2 /d1 =2(e)16 p p p p p 1 1 3 3静力学方面 从 M 作用截面处取一轴段，由该轴段的力矩平衡条件，可得 T1+T2 =M(f)又从等强度要求可知，由此可得 T=W 1 ，T2 =W 2 联解方程(g)与(f)，得 T2 Wp=2 T W 1=(d2)3=8 d1 (g)进而由 T2 =8T1=8 M 9 d 3 8 T =2 =M 得到轴的直径为 2 16 9 解法 2 1静力学方面 d2 =3 16 8M 9 =2 16M =2d 9 1 设该轴左、右端的支反力偶矩分别为 MA 和 MB，并设它们均与 M 反向。由 M x =0 得 M A+M B M=0 或以扭矩表示为 2几何方面 T1+|T2|M =0 (a)设 M 所在截面为 C，可写出变形协调条件为 或写成 AC +CD =0 3.物理方面 AC=CB(b)AC =T1a ,CB =T2 2a (c)GI GI 1 2 17 p 4 d=p p W 3 d 2 3 将式(c)代入式(b)，得 T 2I p 1 =1 T I 2 2d1 4 2 (d)为使该轴最轻，引入等强度条件 1max =2 max =即 由此得 T 1 =W 1 T1 =T2 W 2 p1 =d1 (e)(f)比较式(d)和(f)，得|T2|Wp 2 2 d 2=2d1(g)将方程(a)与补充方程(f)联解，并注意到式(g)，有 进而由式(e)得到 T2 =8T1=8 M 9 3 由此可得 T =d 2 2 16=8 M 9 3 d2 =2 16 M 9 =2d1 4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷 F 作用。试求轴端的扭转角。已知 载荷 F=750N，轴 1 和轴 2 的直径分别为 d1=12mm 和 d2=15mm，轴长均为 l=500mm，摇臂长 度 a=300mm，切变模量 G=80GPa。题 4-24 图 18 解：这是静不定问题。变形协调条件为 1=2 或 1 =2 (a)这里，1 和 2 分别为刚性摇臂 1，2 在接触点处的竖向位移。设二摇臂的接触力为 F2，则轴 1 和 2 承受的扭矩分别为 T =F(a)F a，T=F a (b)物理关系为 1 2 2 2 2 =T1 l，T2 l (c)1 GI 2 GI p1 p2 将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),可得 d 4 F F =2 2 2(d 4 +d 4)1 2 由此得 2 =T2l GI=16Fal=G(d 4+d 4)16 750 0.300 0.500m 80 109 (0.0124+0.0154)m p 2 1 2=0.1004 rad=5.75o=|1|4-26 如图所示，圆轴 AB 与套管 CD 借刚性突缘 E 焊接成一体，并在突缘 E 承受 扭力矩 M 作用。圆轴的直径 d=38mm，许用切应力 1=80MPa，切变模量 G1=80GPa；套管 的外径 D=76mm，壁厚 =6mm，许用切应力 2=40MPa，切变模量 G2=40GPa。试求扭 力矩 M 的许用值。解：1.解静不定，求T1、T2 题 4-26 图 19 1 2 p p 1 2 2 p 1 2 3 4 此为静不定问题。静力学关系和变形协调关系分别为 T1+T2 =M 和 1 =2 (a)(b)物理关系为 =T1l1 ，T2 l2 (c)1 将式(c)代入式(b)，并注意到 G1 I p G2 I p 4 4 =76 12=0.8421，I 76 p 2 可得=D 32(1 4)，I 1=d 32 T=G1I p l2 T =2d 4 2 T =4 384 T =T (d)G2 I p l1 D4(1 4)3 2 3 764(1 0.84214)2 0.1676 2 将方程(a)与(d)联解，得 T2 =0.856M，T1 =0.144M 2由圆轴的强度条件定 M 的许用值 =T1 =16 0.144M 由此得 1max W 1 d 3 1 M d 1 0.0383=80 106 N m=5.99 103 N m=5.99kN m 16 0.144 16 0.144 3.由套管的强度条件定 M 的许用值 由此得 2 max =T2 W 2 =16 0.856M D3(1 4)2 M D3(1 )2 =0.0763 (1 0.84214)40 106 N m 16 0.856 16 0.856 =2.00 103 N m=2.00kN m 结论：扭力矩的许用值为 M=2.00kN m。4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体。该轴承受 扭力矩 M=100Nm 作用，试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为 s=80MPa 与 c=20MPa，切变模量分别为 Gs=80GPa 与 Gc=40GPa。20 解：1.解静不定，求Ts和Tc1 题 4-27 图 此为静不定问题。为看清楚起见，可将钢轴与铜管拆开，二者的受力图分别示如图 4-27(a)和(b)。静力学方面 Ts +Tc1 =M，Tc2 =Ts （a）几何方面 s =c =c1 =c2 （b）物理方面 s =Ts l G I ，c =(Tc1 Tc2)G I (l)2 (c)s ps c p c 将式(c)代入式(b)，并注意到式(a)中的第二式及 Gs /Gc =2，得 I pc(1+)Ts =Tc1 (d)I ps 将 =35=0.875，I=40 ps 0.0204 m 4 32 =1.571 10 8 m4 21 p p p p p p s c 代入式(d)，得 I pc =0.0404 32 (1 0.8754)m4 7.62Ts =Tc1 =1.040 10 7 m4 (e)再将式(e)代入式(a)中的第一式，得到 Ts =0.116M=11.6N m，Tc1 =0.884M=88.4N m 2校核强度 对于钢轴，s,max =Ts Wps=16 11.6N 0.0203 m2 =7.38 106 Pa=7.38MPa 对于铜管，c,max =Tc1 Wpc =16 88.4N 0.0403(1 0.8754)m2 =1.700 107 Pa=17.00MPa 结论：二者均满足扭转强度要求。4-28 将截面尺寸分别为 100mm90mm 与 90mm80mm 的两钢管相套合，并 在内管两端施加扭力矩 M0=2kNm 后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力矩 M0 后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。解：1.解静不定，求Ti、Te 此为静不定问题。内管两端施加 M 0 后，产生的扭转角为 =M 0 l 0 GI (a)i 去掉 M 0 后，有静力学关系 Ti =Te(b)几何关系为 i +e =0 (c)物理关系为 i =Ti l GI i ，e =Te l GI e (d)将式(d)和式(a)代入式(c)，得 Ti l +Te l =M 0 l GI GI GI i e i 22 p p p p e 或写成 由此得 Te =M 0 Ti I I e i I p Te =I(M 0 Ti)=1.395(M 0 Ti)(e)pi 将方程(e)与(b)联解，得 Ti =Te =0.5825M 0 =1.165kN m 2.计算最大扭转切应力 内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为 i,max =Ti W i=16 1165N 0.09031 (8/9)4 m2 =2.17 107 Pa=21.7MPa e,max=Te W e=16 1165N 0.1003 (1 0.94)m2=1.725 107 Pa=17.25MPa 4-29 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在 直径为 D=100mm 的圆周上，突缘的厚度为 =10mm，轴所承受的扭力矩为 M=5.0kNm，螺栓的许用切应力 =100MPa，许用挤压应力 bs=300MPa。试确定螺栓的直径 d。解：1.求每个螺栓所受的剪力 由 M 题 4-29 图 =0，6F(D)=M 得 2.由螺栓的剪切强度条件求 d x s 2 M Fs =3D 由此得 Fs =A 4M 3Dd 2 23 d 4M=4 5.0 103 m2 =1.457 10 2 m=14.57mm 3D 3 0.100 100 106 3.由螺栓的挤压强度条件求 d bs =Fb d =M 3D d bs 由此得 d M 3D =bs 5.0 103 m 3 0.100 0.010 300 106 =5.56 10 3 m=5.56mm 结论：最后确定螺栓的直径 d 14.57mm。4-33 图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm，b=160mm，1=3mm，2=4mm，T=6kNm。试求最大扭转切应 题 4-33 图 解：该薄壁杆截面中心线所围面积为 =(a-1 2 2 2 )(b-2)/4 =(0.200 0.0015 0.002)(0.160 0.004)m2/4 =2.41 10 2 m 2 由此得最大扭转切应力为 =T=6 103 N =4.15 107 Pa=41.5MPa max 2 min 2 2.41 10 2 0.003m2 4-34 图 a 所示等厚度薄壁圆管，内、外壁的半径分别为 R1 与 R2，即壁厚 =R2 R1。因加工原因，圆管内壁轴线与外壁轴线间存在偏差 e（图 b）。若图 a 和 b 所示圆管的许用扭 力矩分别为T0与T，试建立二者间的关系式，并计算当偏差 e=/10 与e=/2 时，许用 扭力矩的降低量（用T0的百分比表示）。24 0 2 2 0 0 题 4-34 图 解：对于等厚度薄壁圆管，平均半径和壁厚分别为 R1+R2 根据扭转强度条件 R0 =，=R2 R1 2 =T 2 R2 得 由此得 T 2(R1+R2 2 )(R2 R1)T =(R +R)2(R R)(a)0 2 1 2 2 1 对于有加工偏差 e 的变厚度薄壁圆管，平均半径同上，但最小壁厚成为 min =R2 R1 e 根据扭转强度条件 =T max R2 得 由此得 T 2(2 R1+R2 2 0 min )(R2 R1 e)T =(R +R)2(R R e)(b)2 1 2 2 1 比较式(b)和式(a)，不难找到二者的关系，其关系式为 T =T (R2 R1)e=T(1 e)(R2 R1)当偏差 e=/10 和 e=/2 时，T 与T0 的比值依次为 T /T0 =(1 和 1)=10 90 100 25 3 =1 2 T /T =(1 1)=50 0 2 即许用扭力矩的降低率依次为 10和 50。100 4-35 图示三种截面形状的闭口薄壁杆，若截面中心线的长度、壁厚、杆长、材料以 及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。题 4-35 图 解：由于三者中心线的长度相同，故有 2 (2b+b)=4a=d 由此得 b=d/6，a=d/4 据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的 ，其值依次为 =2b2 =2 d 2/18 =a 2 =2 d 2/16 d 2/4 依据 =T max 2 可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为 min 矩max：方max：圆max 依据=1.432：1.273：1 可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为 Tl ds 4G 2 矩：方：圆=2.05：1.621：1 结果表明：在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳，正方形截面 薄壁杆的次之，长方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大 其中心线所围的面积 ，这样对强度和刚度均有利。26 2 h 4-36 图示闭口薄壁杆，承受扭力矩 M 作用，试计算扭力矩的许用值。已知许用切 应力 =60MPa，单位长度的许用扭转角 =0.5()/m，切变模量 G=80GPa。若在杆上沿 杆件母线开一槽，则许用扭力矩将减少至何值。题 4-36 图 解：1.计算闭口薄壁杆扭力矩的许用值 由扭转强度条件 max =得 T 2 min T 2 min =2 0.100 0.300 0.003 60 106 N m 由扭转刚度条件=1.080 10 4 N m=10.80kN m T ds =4G 得 4G 2 T ds =4 80 109 (0.100 0.300)2 8.727 10 3 2 (0.300+0.100)0.003 N m 其中用到=9.43 10 3 N m=9.43kN m 比较可知，=0.5 180 rad/m=8.727 10 3 rad/m M =9.43kN m 2.计算开口薄壁杆扭力矩的许用值 由扭转强度条件 max =3T max n 3 i i i=1 得 27 3 n 3 n hii 6 T i=1 =60 10 3 max 由扭转刚度条件 2 (0.300+0.100)0.0033 N m=144.0N m 3 0.003 =3T 3 G hi i i=1 得 n Gh 3 i i T i=1 3=8.727 10 比较可知，80 109 2 (0.300+0.100)0.0033 N m=5.03N m 3 M 开=5.03N m 说明：本书 1999 年印刷时，题 4-36 图所示长、宽尺寸为横截面外边缘线长度，扭力矩的 两个许用值依次为M=8.82kNm 和M开=4.95Nm。