一题打下之椭圆28+20问16965.pdf
一题打下之椭圆（28 问）如图，长为2 3，宽为12的矩形 ABCD，以 A、B 为焦点的 椭圆 M：22221xyab恰好过 CD 两点 考点 1：静态方程思想（1）求椭圆 M 的标准方程 （2）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，=，求点 P 的坐标；（3）若直线1l：2ykx被椭圆 M 截得的弦长为4 25，求 k 的值 （4）若直线3l被椭圆 M 截得的弦恰以点（1，12）为中点，求直线3l的直线方程 （5）若直线1l：2ykx与椭圆 M 相交于 P、Q 两点，则是否存在 k,使得以 PQ 为直径的圆恰好经过原点，若存在请求出 k 的值，若不存在请说明理由 （6）记12,B B分别是椭圆 M 与 y 轴相交的下上顶点，若直线4l交椭圆 M 于 PQ 两点，问是否存在直线4l使得 B为2PQB的垂心。若存在请求出直线4l的方程，若不存在请说明理由 （7）过椭圆的下顶点且互相垂直的两直线 l1，l2与直线 y=x 分别相交于 E，F 两点，已知 OE=OF，求直线 l1的斜率 （8）过左焦点且互相垂直的两条直线分别交椭圆于 P、Q、M、N 四点，若四边形 PMQN 的面积为，求直线 PQ 的方程；如图，长为2 3，宽为12的矩形 ABCD，以 A、B 为焦点的 椭圆 M：22221xyab恰好过 CD 两点 考点 2：动中有静化归思想（1）记12,A A分别是曲线 M 与x轴相交的左、右顶点，若 P 是曲线 M 上的动点，判断12kkA PA P是否为定值，并说明理由。（2）若一条直线5l与椭圆 M 交于 PQ 两点，若以 PQ 为直径的圆过点2A（2，0），求证：直线5l恒过定点，并求出该定点的坐标。（3）设直线 l 不经过 T(0,1)且与椭圆相交于 P、Q 两点，若直线 TP 与 TQ 直线的斜率的和为1，证明：l 过定点 （4）直线5l与椭圆 M 交于 PQ 两点，若 PQ 的中点为 M,求证：PQOMkk为定值 （5）过点 T（0，1）作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 P，Q 两点求证：直线 PQ 恒过定点3(0,)5 （6）已知 M 是直线1x 上的动点且直线5l与椭圆相交于 PQ 两点恰以 M 为中点，过 M 点作直线5l垂线6l,求证直线6l恒过定点 （7）过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆的交于 PQ 两点，S 是椭圆的右顶点，直线 SP,SQ 分别与 y 轴交于点 M,N，问以 MN 为直径的圆是否恒过 x 轴上的定点？若恒过 x 轴上的定点，请求出该定点的坐标，若不恒过x 轴上的定点，请说明理由 （8）左焦点为，过 F 点的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点，交 y 轴的正半轴于点 M 设1MPPF，2MQQF，求证：1+2为定值 （9）椭圆的右顶点为 P，上顶点为 Q 已知四边形 PQMN 内接于椭圆 E，PQMN记直线 PM，QN 的斜率分别为 k1，k2，试问 k1k2是否为定值？证明你的结论 （10）直线 l：y=kx+m（k，mR）与椭圆交于 P，Q 两点，且 kOPkOQ=，求证：OPQ 的面积为定值 【意图】主要考查设而不求法解决椭圆中动中有静问题，如定点定值，三点共圆，等式的恒成立问题等，渗透数形结合思想，几何问题代数化的转化思想 考点 3：动态最值函数思想（1）若点00(,)P xy为椭圆上的动点，求PA PB的最值 （2）若点00(,)P xy为椭圆上的动点，求点 P 到直线40 xy距离的最小值，并求此时的 P 点的坐标 （3）若直线1l：2ykx与椭圆相交于 P、Q 两点，求POQS的最值 （4）若直线1l：2ykx与椭圆相交于 P、Q 两点，若原点在以 PQ 为直径的圆的内部，求 k 的取值范围 （5）变：若直线1l：2ykx与椭圆相交于 P、Q 两点，若原点在以 PQ 为直径的圆的外部，求 k 的取值范围 （6）若圆 O：x2+y2=1 的切线 l 与椭圆相交于 P、Q 两点，线段 PQ 的中点为 T，求|OT|的最大值 考点 4：光学性质，第二定义等（1）若点00(,)P xy为椭圆 M 上异于顶点的动点，求证：直线2l：00141x xy y与椭圆只有一个公共点 （2）求ACB的角平分线所在的直线方程 （3）若点00(,)P xy为椭圆 M 上的动点，R 为定点（0，4），过 P 点作垂线垂直于直线4 33x 垂足为 H，求32PRPH的最小值 （数形结合）（4）点 P 为直线0334 yx上任意一点，过点 P 作椭圆的切线 PM，PN，其中 M，N 为切点，求椭圆右焦点 F 到直线 NM 的距离的最小值。椭圆一题二十变式专题训练 设经过点 F（1,0）的直线l与椭圆2212xy交于 A，B 两点（1）若点 F 恰好为 AB 的中点，求直线l的方程；（答案：x=1）（2）若弦长4 2|3AB，求直线l的方程；（答案：(1)yx）（3）若以 AB 为直径的圆经过原点 O，求直线l的方程；（答案：2(1)yx）（4）若以 AB 为直径的圆恰好经过左焦点1F，求直线l的方程；（答案：7(1)7yx）（5）若点 M 恰好在椭圆上，使得OMOAOB，求直线l的方程；（答案：2(1)2yx）（6）若2AFFB，求直线l的方程；（答案：14(1)2yx）（7）若定点 C（0，13），使得|ACBC，求直线l的方程；（答案：10;1;(1)2yyxyx）（8）若动点 P 在 x=2 上，使得PAB 为正三角形，求直线l的方程；（答案：2(1)yx）（9）若动点 P 在 x=2 上，使得APPB，求直线l的方程；（答案：不存在）（10）若直线l的斜率为 1，使得ABD 为正三角形，求顶点 D 的坐标；答案：22 312 3(,)33 或22 312 3(,)33 （11）若4 2|3AB，点 T 在椭圆上使得TAB 面积为23，求点 T 的个数；（答案：个数为 4）（12）求AOB 面积的最大值；（答案：22）（13）求OA OB的取值范围；（答案：1 2,2）（14）若AOB 为锐角，求直线l的斜率 k 的取值范围；（答案：(,2)(2,)）（15）若点 S 是椭圆位于 x 轴上方的动点，直线12,AS A S与3x 交于 M，N 两点，求线段|MN的最小值；（答案为 2）提示：222|()(2)|2222mmMNmkk（这里 m=2,k0）（16）求平行四边形 OAPB 顶点 P 的轨迹方程；（答案：22220(0)xyxx）（17）求AOB 重心的轨迹方程；（答案：223260 xxy，去掉（0,0）（18）若点B与 B 关于 x 轴对称，证明：AB过定点；（答案：定点（2,0）（19）若过椭圆中心 O 的弦 MN 与 AB 平行，证明：2|MNAB为定值；（答案：定值2 2）（20）若点 P21(,)33在椭圆上，过点 G（3，0）直线交椭圆于 M，N 两点，证明：PMPNKK为定值（答案：定值2）
