全国通用版中考数学勾股定理与最值(一)—详解版17094.pdf

【例 1】在平面直角坐标系中，有 A（1，1）、B（3，2）两点，点 P 是 x 轴上一动点，则 PA+PB最小值为 。【A（1，1），点 A 关于 x称点 A（1，-1），接 AB 交 x于 P，此，PA+PB=AB 的最小，A作 ACBC，AB=，PA+PB 最小，1313【例 2】如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点 A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少?【如所示因两点之段最短，所以最短的爬行路程就是段 AB 的度在中，由勾股定理，得222311130AB 在中，由勾股定理，得22268100AB 因130100，所以中的 AB 的度最短，10cm，即需要爬行的最短路10cm【1.如图，两个村庄 A、B 在河 CD 的同侧，A、B 两村到河的距离分别为 AC1 千米，BD3 千米，CD3 千米现要在河边 CD 上建造一水厂，向 A、B 两村送自来水铺设水管的工程费用为每千米 20000 元，请你在 CD 上选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 W 【延AC 到点 M，使 CM=AC；接 BM 交 CD 于点 P，点 P 就是所的位置；在 RtBMN 中，BN=3+1=4，MN=3MB=5（千米），最短路AP+BP=MB=5 千米，最省的管道的用W=520000=100000（元），当水厂在 C 点，水管度=AC+AB=1+，13最省的管道的用W=（1+）2000092200（元），392200100000，答：最省的管道的用是 92200 元【2.如图，有一个圆柱体，它的高为 20，底面半径为 5如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为_.(取 3)【把柱面展开，展开如所示，点 A，B 的最短距离段 AB 的，BC=20，AC底面半弧，AC=515，所以 AB=25爬的最短路25，【3.如图，长方体的底面边长分别为 1cm和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm,如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕n圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm.【10；22 9 16n【4.如图所示，正方形 ABCD 的 AB 边上有一点 E，AE3，EB1，在 AC 上有一点 P，使EPBP 最短求 EPBP 的最小值【根据正方形的称性可知：BPDP，接 DE，交 AC 于 P，EDEPDPEPBP，即最短距离 EPBP 也就是 EDAE3，EB1，ABAEEB4，AD4，222223425EDAEAD ED0，ED5，最短距离 EPBP5【5.数形结合是重要的数学方法，我们利用数形结合可以巧妙的解决很多数学问题（1）如图，长方形 ABCD 的长 BC=8，宽 AB=6，点 P 是长方形内一点，则 PA+PC 的最小值为 ；点 P 是边 AD 上一点则 PB+PC 的最小值为 。（2）已知 a+b=6,m+n=8,且，则 s 的最小值为 2222nbmas。已知 x 为正数，且，求 p 的最小值3281622xxxp（3）已知（a、b 为正数）,求 M 的最小值2222204404Mbabbaa【（1）10；（2）10；（3）1013454【例 3】如图，在平面直角坐标系中，RtOAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上顶点 B 的坐标为（3，），点 C 的坐标为（，0），点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为 312ACPOBxy【作 A 关于 OB 的称点 D，接 CD 交 OB 于 P，接 AP，D 作 DNOA 于 N，此PA+PC 的最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3，），AB=，OA=3，B=60，由勾股定理得：OB=2，333由三角形面公式得：OAAB=OBAM，AM=，121232AD=2=3，NDA=30，AN=AD=，由勾股定理得：DN=，321232332C（，0），CN=3=1，在 RtDNC 中，DC=，121232223311322【例 4】如图，AOB30，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM1，ON3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MPPQQN 的最小值是_ 【作 M 关于 OB 的称点 M，作 N 关于 OA 的称点 N，接 MN，即MP+PQ+QN 的最小根据称的定可知：NOQ=MOB=30，ONN=60，ONN等三角形，OMM等三角形，NOM=90，在 RtMON中，MN=101.在锐角ABC 中，ABC=60，BC=2cm，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，点 M，N 分别是 BD和 BC 边上的动点，则 MN+MC 的最小值是 。3【答案 32.如图，在直角坐标系中有线段 AB，AB=50cm，A、B 到 x 轴的距离分别为 10cm 和 40cm，B 点到 y 轴的距离为 30cm，现在在 x 轴、y 轴上分别有动点 P、Q，当四边形 PABQ 的周长最短时，则这个值为（D）A50 B50 C50-50 D50+50 555 【B 点作 BMy交 y于 E 点，截取 EM=BE，A 点作 ANx交 x于 F 点，截取NF=AF，接 MN 交 x，y分P，Q 点，M 点作 MKx，N 点作 NKy，两交于 K 点MK=40+10=50，作 BLx交 KN 于 L 点，A 点作 ASBP 交 BP 于 S 点LN=AS=40KN=60+40=100MN=505MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50，四形 PABQ 的周=50+50553.如图：点 P 是AOB 内一定点，点 M、N 分别在边 OA、OB 上运动，若AOB=45，OP=32，则PMN 的周长的最小值为 6 。4.如图，在等腰三角形 ABC 中，ABC=120，点 P 是底边 AC 上一个动点，M，N 分别是 AB，BC 的中点，若 PM+PN 的最小值为 2，则ABC 的周长是 324 5.如图，AOB=30，点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分AOB，且 OP=6，当PMN 的周长取最小值时，四边形 PMON 的面积为 。54336 【解：分作点 P 关于 OA、OB 的称点 C、D，接 CD，分交 OA、OB 于点 M、N，接OC、OD、PC、PD点 P 关于 OA 的称点C，关于 OB 的称点D，PM=CM，OP=OC，COA=POA；点 P 关于 OB 的称点D，PN=DN，OP=OD，DOB=POB，OC=OD=OP=6，COD=COA+POA+POB+DOB=2POA+2POB=2AOB=60，COD 是等三角形，CD=OC=OD=6POC=POD，OPCD，OQ=6=3，233PQ=6-3，MQ=x，PM=CM=3-x，（3-x）2-x2=（6-3）2，解得 x=6-9，333MN=2MQ=12-18，SPMN=MNPQ，SMON=MNOQ，32121S 四形 PMON=SMON+SPMN=MNPQ+MNOQ=MNOP=（12-18）2121212136=36-543