2019年天津卷理数高考试题19880.pdf

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1至 2 页，第卷 3-5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷 注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件A、B互斥，那么()()()P ABP AP B.如果事件A、B相互独立，那么()()()P ABP A P B.圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R，则()ACB A.2 B.2,3 C.1,2,3 D.1,2,3,4 2.设变量,x y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy则目标函数4zxy 的最大值为 A.2 B.3 C.5 D.6 3.设xR，则“250 xx”是“|1|1x”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 A.5 B.8 C.24 D.29 5.已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l，若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且|4|ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.5 6.已知5log 2a，0.5og2.l0b，0.20.5c，则,a b c的大小关系为 A.acb B.abc C.bca D.cab 7.已知函数()sin()(0,0,|)f xAxA是奇函数，将 yf x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 g x.若 g x的最小正周期为2，且24g，则38f A.2 B.2 C.2 D.2 8.已知aR，设函数222,1,()ln,1,xaxaxf xxaxx若关于x的不等式()0f x 在R上恒成立，则a的取值范围为 A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e 第卷 注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110 分。二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.i是虚数单位，则51ii的值为 .10.83128xx是展开式中的常数项为 .11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .12.设aR，直线20axy和圆22cos,1 2sinxy（为参数）相切，则a的值为 .13.设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为 .14.在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE .三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c.已知2bca，3 sin4 sincBaC.（）求cos B的值；（）求sin 26B的值.16.（本小题满分 13 分）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（）用X表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件M发生的概率.17.（本小题满分 13 分）如图，AE 平面ABCD，,CFAEADBC，,1,2ADABABADAEBC.（）求证：BF 平面ADE；（）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长.18.（本小题满分 13 分）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为55.（）求椭圆的方程；（）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率.19.（本小题满分 14 分）设 na是等差数列，nb是等比数列.已知1122334,622,24abbaba，.（）求 na和 nb的通项公式；（）设数列 nc满足111,22,2,1,kknkkcncb n其中*kN.（i）求数列221nnac的通项公式；（ii）求2*1ni iiacnN.20.（本小题满分 14 分）设函数()e cos,()xf xxg x为 f x的导函数.（）求 f x的单调区间；（）当,4 2x 时，证明()()02f xg xx；（）设nx为函数()()1u xf x在区间2,242mm内的零点，其中nN，证明20022sincosnnnxxex.2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分.1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分.9.13 10.28 11.4 12.34 13.4 3 14.1 三.解答题 15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分 13 分.（）解：在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC，得3 sin4 sinbCaC，即34ba.又因为2bca，得到43ba，23ca.由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbBaa .（）解：由（）可 得215sin1 cos4BB，从 而15sin22sincos8BBB，227cos2cossin8BBB，故 153713 57sin 2sin2 coscos2 sin666828216BBB ，16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分.（）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为23，故23,3XB，从而3321(),0,1,2,333kkkP XkCk .所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 127 29 49 827 随机变量X的数学期望2()323E X .（）解：设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为Y，则23,3YB，且3,12,0MXYXY.由题意知事件3,1XY与2,0XY互斥，且事件3X 与1Y，事件2X 与0Y 均相互独立，从而由（）知()(3,12,0)(3,1)(2,0)P MPXYXYP XYP XY 82412 0(3)(1)(2)(0)2 7992 72 4 3P XP YP XP Y.17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分.依题意，可以建立以A为原点，分别以ABADAE，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD，(0,0,2)E.设(0)CFhh，则1,2,Fh.（）证明：依题意，(1,0,0)AB 是平面ADE的法向量，又(0,2,)BFh，可得0BF AB，又因为直线BF 平面ADE，所以BF 平面ADE.（）解：依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BDBECE .设(,)nx y z为平面BDE的法向量，则0,0,n BDn BE即0,20,xyxz 不妨令1z，可得(2,2,1)n.因此有4cos,9|CE nCE nCEn.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49.（）解：设(,)mx y z为平面BDF的法向量，则0,0,m BDm BF即0,20,xyyhz 不妨令1y，可得21,1,mh.由题意，有224|1cos,|343 2m nhm nm nh，解得87h.经检验，符合题意.所以，线段CF的长为87.18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分 13 分.（）解：设椭圆的半焦距为c，依题意，524,5cba，又222abc，可得5a，2,b 1c.所以，椭圆的方程为22154xy.（）解：由题意，设0,0PPpMP xyxM x，.设直线PB的斜率为0k k，又0,2B，则直线PB的方程为2ykx，与椭圆方程联立222,1,54ykxxy整理得2245200kxkx，可得22045Pkxk，代入2ykx得228 1045Pkyk，进而直线OP的斜率24510Ppykxk.在2ykx中，令0y，得2Mxk.由题意得0,1N，所以直线MN的斜率为2k.由OPMN，得2451102kkk ，化简得2245k，从而2 305k .所以，直线PB的斜率为2 305或2 305.19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分 14 分.（）解：设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q.依题意得2662,6124,qdqd解得3,2,dq故14(1)331,623 2nnnnannb.所以，na的通项公式为 31,nnanb的通项公式为3 2nnb .（）（i）解：222113 21 3 219 41nnxnnnnacab.所以，数列221nnac的通项公式为2219 41nnnac.（ii）解：22221111211nnniini iiiiiiiiiacaa caac 12212439 412nnnnii 2124 1 43 25 291 4nnnn 211*2725 212nnnn N.20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（）解：由已知，有()(cossin)xfxexx.因此，当52,244xkk()k Z时，有sincosxx，得 0fx，则 f x单调递减；当32,244xkk()k Z时，有sincosxx，得 0fx，则 f x单调递增.所 以，f x的 单 调 递 增 区 间 为32,2(),()44kkkf xZ的 单 调 递 减 区 间 为52,2()44kkkZ.（）证明：记()()()2h xf xg xx.依题意及（），有()(cossin)xg xexx，从而()2sinxg xex.当,4 2x 时，0gx，故()()()()(1)()022h xfxg xxg xg xx.因此，h x在区间,4 2 上单调递减，进而()022h xhf.所以，当,4 2x 时，()()02f xg xx.（）证明：依题意，10nnu xf x，即cos1nxnex.记2nnyxn，则,4 2ny，且 22ecosecos2ennyxnnnnnnNfyyxn.由 201nnfyefy及（），得0nyy.由（）知，当,4 2x 时，0gx，所以 g x在,4 2 上为减函数，因此 004ng yg yg.又由（）知，02nnnfyg yy，故 0222200002sincossincosnnnnnnynneeeefyyg yg yg yyxxey 剟.所以，20022sincosnnnxxex.