高中数学必修1知识点总结及题型16391.pdf

如果您想要完整电子版，关注后私信发送数字 333 即可！高中数学讲义必修一第一章复习 知识点一 集合的概念 1集合：一般地，把一些能够_对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象_构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母 A，B，C，来表示 2元素：构成集合的_叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母 a，b，c，来表示 3空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .知识点二 集合与元素的关系 1属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a_集合 A，记作 a_A.2不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a_集合 A，记作 a_A.知识点三 集合的特性及分类 1集合元素的特性 _、_、_.2集合的分类：(1)有限集：含有_元素的集合；(2)无限集：含有_元素的集合 3常用数集及符号表示 名称 非负整数集(自然数集)整数集 实数集 符号 N N*或 N Z Q R 知识点四 集合的表示方法 1列举法：把集合的元素_，并用花括号“”括起来表示集合的方法 2描述法：用集合所含元素的_表示集合的方法称为描述法 知识点五 集合与集合的关系 1子集与真子集 定义 符号语言 图形语言(Venn 图)子集 如果集合 A 中的_元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合B 的子集 _(或_)真子集 如果集合 A B，但存在元素_，且_，我们称集合 A 是集合 B 的真子集 _(或_)2.子集的性质(1)规定：空集是_的子集，也就是说，对任意集合 A，都有_(2)任何一个集合 A 都是它本身的子集，即_(3)如果 A B，B C，则_(4)如果 AB，BC，则_ 3集合相等 知识点六 集合的运算 1交集 2并集 自然语言 符号语言 图形语言 由_ _组成的集合，称为 A 与 B 的并集 AB_ 3.交集与并集的性质 交集的运算性质 并集的运算性质 AB_ AB_ AA_ AA_ A_ A_ A BAB_ A BAB_ 4.全集 在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_，那么就称这个集合为全集，通常记作_ 5补集 文字语言 对于一个集合 A，由全集 U 中_的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，记作_ 符号语言 UA_ 图形语言 典例精讲 题型一*判断能否构成集合 定义 符号语言 图形图言(Venn 图)集合相等 如果集合 A 是集合 B 的子集(A B)，且_，此时，集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合 A 与集合B 相等 AB 自然语言 符号语言 图形语言 由_ _ 组成的集合，称为 A 与 B 的交集 AB_ 1在“高一数学中的难题；所有的正三角形；方程 x220 的实数解”中，能够构成集合的是 。题型二*验证元素是否是集合的元素 1、已知集合ZnZmnmxxA,22，判断 3 是不是集合 A 的元素。2、集合 A 是由形如ZnZmnm,3的数构成的，判断321是不是集合 A 中的元素.题型三*求集合 1方程组 3xy22x3y27的解集是()A.x3y7 Bx，y|x3 且 y7 C3，7 D(x，y)|x3 且 y7 2下列六种表示法：x1，y2；(x，y)|x1，y2；1,2；(1,2)；(1,2)；(x，y)|x1 或y2 能表示方程组 2xy0，xy30的解集的是()A B C D 题型四 *利用集合中元素的性质求参数 1已知集合 Sa，b，c中的三个元素是ABC 的三边长，那么ABC 一定不是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 2.设 a，bR，集合1，ab，a0，ba，b，则 ba_.3.已知 Px|2xk，xN，kR，若集合 P 中恰有 3 个元素，则实数 k 的取值范围是_.4.已知集合 A 是由 0，m，m23m2 三个元素组成的集合，且2A，则实数 m 的值为()A2 B3 C0 或 3 D0 或 2 或 3 题型五 *判断集合间的关系 1、设ZkkxxM,412,ZkkxxN,214，则 M 与 N 的关系正确的是（）A.M=N B.NM C.NM D.以上都不对 2判断下列集合间的关系：(1)Ax|x32，Bx|2x50；(2)AxZ|1x3，Bx|x|y|，yA 题型六 *求子集个数 1已知集合 Ax|ax22xa0，aR，若集合 A 有且仅有 2 个子集，则 a 的取值构成的集合为_ 2.已知集合 A1，2，3，写出集合 A 的所有子集，非空子集，真子集，非空真子集 题型七 *利用两个集合之间的关系求参数 1.已知集合 A1,2，m3，B1，m，B A，则 m_.2已知集合 A1,2，Bx|ax20，若 B A，则 a 的值不可能是()A0 B1 C2 D3 题型八 *集合间的基本运算 1下面四个结论：若 a(AB)，则 aA；若 a(AB)，则 a(AB)；若 aA，且 aB，则 a(AB)；若 ABA，则 ABB.其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4 2已知集合 Mx|33，则 MN()Ax|x3 Bx|3x5 Cx|30，则 ST()A2,3 B(，23，)C3，)D(0,23，)5下列关系式中，正确的个数为()(MN)N；(MN)(MN)；(MN)N；若 M N，则 MNM.A4 B3 C2 D1 6(2016唐山一中月考试题)已知全集 Ux|x4，集合 Ax|2x3，Bx|3x2，求 AB，(UA)B，A(UB).题型九 *根据集合运算的结果求参数 1若集合 A2,4，x，B2，x2，且 AB2,4，x，则 x_.2设 Ax|x28x0，Bx|x22(a2)xa240，其中 aR.如果 ABB，求实数 a 的取值范围.3U1,2，Ax|x2pxq0，UA1，则 pq_.题型十 *集合中的新定义问题 1集合 P3,4,5，Q6,7，定义 P*Q(a，b)|aP，bQ，则 P*Q 的子集个数为()A7 B12 C32 D64 2当 xA 时，若 x1A，且 x1A，则称 x 为 A 的一个“孤立元素”，由 A 的所有孤立元素组成的集合称为 A 的“孤星集”，若集合 M0,1,3的孤星集为 M，集合 N0,3,4的孤星集为 N，则 MN()A0,1,3,4 B1,4 C1,3 D0,3 知识点一 函数的有关概念 知识点二 两个函数相等的条件 1定义域_2_完全一致 知识点三 区间的概念及表示 1一般区间的表示 设 a，bR，且 ab，规定如下：定义 名称 符号 数轴表示 x|axb 闭区间 x|axb 开区间 x|axb 半开半闭区间 x|aa x|xa x|xa 符号(，)a，)(a，)(，a(，a)知识点四 函数的表示方法 函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法 知识点五 分段函数 如果函数 yf(x)，xA，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的_，那么称这样的函数为分段函数 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的_，值域是各段值域的_ 知识点六 映射的概念 设 A，B 是两个_，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的_，在集合 B 中都有_确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 知识点七 函数的单调性 1增函数、减函数：设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数；当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 2函数的单调性：若函数 f(x)在区间 D 上是增(减)函数，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间 3单调性的常见结论：若函数 f(x)，g(x)均为增(减)函数，则 f(x)g(x)仍为增(减)函数；若函数 f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数；若函数 f(x)为增(减)函数，且 f(x)0，则1fx为减(增)函数 知识点八 函数的最大值、最小值 最值 类别 最大值 最小值 条件 设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足(1)对于任意的 xI，都有_(2)存在 x0I，使得_(1)对于任意的 xI，都有_(2)存在 x0I，使得_ 结论 M 是函数 yf(x)的最大值 M 是函数 yf(x)的最小值 性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值 知识点九 函数的奇偶性 1函数奇偶性的概念 偶函数 奇函数 条件 对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)f(x)f(x)结论 函数 f(x)是偶函数 函数 f(x)是奇函数 2.性质(1)偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称，奇函数在原点有定义，则 f(x)=0(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数 知识点十 函数的周期性 若存在非零常数 T，对定义域内任意 x，都有()f xTf x，称这样的函数为周期函数，T 叫函数的一个周期。如：若，则f xaf x ()典例精讲 题型一 *函数的定义域 1 函数 f(x)ln(x3)的定义域为()Ax|x3 Bx|x0 Cx|x3 Dx|x3 2函数 f(x)12x1x3的定义域为()A(3,0 B(3,1 C(，3)(3,0 D(，3)(3,1 3.函数234xxyx的定义域为 （）A 4,1 B 4,0)C(0,1 D 4,0)(0,1 4.已知函数 f(x)=12 mxmx的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是（）A.0m4 B.0m1 C.m4 D.0m4 5、若函数y)(xf的定义域是1，4，则y)12(xf的定义域是 6、若函数y)13(xf的定义域是1，2，则y)(xf的定义域是 题型二 *函数概念的考察 1 下列图象中，不可能成为函数 yf(x)图象的是()2 下列各组函数中表示同一函数的是（）A.y=55x和xy2 B.y=lnex和exyln C.3131xyxxxy和 D.xxyy001和 3 下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.2)1(1xyxy与 B111xxyxy与 C2lg2lg4xyxy与 D100lg2lgxxy与 4 已知函数 y=22x定义域为2,1.0,1，则其值域为 题型三 *分段函数的考察 1、已知函数3log,0()2,0 xx xf xx，则1()9f f A.4 B.14 C.-4 D-14 2、已知函数 f(x)112x，x0，1x，x0,f(x)=x2+x,求 f(x)解析式 3、设)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，并且xxxgxf2)()(，求)(xf。题型六 *函数的值域与最值 1、函数223yxx，4,1x的值域为 2、求函数51)(xxxf 4,1x的最大值和最小值。3、求函数324)(1xxxf 4,2x的最大值和最小值。题型七*函数性质的考察 1、写出函数)34(log)(221xxxf的单调递减区间 2、设二次函数 f(x)=x2-(2a+1)x+3(1)若函数 f(x)的单调增区间为,2，则实数 a 的值_；(2)若函数 f(x)在区间,2内是增函数，则实数 a 的范围_。3、定义在)1,1(上的奇函数1)(2nxxmxxf，则常数m_,n_ 4、已知函数()f x是(,)上的偶函数，若对于0 x，都有(2()f xf x），且当0,2)x时，2()log(1f xx），则(2008)(2009)ff的值为（）A2 B1 C1 D2 5、函数22log2xyx的图像（）A.关于原点对称 B.关于主线yx 对称 C.关于y轴对称 D.关于直线yx对称 6、函数 412xxfx的图象（）A.关于原点对称 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称 7、定义在 R 上的奇函数)(xf，满足(4)()f xf x,且在区间0,2上是增函数,则（）A.(25)(11)(80)fff B.(80)(11)(25)fff C.(11)(80)(25)fff D.(25)(80)(11)fff 8、已知偶函数()f x在区间0,)单调增加，则满足(21)fx1()3f的 x 取值范围()（A）（13，23）B.13，23）C.（12，23）D.12，23）9、定义在 R 上的偶函数()f x满足：对任意的1212,0,)()x xxx，有2121()()0f xf xxx.则()(A)(3)(2)(1)fff B.(1)(2)(3)fff C.(2)(1)(3)fff D.(3)(1)(2)fff 10、已知函数()f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有(1)(1)()xf xx f x，则5()2f f的值是 ()A.0 B.12 C.1 D.52 11、已知定义在 R 上的奇函数)(xf，满足(4)()f xf x,且在区间0,2上是增函数,若方程 f(x)=m(m0)在区间8,8上有四个不同的根1234,x xx x,则1234_.xxxx 12、已知函数 f(x)1ax2xb的图象经过点(1,3)，并且 g(x)xf(x)是偶函数(1)求函数中 a、b 的值；(2)判断函数 g(x)在区间(1，)上的单调性，并用单调性定义证明 基本初等函数、方程的根与函数的零点 知识点一 指数函数（1）根式的概念：如果,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根（2）分数指数幂的概念：正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam nN且1)n 0 的正分数指数幂等于 0 正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,mmmnnnaam nNaa且1)n 0 的负分数指数幂没有意义（3）运算性质：(0,)rsr saaaar sR ()(0,)rsrsaaar sR ()(0,0,)rrraba b abrR（4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数(0 xyaa且1)a 叫做指数函数 图象 1a 01a 1 x y 1 O x y O 1 1 x y O 1 1 x y 1 1 DO xay y(0,1)1y 知识点二 对数函数（1）对数的定义：若(0,1)xaN aa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN（2）几个重要的对数恒等式：log 10a，log1aa，logbaab（3）常用对数与自然对数 常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e）（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aaMN，那么 加法：logloglog()aaaMNMN 减法：logloglogaaaMMNN 数乘：loglog()naanMMnR logaNaN loglog(0,)bnaanMM bnRb 换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且（5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数log(0ayx a且1)a 叫做对数函数 图象 1a 01a 定义域 R 值域(0,)过定点 图象过定点(0,1)，即当0 x 时，1y 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 函数值的 变化情况 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax a变化对图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低 定义域(0,)值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x 时，0y 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 函数值的 变化情况 log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高 知识点三 幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)知识点四 函数与方程 1、函数零点的定义（1）对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。（2）方程0)(xf有实根函数()yf x的图像与 x 轴有交点函数()yf x有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()f x的零点（3）变号零点与不变号零点 xyO(1,0)1x logayxxyO(1,0)1x logayx 若函数()f x在零点0 x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x的变号零点。若函数()f x在零点0 x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x的不变号零点。若函数()f x在区间,a b上的图像是一条连续的曲线，则0)()(bfaf是()f x在区间,a b内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(xfy 在区间,ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f af b，那么，函数)(xfy 在区间,a b内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0 xf，这个0 x也就是方程0)(xf的根。（2）函数)(xfy 零点个数（或方程0)(xf实数根的个数）确定方法 代数法：函数)(xfy 的零点0)(xf的根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定 0)(xfy 有 2 个零点0)(xf有两个不等实根；0)(xfy 有 1 个零点0)(xf有两个相等实根；0)(xfy 无零点0)(xf无实根；对于二次函数在区间,a b上的零点个数，要结合图像进行确定.1、二分法（1）二分法的定义:对于在区间,a b上连续不断且()()0f af b的函数()yf x,通过不断地把函数()yf x的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤:确定区间,a b,验证()()0f af b,给定精确度;求区间(,)a b的中点c;计算()f c;()若()0f c,则c就是函数的零点;()若()()0f af c,则令bc(此时零点0(,)xa c);()若()()0f cf b,则令ac(此时零点0(,)xc b);判断是否达到精确度,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复至步.典例精讲 题型一*有关幂函数定义及性质 1、函数22(1)mymx是一个反比例函数，则 m=.2、在函数y=x3 y=x2 y=x-1 y=x中，定义域和值域相同的是 .3、将212.1a，219.0b，211.1c按从小到大进行排列为_ 题型二*指数函数及其性质 1、函数0.(12aayx且)1a的图像必经过点 2、比较下列各组数值的大小：（1）3.37.1 1.28.0；（2）7.03.3 8.04.3；3、函数2212xxy的递减区间为 ；值域是 4、设20 x，求函数1243 25xxy 的最大值和最小值。5、设dcba,都是不等于1的正数，xxxxdycybyay,在同一坐标系中的图像如图所示，则dcba,的大小顺序是 A.abcd B.abdc C.badc D.bacd 题型三*指数函数的运算 1、计算122(2)的结果是（）A、2B、12C、2 D、12 2、44366399aa 等于（）A、16a B、8aC、4a D、2a 3、若53,83ba，则ba233=。题型四 *对数运算 1、求值2233(log 3 2log 3)(3log4 log 2)；2、已知32a，那么33log 82log 6用a表示是（）A、2a B、52a C、23(1)aa D、23aa 3、已知732log log(log)0 x，那么12x等于（）A、13B、12 3C、12 2D、13 3 题型五 *对数函数及其性质 1、指数函数xya(0a 且)1a的反函数为 ；它的值域是 2、已知1122loglog0mn，则 ().A 1nm .B 1mn .C 1mn .D 1nm 3、32)2.1(a，321.1b，130.9c，3log 0.34d 的大小关系是 4、已知21loga0 ，（a0，a1），则a的取值范围是 .5、函数()log(21)af xx （a0，且a1）的图像必经过点 6、已知 y=loga(2ax)在0，1上是关于 x 的减函数，则 a 的取值范围是 （）A（0，1）B（1，2）C（0，2）D),2 题型六 *零点区间的判断 1、函数 f(x)2x3x的零点所在的一个区间是（）A、(2，1)B、(1,0)C、(0,1)D、(1,2)2、函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间（）A、41,81 B、21,41 C、1,21 D、(1,2)3、设2()3xf xx，则在下列区间中，使函数)(xf有零点的区间是（）A、0,1 B、1,2 4、在下列区间中，函数()e43xf xx的零点所在的区间为（）A、1(,0)4 B、1(0,)4 C、1 1(,)4 2 D、1 3(,)2 4 5、若0 x是方程lg2xx的解，则0 x属于区间 （）A、(0,1)B、(1,1.25)C、(1.25,1.75)D、(1.75,2)题型七*零点个数的判断 1、方程223xx的实数解的个数为 .2、函数()ln2f xxx的零点个数为 .3、函数2()cosf xxx在区间0,4上的零点个数为（）A、4 B、5 C、6 D、7 4、函数()cosf xxx在0,)内 （）A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 5、函数223,0()2ln,0 xxxf xx x，零点个数为（）A、3 B、2 C、1 D、0 6、若函数)(xfxaxa(0a 且1a)有两个零点，则实数a的取值范围是 .7、若函数3()3f xxxa有 3 个不同的零点,则实数a的取值范围是（）A、2,2 B、2,2 C、,1 D、1,题型八 *二分法求函数零点 1、下列函数中能用二分法求零点的是 （）2、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 （）3、设 833xxfx,用 二 分 法 求 方 程 2,10833xxx在内 近 似 解 的 过 程 中 得,025.1,05.1,01fff则方程的根落在区（）A、(1,1.25)B、(1.25,1.5)C、(1.5,2)D、不能确定 4、用二分法研究函数13)(3xxxf的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(ff，可得其中一个零点0 x ，第二次应计算 .以上横线上应填的内容为（）A、（0，0.5），)25.0(f B、（0，1），)25.0(f C、（0.5，1），)75.0(f D、（0，0.5），)125.0(f 5、若函数32()22f xxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=0.984 f(1.375)=0.260 f(1.4375)=0.162 f(1.40625)=0.054 那么方程32220 xxx的一个近似根（精确到 0.1）为（）A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5