几何之立体图形23138.pdf
第三讲 几何之立体图形 教学目标 立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的“染色问题”，也是经常见到的“几何奥数题”。小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形如果它的棱长为a，那么可得：正方体的表面积：26Sa正方形 正方体的体积：3Va正方形 长方体：若长方体的长、宽、高分别为,a b c，那么可得：长方体的表面积：2Sabbcac长方形（）长方体的体积：Vabc长方形 圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为r；圆柱体的侧面展开图是一个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长；圆柱体的表面积：2222Srhr圆柱侧面积个底面积 圆柱体的体积：2Vr h圆柱 圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为r；圆锥体的侧面展开图是一个扇形；圆锥体的体积：213Vr h圆锥体 球体：343Vr球体 在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。想 挑 战 吗？（06 年武汉明心数学挑战赛）如右图，两个人正在为一个开口为正方形的长方体容器中是否 正好装了一半水而争吵请你设计一种方案，不用其他任何工具与 设备，并且不能把水倒出来而判断出容器中的水是否正好装了一半 r 教师版答案提示：如下图，将长方体容器如图那样倾斜，使一端的水面刚好到容器口的棱 A 处，水平面的另一端刚好在棱 B 处时，容器内正好装了一半水如果不符合上述情况则容器内装的水就不是一半如图是容器里的水正好装一半，图和图则不是，图大于一半，图小于一半 立体图形的表面积 边长为 1 厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第 5 层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？分析：图形所含块数的规律：第 1 层 1 块，第 2 层 3 块，第 3 层 6 块，第 4 层 10 块，第 5 层 15 块，依次增加 2、3、4、5，当重叠到第 5 层时，该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是 15 平方厘米，该图形的总表面积为 90 立方厘米。【例1】有两个圆柱体的零件，高 l0 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有有一个圆柱体的零件，高 l0 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形直孔，如图，圆孔直径是 4 厘米，孔深 5 厘米，如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共要涂多少平方厘米?(3.14)：观察可知涂漆部分包括圆柱体的外表面，以及圆孔的内表面 零件的上、下底面：23254，零件的外侧面：6 10180 零件的内侧面：4 560，零件涂防锈漆部分为：5418060294。【巩固】右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？分析：一样多。黑布：2223aaaa，白布：222(2)3aaa。【例2】用铁皮做一个如图所示的工件(两端不封闭)，需要铁皮多少平方厘米?（3）分析：工件既不是圆柱也不是圆锥，不是我们常见的规则几 何图形，因此要考虑如何将此几何体转化为熟悉的常见几何体如下图，再取一个同样的工件，两个工件拼在一起，可以拼成一个规则的圆柱体，则一个工件的侧面积是此圆柱侧面积的一半圆柱的高为：4654100，圆柱的侧面积为：15 1004500，一个工件需铁皮：450022250(平方厘米)在解决不规则立体图形的问题时，关键是先将其转化为规则的立体图形，然后才能利用已经掌握的公式、性质进行解题其实这个思想我们在春季班就已经接触到了。【巩固】（五年级春季所学相关题目）（07 年希望杯培训试题）一个底面为正方形的长方体木块被锯掉一部分，变成如右图所示的六面体 ABCD-EFGH，其中最长的边 DH=8厘米，最短的边 AB=BC=CD=DA=BF=4厘米，那么这个六面体的体积是多少 立方厘米？分析：42 这个六面体的体积是长4厘米，宽4厘米，高12厘米的长方体体积的一半，即44122=96(立方厘米).【拓展】（05 年华罗庚金杯）如图 1 是一个直三棱柱的表面展开图，其中，灰色和黑色的部分都是边长等于 1 的正方形 问：这个直三棱柱的体积是多少?分析：如图 2，这个直三棱柱是棱长为 1 的正方体沿一条对角线切割得到的直三棱柱体正方体的体积是 1，这个直三棱柱的体积是正方体体积的一半，体积是12 【例3】（迎春杯数学邀请赛）一个正方体的表面积为 54 平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体，那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？分析：已知正方形的表面积为 54 平方厘米，那么这个正方形每一个侧面的面积为 546=9(平方厘米)一刀切成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原来正方形表面积增加了 92=18(平方厘米)因此，所求的两个长方体的表面积之和为：54+18=72(平方厘米)【前铺】如右图，正方形 ABCD 的边长是 6 厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成 9 个小长方形。这 9 个小长方形的周长之和是多少厘米？分析：从总体考虑，在求这 9 个小长方形的周长之和时，AB、BC、CD、AD 这四条边被用了 1 次，其余四条线被用了 2 次，所以 9 个小长方形的周长之和是：46+426=72（厘米）.【前铺】（五年级春季所学相关思路的题目）一个正方体形状的木块，棱长为 1 米，沿着水平方向将它锯成 3 片，每片又按任意尺寸锯成 4 条，每条又按任意尺寸锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体 60 块.问这 60 块长方体表面积的和是多少平方米？分析 原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是 111（平方米），无论后来锯成多少块，这六个外表面的 6 平方米总是被计入后来的小木块的表面积的.再考虑每锯一刀，就会得到两个 1 平方米的表面，现在一共锯了：2+3+49（刀），一共得到 18 平方米的表面.因此，总的表面积为：6（2+34）2 24（平方米）。【例4】（05 年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为 1 厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有 3 个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？分析：长：3+1+1=5 厘米；宽：1+1+1=3 厘米；高：1+1+1=3 厘米；所以原长方体的表面积是：（35+35+33）32=78 平方厘米。【前铺】（五年级春季所学相关思路的题目）右图是 456 正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？分析：三面涂红色的只有 8 个顶点处的 8 个立方体；两面涂红色的在棱长处，共（4-2）4+（5-2）4+（6-2）4=36 块；一面涂红的表面中间部分：（4-2）（5-2）2+（4-2）（6-2）2+（5-2）（6-2）2=52 块。没涂红色的小方块有：（4-2）（5-2）（6-2）=24 块。注意帮助孩子们理解，而后可以总结规律。【拓展】（五年级春季所学相关思路的题目）右图是由 27 块小正方体构成的 333 的正方体。如果将其表面涂成红色，则在角上的 8 个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余 18块小方块中，有 12 个两面是红的，6 个一面是红的。这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有 的小方块是三面有红色的小方块的八倍？分析：对于由 n3块小正方体构成的 nnn 正方体，三面涂有红色的有 8 块，两面涂有红色的有 12（n2）块，一面涂有红色的有 6（n2）2块，没有涂色的有（n-2）3块。由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（n-2）388，解得 n6。立体图形的体积 【例5】（05 年华罗庚金杯）如图，一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的 尺寸如图所示，若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次?分 析：圆 锥 形 容 器 甲 的 容 积 是：2111()13212V，半 球 形 容 器 乙 的 容 积 是：3222183312V，所以至少要注水 8 次 【例6】一个圆锥形容器高 24 厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的柱形容器中，水面高多少厘米 7 分析：设底面积为 S，圆柱体内水面的高为 h，根据题意有：124,83SSh h 【拓展】如右图所示，圆锥形容器内装的水正好是它容积的827，水面高度是容器高度的几分之几？分析：设水面高度是容器高度的x倍，则水面半径也是容器底面半径的x倍。根据题意得到：22118()()3327xrxhr h，382,273xx 【例7】皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为 15 厘米，水桶底面直径为 60 厘米。皮球有45的体积浸在水中（见右图）。问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？分析：皮球的体积是：334415()562.5332r（立方厘米）；皮球浸在水中的部分是：4562.54505（立方厘米）；水桶的底面积是：260()9002（平方厘米）；水面升高的高度是：4509000.5（厘米）。【例8】（06 年北京五中实验班选拔）一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是 80 平方厘米，水深 8 厘米。现将一个底面积是 16 平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面。现在水深多少厘米?分析：根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度。（法 1）：808(80 一 16)=64064=10(厘米)；（法 2）：设水面上升了x厘米。根据上升部分的体积=浸人水中铁块的体积列方程为：8016(8)xx，解得：2x，8+2=10(厘米)。【巩固】有一只底面半径是 20 厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是 5 厘米的圆柱体钢材浸在水中。钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了 6 厘米。这段钢材有多长?分析：根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的520，即41，钢材底面积就是水桶底面积的161。根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的 16 倍。（法 1）：6(520)2=96(厘米)（法 2）：3.142026(3.1452)=96(厘米)【拓展】（五年级春季学习过的题目，希望教师尽量抽出时间将此题回忆一遍）一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米.今将一个底面半径为 2 厘米，高为18 厘米的铁圆柱垂直放入容器中.求这时容器的水深是多少厘米.分析：本题可能出现三种情况：放入铁圆柱后，水深不及铁圆柱高.放入铁圆柱后，水深比铁圆柱高但未溢出.水有溢出.放入铁圆柱后，在铁圆柱周围，水的截面成圆环状，如图所示，截面积为5522=21.收入圆柱前后，水的体积不变，为5515=375.又因为 37521=7125=17 7618 厘米.因此这时容器的水深是 1776厘米.评注 请同学们考虑水深是 16 厘米或 19 厘米的情况，并与本题的结果作比较.【例9】一个立体图形，我们从上到下，从前往后，从左到右观察都是相同的图形，是一个边长为 3 厘米分成 9 个面积相等的小正方形形成的井字形(如右图)计算该立体的全表面积和体积 分析：根据三视图，可以判定立体是一个棱长为 3 厘米的正方体，在每个面都在中央打一个底面积为 1 平方厘米的正方形，高为 3 厘米的正棱柱孔洞如右下图 设该立体的全表面积为S，体积为V则：222(31)6(14)672S (平方厘米)，2337 120V (立方厘米)【前铺】在边长为 4 厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞 洞口是边长为 1 厘米的正方形，洞深 1 厘米（如下图）求挖洞后木块的表面积和体积 分析：大正方体的边长为 4 厘米，挖去的小正方体边长为 1 厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的 4 个侧面积。6 个小洞内新增加面积的总和：114624（平方厘米），原正方体表面积：426 96（平方厘米），挖洞后表面积：9624120（平方厘米），体积：43136 58（立方厘米）【拓展】（人大附中分班考试题目）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞已知正方体边长为 10 厘米，侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积 分析：外侧表面积为：61010-444-222=536-8 内侧表面积为：1643+2(44-22)+2223=192+32-8+24=224+16 总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12(平方厘米)计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可挖出的几何体体积为：4443+444+2223=192+64+24=256+24 所求几何体体积为：1O1O1O-(256+24)=668.64(立方厘米)点评 能把这道题拿下，所有不规则形体的表面积和体积计算都将不在话下。一定要注意：思路要清晰，比如表面积从外面和内部去讨论，体积直接是整体减挖去部分。细节决定成败：第一点，求表面积时，内部中心的正方形减去内切圆剩下部分容易忽略；第二点，本题大正方体的棱长是 10 厘米，是一个很伤脑筋的数字，直接导致出现了多处的 3。呵呵，很多人在此被弄得灰头土脸。【例10】（03 年数学电视科普赛）如图 1，ABCD 是直角梯形(单位：厘米，3)，（1）以 AB 为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少?（2）如果以 CD 为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到的旋转体体积是多少?分析：（1）如图 2 所示，所求体积可看作 BCDE 绕 AB 的旋转体与AED 绕 AB 的旋转体之和，即22133361083(立方厘米)（2）如图 3 所示，所求体积可看作 ABCE 绕 EC 的旋转体与ADE 绕 EC 的旋转体之差，即 221363451353(立方厘米)【例11】（第七届祖冲之杯数学邀请赛）现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?分析：法 1：（1）如右图，在 4020 的长方形铁皮的四角截去边长 5 厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒这个铁皮盒的：长=40-5-5=30(厘米)，宽=20-5-5=10(厘米)，高=5(厘米)，体积=3010 5=1500(立方厘米)（2）如右图，在 4020 长方形铁皮的左侧两角上割下边长 5 厘米的正方形(二块)，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长=405=35(厘米)，宽=2055=10(厘米)，高=5(厘米)，体积=3510 5=1750(立方厘米)（3）如右图，在 4020 的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为 5 厘米的长方形铁皮(共二块)，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长=40-5-5-5-5=20(厘米)，宽=20(厘米)，高=5(厘米)，体积=20205=2000(立方厘米)因此，最后一种容积最大 法 2：你要想使容积最大，就要充分利用手中的铁皮，如果能将铁皮都用上那么就能得到一个最大的铁盒。如下图（1），我们从原铁皮上切割下 4 块 520 的长方体，如图（2），将其焊接上能做成一只深是5 厘米的长方体无盖铁皮盒，那么此时的容积最大：20205=2000(立方厘米)专题展望 练 习 三 1、用棱长是 1 厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？（对照例题 1）分析：整体看待面积问题，上下两面的表面积总是 33；再看前后左右四个面，都是 23+1，所以，总计 9 2+74=18+28=46cm2。1、（奥数网精选试题）把棱长 6 分米的正方体木块平均分成 27 个小正方体，表面积增加了多少平方分米?（对照例题 4）分析：要把正方体木块平均分成 27 个小正方体，必须按图进行分割 每分割一处表 面积就增加 2 个边长 6 分米的正方形的面积。共需分割六处，就增加了 12 个正方形的面积。6212=432(平方分米)2、有两个盛满水的底面半径为 10 厘米、高为 30 厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为 20 厘米的圆柱形容器内，求水深。（对照例题 7）分析：221(10302)(20)53（厘米）3、（05 年华罗庚金杯）一个直角三角形三条边的长度是 3，4，5，如果以边长 4 为轴旋转一周，得到一个立体求这个立体的体积（对照例题 11）分析：以长为 4 的直角边为轴旋转得到的立体也是圆锥，底面半径是 3，由圆锥的体积公式得：2134123V 4、（05 年全国小学数学奥林匹克）有一个棱长是 12 厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为 4 厘米的正方形孔（穿透正方体木块）穿孔后木块的体积是多少立方厘米？（对照例题 10）分析：32312412 3421280(立方厘米)5、如图，圆锥形容器中装有 3 升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水?（对照例题 6）分析：设圆锥容器的底面半径为r，则水面半径为2r，容器的容积为：213r h，水的体积为：2221111()3222483rhr hr h 说明容器可以装 8 份 3 升水，故还能装水：3(81)=21(升)z
