圆章节知识点及练习题18684.pdf

圆章节知识点复习-1-圆章节知识点及其练习题 一、圆的概念 集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点C在圆内；2、点在圆上 dr 点B在圆上；3、点在圆外 dr 点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点；2、直线与圆相切 dr 有一个交点；3、直线与圆相交 dr 有两个交点；drd=rrd 四、圆与圆的位置关系 rddCBAO 圆章节知识点复习-2-外离（图 1）无交点 dRr；外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图 3）有两个交点 RrdRr；内切（图 4）有一个交点 dRr；内含（图 5）无交点 dRr；图1rRd 图3rRd 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径 ABCD CEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD 弧AC弧BD 六、圆心角定理 图2rRd图4rRd图5rRdOEDCBAOCDAB 圆章节知识点复习-3-圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角 CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径 或90C 90C AB是直径 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOB ABC是直角三角形或90C 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。FEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO 圆章节知识点复习-4-即：在O中，四边形ABCD是内接四边形 180CBAD 180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 十一、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。EDCBANMAOPBAOPODCBA 圆章节知识点复习-5-即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线 2PAPC PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线 PC PBPD PE 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO垂直平分AB。即：1O、2O相交于A、B两点 12OO垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt OO C中，22221122ABCOOOCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 OEDCBADECBPAOBAO1O2CO2O1BADCBAO 圆章节知识点复习-6-在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：:1:3:2OD BD OB；（2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OE AE OA：（3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3:2AB OB OA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlR n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h （2）圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h ECBADOBAOSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO 圆章节知识点复习-7-二、选择题：13.若两圆相切，且两圆的半径分别是 2，3，则这两个圆的圆心距是（）A.5 B.1 C.1 或 5 D.1 或 4 14.O1 和O2 的半径分别为 1 和 4，圆心距 O1O25，那么两圆的位置关系是（）A.外离 B.内含 C.外切 D.外离或内含 15如果半径分别为 1cm 和 2cm 的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为 3cm 的圆的个数有（）A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 16若两圆半径分别为 R 和 r（Rr），圆心距为 d，且 R2d2r22Rd，则两圆的位置关系是（）A.内切 B.外切 C.内切或外切 D.相交 17.如图，O 的直径为 10 厘米，弦 AB 的长为 6cm，M 是弦 AB 上的一动点，则线段OM 的长的取值范围是（）A.3OM5 B.4OM5 C.3OM5 D.4OM5 18.已知：O1和O2的半径是方程 x25x60 的两个根，且两圆的圆心距等于 5 则O1和O2的位置关系是（）A.相交 B.外离 C.外切 D.内切 19.如图，ABC 为等腰直角三角形，A90，ABAC2，A 与 BC 相切，则图中阴影部分的面积为（）A.12 B.13 C.14 D.15 20.如图，点 B 在圆锥母线 VA 上，且 VB13VA，过点 B 作平行于底面的平面截得一个小圆锥，若小圆锥的侧面积为S1，原圆锥的侧面积为 S，则下列判断中正确的是（）A.S113S B.S114S C.S116S D.S119S 三、填空题 21.若半径分别为 6 和 4 的两圆相切，则两圆的圆心距 d 的值是 _。22.O1和O2 的半径分别为 20 和 15，它们相交于 A，B 两点，线段 AB24，则两圆的圆心距 O1O2_。23.O1和O2相切，O1的半径为 4cm，圆心距为 6cm，则O2的半径为_;O1和O2相切，O1的半径为 6cm，圆心距为 4cm，则O2的半径为_ A B M O 圆章节知识点复习-8-24.O1、O2和O3是三个半径为 1 的等圆，且圆心在同一直线上，若O2分别与O1，O3相交，O1与O3不相交，则O1与O3圆心距 d 的取值范围是_。25.在ABC，C90，AC3，BC4，点 O 是ABC 的外心，现在以 O 为圆心，分别以 2、2.5、3、为半径作O，则点 C 与O 的位置关系分别是_ 26.如图在O 中，直径 AB弦 CD，垂足为 P，BAD30，则AOC 的度数是_度 27.在 RtABC，斜边 AB13cm，BC12cm，以 AB 的中点 O 为圆心，2.5cm 为半径画圆，则直线 BC 和O 的位置关系是_ 28.把一个半径为 12 厘米的圆片，剪去一个圆心角为 120的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是_ 29.已知圆锥的母线与高的夹角为 30，母线长为 4cm，则它的侧面积为 _ cm2（结果保留）。30.一个扇形的弧长为 4，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 。四、解答题：31.已知：如图，O1和O2相交于点 A、B，过点 A 的直线分别交两圆于点 C，D 点 M是 CD 的中点直线，BM 分别交两圆于点 E、F。求证：CE/DF 求证：MEMF 32.ABC 的三边长分别为 6、8、10，并且以 A、B、C 三点为圆心作两两相切的圆，求这三个圆的半径 33.如图所示，O1和O2相切于 P 点，过 P 的直线交O1于 A,交O2于 B，求证：O1AO2B 圆章节知识点复习-9-34.如图，A 为O 上一点，以 A 为圆心的A 交O 于 B、C 两点，O 的弦 AD 交公共弦 BC 于 E 点。（1）求证：AD 平分BDC（2）求证：AC2AEAD 35.如图，O 的半径 OC 与直径 AB 垂直，点 P 在 OB 上，CP 的延长线交O 于点 D，在 OB 的延长线上取点 E，使 EDEP （1）求证：ED 是O 的切线；（2）当 OC2，ED2 时，求E 的正切值 tanE 和图中阴影部分的面积 *36.两圆相交于 A、B，过点 A 的直线交一个圆于点 C，交另一个圆于点 D，过 CD 的中点P 和点 B 作直线交一个圆于点 E，交另一个圆于点 F，求证：PE=PF A B D O E C