2019年天津卷文数高考试题19156.pdf

绝密启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150分，考试用时 120分钟。第卷 1至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利 第卷 注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分共 40 分。参考公式：如果事件A，B互斥，那么 P ABP AP B.圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高 棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合1,1,2,3,5A，2,3,4B ，|13CxRx，则()ACB （A）2 （B）2，3 （C）-1，2，3 （D）1，2，3，4 （2）设变量,x y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy则目标函数4zxy 的最大值为（A）2 （B）3 （C）5 （D）6（3）设xR，则“05x”是“11x”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 （A）5 （B）8 （C）24 （D）29（5）已知2log 7a，3log 8b，0.20.3c，则,a b c的大小关系为（A）cba （B）abc（c）bca （D）cab（6）已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l.若与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且|4|ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为（A）2 （B）3 （C）2 （D）5（7）已知函数()sin()(0,0,|)f xAxA是奇函数，且 f x的最小正周期为，将 yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x.若24g，则38f（A）-2 （B）2 （C）2 （D）2 （8）已知函数2,01,()1,1.xxf xxx剟若关于x的方程1()()4f xxaaR 恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（A）5 9,4 4 （B）5 9,4 4 （C）5 9,14 4 （D）5 9,14 4 绝密启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第卷 注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110分。二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）i是虚数单位，则的值51ii的值为_.（10）设xR，使不等式2320 xx成立的x的取值范围为_.（11）曲线cos2xyx在点0,1处的切线方程为_.（12）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.（13）设0 x，0y，24xy，则(1)(21)xyxy的最小值为_.（14）在四边形ABCD中，ADBC，2 3AB ，5AD ，30A ，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE_.三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分 13 分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利 息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为,A B C D E F.享受情况如右表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访.员工 项目 A B C D E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.（16）（本小题满分 13 分）在ABC中，内角ABC，所对的边分别为,a b c.已知2bca，3 sin4 sincBaC.（）求cosB的值；（）求sin 26B的值.（17）（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC 平面PCD，PACD，2CD，3AD，（）设GH，分别为PBAC，的中点，求证：GH 平面PAD；（）求证：PA 平面PCD；（）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.（18）（本小题满分 13 分）设 na是等差数列，nb是等比数列，公比大于0，已知113ab，23ba，3243ba.（）求 na和 nb的通项公式；（）设数列 nc满足21,nnncbn奇偶为数为数求*1 12222nna ca ca cnN.（19）（本小题满分 14 分）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知3|2|OAOB（O为原点）.（）求椭圆的离心率；（）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x 上，且OCAP，求椭圆的方程.（20）（本小题满分 14 分 设函数()ln(1)xf xxa xe，其中aR.（）若0a，讨论 f x的单调性；（）若10ae，（i）证明 f x恰有两个零点（ii）设x为 f x的极值点，1x为 f x的零点，且10 xx，证明0132xx.绝密启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）参考解答 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分（1）D （2）C （3）B （4）B（5）A （6）D （7）C （8）D 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分（9）3 （10）21,3 （11）220 xy（12）4 （13）92 （14）1 三.解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，满分 13 分.解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取 6 人，9 人，10 人.（）（i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为,A BA CA DA EAFB CB DB EB FC DC EC FD ED FE F，共 15 种.（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,A BA DA EA FB DB EB FC EC FD FE F，共 11 种.所以，事件M发生的概率11()15P M （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分 13 分.（1）解：在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC，得3 sin4 sinbCaC，即34ba.又因为2bca，得到43ba，23ca.由余弦定理可得 222222416199cos22423aaaacbBacaa .（）解：由（1）可得215sin1 cos4BB，从而15sin22sincos8BBB，227cos2cossin8BBB，故153713 57sin 2sin2 coscos2 sin666828216BBB.（17）本小题主要考查直线与平面平行直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力满分 13 分.（）证明：连接BD，易知ACBDH，BHDH.又由BGPG，故GHPD，又因为GH 平面PAD，PD 平面PAD，所以GH 平面PAD.（）证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DNPC，又因为平面PAC 平面PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DN 平面PAC，交PA 平面PAC，故D NP A.又已知PACD，CDDND，所以PA 平面PCD.（）解：连接AN，由（）中DN 平面PAC，可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角，因为PCD为等边三角形，2CD 且N为PC的中点，所以3DN.又DNAN，在Rt AND中，3sin3DNDANAD.所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基 本方法和运算求解能力.满分 13 分.（）解：设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q依题意，得23323154qdqd，解得33dq，故33(1)3nann，13 33nnnb.所以，na的通项公式为3nan，nb的通项公式 为3nnb.（）解：1 12222nna ca ca c 135212 14 26 32nn naaaaa ba ba ba b 123(1)366 3123183.632nn nnn 21236 1 32 33nnn 121 32 33nnTn.233 131 32 33nTn，-得，123113 1 3(21)3323333.331 3.2nnnnnnnTnn .所以，1221 122202(21)33.36332nnnna ca ca cnTn 22*(21)3692nnnnN.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力，满分 14 分.（）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有32ab，又由222abc，消去b得22232aac，解得12ca.所以，椭圆的离心率为12.（）解：由（）知，2ac，3bc，故椭圆方程为2222143xycc.由题意，,0Fc，则直线l 的方程为3()4yxc.点 P的坐标满足22221433()4xyccyxc，消去y并化简，得到2276130 xcxc，解得1xc，2137cx ，代入到l的方程，解得132yc，2914yc.因为点P在x轴上方，所以3,2P cc.由圆心C在直线4x 上，可设4,Ct.因为OCAP，且由（）知2,0Ac，故3242ctcc，解得2t.因为圆C与x轴相切，所以圆的半径为 2，又由圆C与l相切，得23(4)242314c，可得2c.所以，椭圆的方程为2211612xy.（20）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（）解：由已知，f x的定义域为(0,)，且 211e()e(1)exxxaxfxaa xxx 因此当0a时，21e0 xax，从而()0fx，所以 f x在(0,)内单调递增.（）证明：（i）由（）知21()xax efxx.令2()1xg xax e，由10ae，可知 g x在(0,)内单调递减，又(1)10gae，且 221111ln1ln1ln0gaaaaa .故 0g x 在(0,)内有唯一解，从而()0fx在(0,)内有唯一解，不妨设为0 x，则011lnxa.当00,xx时，0()()0g xg xfxxx，所以 f x在00,x内单调递增；当0(),xx时，0()()0g xg xfxxx，所以 f x在0(),x 内单调递减，因此0 x是 f x的唯一极值点.令()ln1h xxx，则当1x 时，1()10h xx，故 h x在(1,)内单调递减，从而当1x 时，10h xh，所以1lnxx.从而 1ln111111lnlnlnln1 elnlnln1ln0afahaaaaaa，又因为 0(1)0f xf，所以 f x在(1,)内有唯零点.又 f x在00,x内有唯一零点 1，从而，f x）在(1,)内恰有两个零点.（ii）由题意，010,0,fxf x即120111ln1xxax exa xe，从而1011201lnxxxxex，即102011ln1xxxxex.因为当1x 时，ln1xx，又101xx，故102012011e1xxxxxx，两边取对数，得1020lnlnxxex，于是 10002ln21xxxx，整理得0132xx.