函数及数列极限强化练习题答案含分析24314.pdf

-第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1下面函数与yx为同一函数的是 解：lnlnxyexex，且 定 义 域,，选 D 2是f的反函数，则 2fx的反函数是 解:令 2,yfx反解出x：1,2xy互换x，y位置得反函数 12yx，选 A 3 设 f x在,有定义，则以下函数为奇函数的是 解：32yx f x的定义域,且 3232yxxf xx f xy x 选 C 4以下函数在,无界的是 解:排除法：A 21122xxxx有界，Barctan2x有界，C sincos2xx 应选 D 5数列 nx有界是limnnx存在的 A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：nx收 敛 时，数 列nx有 界 即nxM，反之不成立，如 11n有界，但不收敛，选 A 6 当n 时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k=A 12 B 1 C 2 D-2 解：2211sinlimlim111nnkknnnn，2k 选C 二、填空题每题 4 分，共 24 分 7设 11f xx，则 ff x的定义域为 解：ff x 111111f xx ff x定义域为 8设2(2)1,f xx 则(1)f x 解：1令 22,45xt f ttt 2221(1)4(1)5610f xxxxx 9函数44loglog 2yx的反函数是 解：14log(2)yx，反解出x：214yx 2互换,x y位置，得反函数214xy 10lim12nnnn -解：原式33lim212nnnn有理化 11假设105lim 1,knnen 则k 解：左 式=5lim()510nknkneee 故2k 122352limsin53nnnn=解：当n时，2sinn2n原式=2532lim53nnnn=65 三、计算题每题 8 分，共 64 分 13求函数21arcsin71xyx的定义域 解：2111347111 0 xxxxx 或 函数的定义域为3,1)1,4 14设sin1cos2xfx 求 f x 解：22sin2cos2 1 sin222xxxf 22 1f 故 22 1f xx 15 设 f xln x，g x的 反 函 数 1211xgxx，求 f g x 解:1 求22():1xg xyx反解出x：22xyyx22xyy 互换,x y位置得()22gxxx(2)lnln22fgxgxxx 16判别 f x2ln1xx的奇偶性。解法1：f x的定义域,，关于原点对称 2ln(1)f xxx为奇函数 解法2：f xfx fxf x 故 f x为奇函数 17 f x为偶函数，g x为奇函数，且 11f xg xx，求 f x及 g x 解：()()f xg x 11x 1()()1fxgxx 即有 2 得 11211f xxx-故 21()1f xx 2 得 11211g xxx 故2()1xg xx 18设32lim8nnnana，求a的值。解：3323limlim 1nnnnnaanana 故ln83ln 2a 19求111lim1 22 31nnn n 解：1拆项，11(1)(1)kkk kkk 2原式=lim11111limnnnnneen 20设 0,1,xf xaaa 求 21limln12nfff nn 解：原式=122ln1limnnaaan 四、综合题每题 10 分，共 20 分 21设 f x=21xx，求 3fx=fff x并讨论 3fx的奇偶性与有界性。解：1求 3fx 2讨论 3fx的奇偶性 3fx为奇函数 3讨论 3fx的有界性 321331 3xxfxxx 3fx有界 22从一块半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗如图，试将漏斗的容积 V 表示成中心角的函数。解：1列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积 V=213r h 故2224324RVR 2函数的定义域 故3224024RV 五、证明题每题 9 分，共 18 分 23设 f x为定义在,的任意函数，证明 f x可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。证：(1)2f xfxf x 2f xfx(2)令 2f xfxg xx g x为偶函数-(3)令 2f xfxxx x为奇函数 4 综上所述：f x g x偶函数+x奇函数 24 设 f x满足函数方程 2 f x+1fx=1x，证明 f x为奇函数。证：1 1121f xfxx 令 11,2tff ttxt 函数与自变量的记号无关 2消去1fx，求出 f x 3 f x的定义域,00,又 223xfxf xx f x为奇函数 选做题 1222(1)(21)126n nnn，求22233312lim12nnnnnn 解:222312nnn 且222312limnnnn 由夹逼定理知，原式13 2 假 设 对 于 任 意 的,x y，函 数 满 足：f xyf xfy，证明 fy为奇函数。解(1)求 0f：令 (2)令 :0 xy ffyf yfyf y fy为奇函数 第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案 一、单项选择题每题 4 分，共 24 分 1以下极限正确的 Asinlim1xxx Bsinlimsinxxxxx不存在 C1lim sin1xxx Dlimarctan2xx 解：011sinlim sinlimxttxtxxt选 C 注：sin1sin1 0lim0;lim1sin1 01xxxxxABxxx 2 以下极限正确的选项是 A10lim0 xxe B10lim0 xxe Csec0lim(1cos)xxxe-D1lim(1)xxxe 解：101lim0 xxeee选 A 注：:,:2,:1BCD 3 假设 0limxxf x，0limxxg x，则以下正确的选项是 A 0limxxfxg x B 0limxxfxg x C 01lim0 xxf xg x D 0lim0 xxkfxk 解：000limlimxxxxkkf xkf xk选 D 4假设02lim2xfxx，则 0lim3xxfx A3 B13 C2 D12 解：002323limlim32xttxxtfxft 选 B 5 设 1sin(0)0(0)1sin(0)x xxxf xxa xx且 0limxf x存在，则a=A-1 B0 C1 D2 解：0sinlim1,xxx 1a选 C 6当0 x时，11af xx是比x高阶无穷小，则 A1a B0a Ca为任意实数 D1a 解：0011112limlim01aaxxxxaaxx 应选 A 二、填空题每题 4 分，共 24 分 7lim1xxxx 解：原式lim1111lim 11xxxxxeex 82112lim11xxx 解：原式112lim11xxxx 9 31002132 97lim31xxxx-解：原式3972132limlim3131xxxxxx 10216lim1xxaxx存在，则a=解：1lim 10 xx 111201arcsinlimsinxxxexx 解：11220011sin1,lim0limsin0 xxxxeexx 又00arcsinlimlim1xxxxxx 故 原式=1 12假设220ln 1lim0sinnxxxx 且0sinlim01 cosnxxx,则正整数n=解：222200ln 1limlimsinnnxxxxxxxx 20420,lim02nxnxnx2,4,nn 故3n 三、计算题每题 8 分，共 64 分 13求sin32limsin23xxxxx 解：原式=sin32limsin23xxxxx 原式022033 14求01tan1 sinlim1 cosxxxxx 解：原式有理化 15求21lim sincosxxxx 解：令1tx，当x 时，0t 原式10lim cossin2tttt 16求0lncos2limlncos3xxx 解：原式0ln 1cos21limln 1cos31xxx变形 注:原式02sin2cos3limcos23sin3xxxxx 17求02limsinxxxeexxx 解：原式0020lim1cosxxxeex 18设 f x1,01 cos,0 xea xxxx且 0limxf x存在，求a的值。解：10lim0 xxeaeaaa-1911 3ln0lim sin3xxx 解：原式 也可以用两个重要极限中的一个，凑一个 1出来 但凡可以用换底的都可以用重要极限来求 20求21limln 1xxxx 无穷大与 0 之间的转换笔记 解：原式201ln 11limtttxtt 四、证明题共 18 分 21当x 时且 lim0,limxxu xv x,证明 limlim 1xu x v xv xxu xe 证：lim 1v xxu x 证毕利用两个重要极限 22当0 x 时，证明以下四个差函数的等价无穷小。13tansin02xxxx等价于 Tan*-sin*可以提取一个 tan*，从而凑成 Tan*(1-cos*)，用等价无穷小可以得出1-cos*1/2*2,从而整体等价于*3/2;(总结规律：注意 tan*-sin*有公共因子 tan*，从而充分利用等价无穷小的规律，在不定积分中也同样可以用此方法化解式子)23tan03xxxx等价于 33sin6xxx等价于0 x 43arcsin06xxxx等价于 证：30tansin1lim2xxxx 当0 x 时，3tansin2xxx 0/0 型，先用洛比达法则进展求导，然后利用 tan*与 sec*之间的关系转换，再利用等价无穷小 规律总结：见到 tan*的想法：与 sin*同幂组合，注意看是否可以提取公因式 tan*;有平方项看是否可以转化为 sec*转化的时候把转化式子写出来，要注意是加 1 还是减1.。；注意利用万能公式 看书复习万能公式，归纳适用条件 怎样将一个 word 文要分两边显示。怎样就可以将这样的文档转化为习惯的样子.问老哥 222200tanlimlim1xxxxxx 当0 x 时，2tan3xxx 当0 x 时，31sin6xxx 当0 x 时，31arcsin6xxx 等价于 规律总结：三角函数，反三角函数与*组合，0/0 型的时候应该先用洛比达法则求一次导，求导的时候可以对分母先应用等价无穷小，再求导，然后再应用等价无穷小进展化简，此外应该特别注意，可以先应用极限的四则运算，四-则不仅只有加减，还有乘除，应格外熟悉,将*些难化简，但极限好求的先进展计算，一般题目要求求的都是极限存在的，所以可以用此方法解题，假设解出来发现极限不存在，这说明不能用四则运算，因而再想别的方法 五、综合题每题 10 分，共 20 分 23求2lim 39121xxxx 有根号，无从下手时想到用分母有理化，化成指数次幂除以指数次幂的形式。解：原式2229921lim3921xxxxxxx有理化 24 22281lim225xxmxxn xn，求常数,m n的值。解：1原极限存在且 222268lim22xxxxn xn 102n12n 答6,12mn 选做题 求1101limxxxxe 解：原式11011lim1xxxxee 令11ln 11xxxyxe 原式 20201ln 10 ln 1limlim123xxxxxxxxxxee 第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案 一、单项选择题每题 4 分，共 24 分 1假设 f x为是连续函数，且 01,10ff，则1limsinxfxx()A-1 B0 C1 D 不存在 解：原式 1sin1limsinlim1xxfxfxfxx连续 10f，选 B 2 要使 ln 1mxfxkx在点0 x 处连续，应给 0f补充定义的数值是()Akm Bkm ClnkmDkme 解：00limln lim(1)mxxxf xkx 0fkm 选 A 3 假设lim()xaf xA，则以下正确的选项是 -A limxaf xA B limxaf xA C limxaf xA Dlim()xaf xA 解：limlimxaxauf xf xA连续 选 B 4设 ,00,0fxxF xxfx 且 f x在0 x 处可导，00,f 00f,则0 x 是 F x的()A 可去连续点 B 跳跃连续点 C 无穷连续点 D 连续点 解：000limlim0,0 xxf xfF xfx 00ff 000lim0 xFfF，故0 x 是 F x的第一类可去连续点。选 A 5 1sin,00,0 xf xxxx在0 x 处 ()A 极限不存在 B极限存在但不连续 C 连续但不可导 D可导但不连续 解：001limlimsin0 xxf xxx，且 00f f x在0 x 连续，又 0f 01sin0lim0 xxxx不存在，f x在0 x 不可导选 C 判断函数是否可导，应该用定义法去判断。6设 21,1,1xxf xaxb x在1x 可导，则,a b为 A2,2ab B0,2ab C2,0ab D1,1ab 解：1 f x在1x 连续，故 21ab 2 2111lim2,11xxffx 2a，代入 1得0b，选 C 两个未知数找准两个方程，第一人利用连续的性质，第二个利用可导，求出特殊点的导数 二、填空题每题 4 分，共 24 分 7设()f x为连续奇函数，则 0f=解：1 f x为奇函数，fxf x 2 00limlimxxfxf x 又 f x在0 x 连续 00ff 故 00f 规律总结：连续的奇函数在 0 点的函数值为0；-可导的偶函数，0 点的导函数为 0；8假设 f x为可导的偶函数，则 0f 解：1 f x为偶函数，fxf x(2)f x可导，fxfx 故 00ff 200f 即 00f 9设6yxk是曲线23613yxx的 一条切线，则k 解：16,66,66 6,2yyxxx 26 23 4 6 2 13,1212 12 13,kk 故1k 10 假设()yf x满足：()0f xfx x，且 0lim0 xxx 则 0f=解：000lim0 xfxffx 在不确定函数是否可以求的导的情况下一定要用定义求在*点的导数 11 设()f x在2x 连续，且(2)f=4，则2214lim()24xf xxx 解：原式=2224(2)lim4xxfx 125sin1()xxf xxx的连续点个数为 解：令520,1110 xxx xxx 0,1,1xxx 为连续点，故 f x有三个连续点 连续点就是函数没有意义的点 三、计算题每题 8 分，共 64 分 132sin21,0(),0axxexf xxa x 在,上连续，求a的值 解：f x在0 x 连续 且 0,22faaa 故2a 14 讨论1,0()0,01ln,11xexf xxxxx在0,1xx连续性 解：1 在0 x 处，10lim0,xxe0lim 00 x 且 00f f x在0 x 处连续 2在1x 处，1lim00,x f x在1x 不连续-(判断连续性即找准分段点，求极限)15 设()f x有 连 续 的 导 函 数，且 00,0ffb假设 sin,0,0f xaxxF xxAx在0 x 连续，求常数A。解：000sinlimlimxxf xfaxF xx 且 0FA，abA 答Aab 16 设()f x1,0,0 xexxkxb x在0 x 可导，求,k b的值。看到可导的条件要求变量，一定是两个方程，一个关于连续性，一个是关系*点的导数值都是左导等于右导 找一个题目自己动手计算，看是否有问题！解：1 f x在0 x 连续，01lim1xxex 0lim()xkxbb 故有1b 2 f x在0 x 可导 12k，答1,12kb 17设ln(1),0()1,0axxf xxx在0 x 可导，求a与 0f 解：1 f x在0 x 连续，且 01f，故有1a 2 f x在0 x 可导 答：11,02af 18 讨论()f x xax在xa是否可导，其中 x在xa连续。解：1 0limxaxaxfaxa 2 0limxaxaxfaxa limlimxaxaxaxxaxa连续答：当 0a时，f x在xa连续，当 0a时，f x在xa不连续 19 求1()lnf xx的连续点，并指出连续点类型 解：1 连续点：0,1,1xxx 2 在0 x 处：01lim0lnxx 0 x是 f x的第一类连续点。-3 在1x 处：11limlnxx 1x 为 f x的第二类无穷连续点。20 设11,0()ln 1,10 xexf xxx 指出()f x的连续点，并判断连续点的类型。解：11x 为连续点，0 x 可能是连续点。2在1x 处：1x 是 f x的第二类无穷连续点 3在0 x 处：0 x是 f x的第一类跳跃连续点 四、综合题每题 10 分，共 20 分 21 求111()111xxf xxx的连续点，并判别连续点的类型。解：1连续点：01,1xxx，2在0 x 处：0 x是 f x的第一类可去连续点 3 在1x 处：111limlim01xxxf xx 1x 是 f x的第一类可去连续点 4在1x 处：11lim1xxx 1x 是 f x的第二类无穷连续点 222322,0(),01,1xx xf xaxbxcx dxxx x，在,可导，求,a b c d之值 解：1 f x在0 x 连续，故 01d 2 f x在0 x 可导 故有 12c 3 f x在1x 连续，即 110abf 4 f x在0 x 可导：故有 3204ab 由3 4解得2,3ab 答：2,3,1,0abcd 五、证明题每题 9 分，共 18 分 23 证明4240 xx在区间2,2至少有两个实根。证：1()f x在2,0连续，且 040,2160ff 由零点定理知，()f x=0 在2,0上至少有一个实根。2()f x在0,2连续,且-由零点定理知，()f x=0 在0,2上至少有一个实根 3综上所述，()f x=0 在2,2上至少有两个实根 24 设 1sin,00,0uxxf xxx，证明1当0u 时 f x在0 x 连续，当1u 时，f x在0 x 可导 解：1001limsin0uxuxx 时 当0u 时，f x在0 x 连续(2)1001sin11limlimsin01uuxxxuxxxx时 当1u 时，f x在0 x 可导 总之，当0u 时，f x在0 x 连续 当1u 时，f x在0 x 可导 选做题 设对于任意的x，函数满足1fx af x且 0,fb证明 1fa b 证：1令0 x，1 0f 0af，即 10faf(2)0111limxfxffx 证毕 第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案 一、单项选择题每题 4 分，共 24 分 1设 2421,f xxx则 1f()A 1 B 3 C-1 D-3 解：1 22221f xxx(2)21,12 11fxxf 选 C 2设 222212f xx xx 22xn,则 0f A 2(!)n B 21(!)nn C!n D 1!nn 解：令 22222212g xxxxn 选 B 注：此题用导数定义计算更方便！3 设 ln 1f xx，则 5fx=()A 54!1x B 54!1x C55!1x D55!1x 解：11,fxx 5(5)1234 1fxx 54!(1)x选 A-4设 yf x由方程 2cos1x yexye 所确定，则曲线 yf x在点0，1的切线斜率(0)f=()A 2 B-2 C 12 D-12 解：22sin0 x yeyxyyxy 选 B 5 设 f x为可导偶函数，且 cosg xfx，则2g A 0 B 1 C-1 D 2 解：1 coscosgxfxx 2,fxf x 00ff得 00f 3 002gf 选 A 6 设 f x在1x 有连续导数，且 12f,则0limcosxdfxdx()A 1 B-1 C 2 D-2 解：cosdfxdx(2)原式0sinlimcos2xxfxx 选 B 二、填空题每题 4 分，共 24 分 7假设sincosttxetyet，则22d ydx 解：12cossin(1)sincostttttdyetetedxetet(2)2322sincostd ydyedydxdtdtdxdxtt 8设 21 lnf xx，则 fe=解：(1)22112lnln2 1 ln1 lnxxxxfxxx 2 1 1222feee 9 直线l与x轴平行，且与曲线xyxe相切，则切点坐标是 解：1,010 xxeyeye 曲 故有切点坐标0,1 10 yf x由方程33sin60 xyxy确定，则0 xdy 解：当0 x 时，360yy得0y -106y，0106xdyydxdx 11设1ln1xxeye，则dy 解：11ln 1ln 122xxyee 12设 10110nnnf xa xa xax a，则 0nf=解：1201(1)nnfxna xna x 三、计算题每题 8 分，共 64 分 13 设11ln11xyx，求dy。解：(1)ln(11)ln11yxx 311dydxxx 14 设2arcsin42xyxx，求y及y。解：(1)212arcsin212xyxx 15方程 1sinln1xxyy确定 yy x，求0 xdydx 解：(1)11cos()1xyyxyyxy=0 2 当0 x 时，0ln1yye 31cos 0(0)1(0)0eeye 11(0)eye ，(0)(1)ye e 16设 cossinxyxx，求y 解：1lnlncoslnsinyxxx(2)11cossinlnsincossinxyxxxyxx 2cos1cossinsinln sinsinxxyxxxxxx 17 设2ln 1arctanxtytt ，确定 yy x，求22d ydx。解：1221 221111ttdydytdttdxdxdt(2)222211dytd ydytdtdxtdxdxtdtt 18 设11xyx，求 ny 解：1变形，122111xyxx 2 221 1yx 19 设 yy x 由方程220F xyF xyy所确-定，其中 F 可导，且 12,(4)1,022FFy，求0 xdydx 解：12222Fxyxyy 2当0 x 时，2y 3 44(0)(2)1(0)FyFy 20 11,1xfxyfxx，求dydx 解：1 211111xxxyfxx 四、证明题此题 8 分 21证明抛物线xya任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于a。证：1求切线方程：设切点坐标为00,xy 11022yxy，yyx 故有切线方程：2求截距：令0y，0000yyxxx 解得000,xxx y 令0 x，000yyx y 解得000yyx y 3证明两截距之和为a即xya 00 xyxy+002 x y 证毕 五、综合题每题 10 分，共 30 分 22 假 设 曲 线2yxaxb与321yxy 在点1,1相切，求常数,a b。解：1求两曲线的斜率 在2yxaxb上，2,12yx a ya 在31yxy 上，3223,11yyxy y y 2 求,a b之值：依题意，两曲线在点1,1相切，又点1,1在曲线2yxxb上 23 设 yf x单调，且二阶可导，求dxdy及22d xdy 0fx 解：1 11dxdydyfxdx 222d xdy=dxddydy 1fx=1ddxdx fxdy 201fxfxfx 24设1arctan1xyx，求y 解：12111111dxxdyxxx 选做题 1 设f可 导，sinsinyfx且-(0)0f，求(0)y 解：1 cossinyff x (2)00cos01,sin00fff 3 0cos00 cos00yffff 2设 f x有任意阶导数，且 2fxf x，求()nfx 解：2fxfx 322fxf x fxfx 3设 f x可导且 0f x，证明 lnfxdf xdxf x 解：1当()0f x 时 2当 0f x 时：3综上所述：lnfxdf xdxf x