2020年高考数学压轴必刷题专题01函数概念与基本初等函数(理科数学)44608.pdf

12020 年高考数学压轴必刷题专题 01 函数概念与基本初等函数(理科数学)1【2019 年天津理科 08】已知 a R 设函数 f（x）若关于 x 的不等式 f（x）0 在 R上恒成立，则 a 的取值范围为（）A0，1B0，2C0，e D1，e【解答】解：当 x 1 时，f（1）12a+2a 10 恒成立；当 x 1 时，f（x）x22ax+2a 02a恒成立，令 g（x）（1 x2）（22）0，2a g（x）max0，a 0当 x 1 时，f（x）x alnx0a恒成立，令 h（x），则 h（x），当 x e 时，h（x）0，h（x）递增，当 1x e 时，h（x）0，h（x）递减，x e 时，h（x）取得最小值 h（e）e，a h（x）e，综上 a 的取值范围是0，e 故选：C2【2019 年新课标 3 理科 11】设 f（x）是定义域为 R的偶函数，且在（0，+）单调递减，则（）Af（log3）f（2）f（2）Bf（log3）f（2）f（2）2Cf（2）f（2）f（log3）Df（2）f（2）f（log3）【解答】解：f（x）是定义域为 R的偶函数，log34log331，0f（x）在（0，+）上单调递减，故选：C3【2019 年全国新课标 2 理科 12】设函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x+1）2f（x），且当 x （0，1时，f（x）x（x 1）若对任意 x （，m，都有 f（x），则 m的取值范围是（）A（，B（，C（，D（，【解 答】解：因 为f（x+1）2f（x），f（x）2f（x 1），x （0，1时，f（x）x（x 1），0，3x （1，2时，x 1（0，1，f（x）2f（x 1）2（x 1）（x 2），0；x （2，3时，x 1（1，2，f（x）2f（x 1）4（x 2）（x 3）1，0，当 x （2，3时，由 4（x 2）（x 3）解得 m或 m，若对任意 x （，m，都有 f（x），则 m故选：B4【2019 年浙江 09】设 a，b R，函数 f（x）若函数 y f（x）axb 恰有 3 个零点，则（）Aa 1，b 0Ba 1，b 0Ca 1，b 0Da 1，b 0【解答】解：当 x 0 时，y f（x）axb x axb（1a）x b 0，得 x；y f（x）axb 最多一个零点；当 x 0 时，y f（x）axbx3（a+1）x2+axaxbx3（a+1）x2b，y x2（a+1）x，当 a+10，即 a 1 时，y 0，y f（x）axb 在0，+）上递增，y f（x）axb 最多一个零点不合题意；当 a+10，即 a 1 时，令 y 0 得 x a+1，+），函数递增，令 y 0 得 x 0，a+1），函数递减；函数最多有 2 个零点；根据题意函数 y f（x）axb 恰有 3 个零点函数 y f（x）axb 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如右图：0 且，解得 b 0，1a 0，b（a+1）3故选：C45【2018 年新课标 1 理科 09】已知函数 f（x），g（x）f（x）+x+a 若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是（）A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）【解答】解：由 g（x）0 得 f（x）x a，作出函数 f（x）和 y x a 的图象如图：当直线 y x a 的截距a 1，即 a 1 时，两个函数的图象都有 2 个交点，即函数 g（x）存在 2 个零点，故实数 a 的取值范围是1，+），故选：C6【2018 年新课标 3 理科 12】设 a log0.20.3，b log20.3，则（）Aa+b ab0Baba+b 0Ca+b 0abDab0a+b【解答】解：a log0.20.3，b log20.3，5，aba+b 0故选：B7【2018 年上海 16】设 D 是含数 1 的有限实数集，f（x）是定义在 D 上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）ABCD0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与下一个点会重合我们可以通过代入和赋值的方法当 f（1），0 时，此时得到的圆心角为，0，然而此时 x 0 或者 x 1 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y，因此只有当 x，此时旋转，此时满足一个 x 只会对应一个 y，因此答案就选：B故选：B8【2017 年新课标 1 理科 11】设 x、y、z 为正数，且 2x3y5z，则（）A2x 3y 5zB5z 2x 3yC3y 5z 2xD3y 2x 5z【解答】解：x、y、z 为正数，令 2x3y5zk 1lgk0则 x，y，z3y，2x，5z6，lg03y 2x 5z 另解：x、y、z 为正数，令 2x3y5zk 1lgk0则 x，y，z1，可得 2x 3y，1可得 5z 2x 综上可得：5z 2x 3y 解法三：对 k 取特殊值，也可以比较出大小关系故选：D9【2017 年北京理科 08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N约为 1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg30.48）A1033B1053C1073D1093【解答】解：由题意：M3361，N 1080，根据对数性质有：310lg3100.48，M3361（100.48）36110173，1093，故选：D10【2017 年天津理科 08】已知函数 f（x），设 a R，若关于 x 的不等式 f（x）|a|在 R上恒成立，则 a 的取值范围是（）A，2B，C2，2D2，【解答】解：当 x 1 时，关于 x 的不等式 f（x）|a|在 R上恒成立，7即为x2+x 3a x2x+3，即有x2x 3a x2x+3，由 y x2x 3 的对称轴为 x1，可得 x处取得最大值；由 y x2x+3 的对称轴为 x1，可得 x处取得最小值，则a当 x 1 时，关于 x 的不等式 f（x）|a|在 R上恒成立，即为（x）a x，即有（x）a，由 y（x）22（当且仅当 x1）取得最大值2；由 yx22（当且仅当 x 21）取得最小值 2则2a 2由 可得，a 2另解：作出 f（x）的图象和折线 y|a|当 x 1 时，y x2x+3 的导数为 y 2x 1，由 2x 1，可得 x，切点为（，）代入 ya，解得 a；当 x 1 时，y x的导数为 y 1，由 1，可得 x 2（2 舍去），切点为（2，3），代入 ya，解得 a 28由图象平移可得，a 2故选：A11【2016 年新课标 2 理科 12】已知函数 f（x）（x R）满足 f（x）2f（x），若函数 y与 y f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则（xi+yi）（）A0BmC2mD4m【解答】解：函数 f（x）（x R）满足 f（x）2f（x），即为 f（x）+f（x）2，可得 f（x）关于点（0，1）对称，函数 y，即 y 1的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（x1，2y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（x2，2y2）也为交点，则有（xi+yi）（x1+y1）+（x2+y2）+（xm+ym）（x1+y1）+（x1+2y1）+（x2+y2）+（x2+2y2）+（xm+ym）+（xm+2ym）m 故选：B12【2016 年上海理科 18】设 f（x）、g（x）、h（x）是定义域为 R的三个函数，对于命题：f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则 f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以 T为周期的函数，则 f（x）、g（x）、h（x）均是以 T为周期的函数，下列判断正确的是（）9A 和 均为真命题B 和 均为假命题C 为真命题，为假命题D 为假命题，为真命题【解答】解：不成立 可举反例：f（x）g（x），h（x）f（x）+g（x）f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）h（x）g（x+T）h（x+T），结合第三式可得：g（x）g（x+T），h（x）h（x+T），同理可得：f（x）f（x+T），因此 正确故选：D13【2016 年天津理科 08】已知函数 f（x）（a 0，且 a 1）在 R上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|2x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）A（0，B，C，D，）【解答】解：y loga（x+1）+1 在0，+）递减，则 0a 1，函数 f（x）在 R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在0，+）上，|f（x）|2x 有且仅有一个解，故在（，0）上，|f（x）|2x 同样有且仅有一个解，当 3a 2 即 a时，联立|x2+（4a 3）x+3a|2x，则（4a 2）24（3a 2）0，解得 a或 1（舍去），当 13a 2 时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为，故选：C1014【2015 年新课标 2 理科 10】如图，长方形 ABCD的边 AB2，BC1，O是 AB的中点，点 P沿着边 BC，CD 与 DA运动，记BOP x 将动点 P到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x），则 y f（x）的图象大致为（）ABCD【解答】解：当 0 x时，BP tanx，AP，此时 f（x）tanx，0 x，此时单调递增，当 P在 CD 边上运动时，x且 x时，如图所示，tanPOB tan（POQ）tanx tanPOQ，OQ，11PD AO OQ 1，PC BO+OQ 1，PA+PB，当 x时，PA+PB 2，当 P在 AD边上运动时，x ，PA+PBtanx，由对称性可知函数 f（x）关于 x对称，且 f（）f（），且轨迹为非线型，排除 A，C，D，故选：B15【2015 年浙江理科 07】存在函数 f（x）满足，对任意 x R都有（）Af（sin2x）sinxBf（sin2x）x2+xCf（x2+1）|x+1|Df（x2+2x）|x+1|【解答】解：A取 x 0，则 sin2x 0，f（0）0；取 x，则 sin2x 0，f（0）1；f（0）0，和 1，不符合函数的定义；不存在函数 f（x），对任意 x R都有 f（sin2x）sinx；B取 x 0，则 f（0）0；取 x ，则 f（0）2+；f（0）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；C取 x 1，则 f（2）2，取 x 1，则 f（2）0；这样 f（2）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；D令 x+1t，则 f（x2+2x）|x+1|，化为 f（t21）|t|；12令 t21x，则 t；即存在函数 f（x），对任意 x R，都有 f（x2+2x）|x+1|；该选项正确故选：D16【2015 年北京理科 07】如图，函数 f（x）的图象为折线 ACB，则不等式 f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x 0Bx|1x 1Cx|1x 1Dx|1x 2【解答】解：由已知 f（x）的图象，在此坐标系内作出 y log2（x+1）的图象，如图满足不等式 f（x）log2（x+1）的 x 范围是1x 1；所以不等式 f（x）log2（x+1）的解集是x|1x 1；故选：C17【2015 年北京理科 08】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）13A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油【解答】解：对于 A，由图象可知当速度大于 40km/h 时，乙车的燃油效率大于 5km/L，当速度大于 40km/h 时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于 5km，故 A错误；对于 B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升汽油，甲车的行驶路程最远，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 B 错误；对于 C，由图象可知当速度小于 80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，用丙车比用乙车更省油，故 C 正确；对于 D，由图象可知当速度为 80km/h 时，甲车的燃油效率为 10km/L，即甲车行驶 10km 时，耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为 80km，燃油为 8 升，故 D 错误故选：C18【2015 年天津理科 07】已知定义在 R上的函数 f（x）2|xm|1（m为实数）为偶函数，记 a f（log0.53），b f（log25），c f（2m），则 a，b，c 的大小关系为（）Aa b cBa c bCc a bDc b a【解答】解：f（x）为偶函数；f（x）f（x）；2|xm|12|xm|1；|x m|x m|；（x m）2（x m）2；mx0；14m 0；f（x）2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且 a f（|log0.53|）f（log23），b f（log25），c f（0）；0log23log25；c a b 故选：C19【2015 年天津理科 08】已知函数 f（x），函数 g（x）b f（2x），其中 b R，若函数 y f（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）【解答】解：g（x）b f（2x），y f（x）g（x）f（x）b+f（2x），由 f（x）b+f（2x）0，得 f（x）+f（2x）b，设 h（x）f（x）+f（2x），若 x 0，则x 0，2x 2，则 h（x）f（x）+f（2x）2+x+x2，若 0 x 2，则2x 0，02x 2，则 h（x）f（x）+f（2x）2x+2|2x|2x+22+x 2，若 x 2，x 2，2x 0，则 h（x）f（x）+f（2x）（x 2）2+2|2x|x25x+8即 h（x），作出函数 h（x）的图象如图：当 x 0 时，h（x）2+x+x2（x）2，当 x 2 时，h（x）x25x+8（x）2，故当 b时，h（x）b，有两个交点，15当 b 2 时，h（x）b，有无数个交点，由图象知要使函数 y f（x）g（x）恰有 4 个零点，即 h（x）b 恰有 4 个根，则满足b 2，故选：D20【2014 年上海理科 18】设 f（x），若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（）A1，2B1，0C1，2D0，2【解答】解；当 a 0 时，显然 f（0）不是 f（x）的最小值，当 a 0 时，f（0）a2，由题意得：a2xa，解不等式：a2a 20，得1a 2，0a 2，故选：D21【2013 年新课标 1 理科 11】已知函数 f（x），若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（）A（，0B（，1C2，1D2，0【解答】解：由题意可作出函数 y|f（x）|的图象，和函数 y ax的图象，16由图象可知：函数 y ax的图象为过原点的直线，当直线介于l 和 x 轴之间符合题意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 y|f（x）|在第二象限的部分解析式为 y x22x，求其导数可得 y 2x 2，因为 x 0，故 y 2，故直线 l 的斜率为2，故只需直线 y ax的斜率 a 介于2 与 0 之间即可，即 a 2，0故选：D22【2013 年天津理科 08】已知函数 f（x）x（1+a|x|）设关于 x 的不等式 f（x+a）f（x）的解集为A，若，则实数 a 的取值范围是（）ABCD【解答】解：取 a时，f（x）x|x|+x，f（x+a）f（x），（x）|x|+1x|x|，（1）x 0 时，解得x 0；（2）0 x时，解得 0；（3）x时，解得，综上知，a时，A（，），符合题意，排除 B、D；取 a 1 时，f（x）x|x|+x，17f（x+a）f（x），（x+1）|x+1|+1x|x|，（1）x 1 时，解得 x 0，矛盾；（2）1x 0，解得 x 0，矛盾；（3）x 0 时，解得 x 1，矛盾；综上，a 1，A，不合题意，排除 C，故选：A23【2011 年新课标 1 理科 12】函数 y的图象与函数 y 2sin x，（2x 4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A8B6C4D2【解答】解：函数 y1，y22sin x 的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当 1x 4 时，y10而函数 y2在（1，4）上出现 1.5 个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数函数 y1在（1，4）上函数值为负数，且与 y2的图象有四个交点 E、F、G、H相应地，y1在（2，1）上函数值为正数，且与 y2的图象有四个交点 A、B、C、D且：xA+xHxB+xGxC+xFxD+xE2，故所求的横坐标之和为 8故选：A1824【2011 年北京理科 08】设 A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t R）记 N（t）为平行四边形 ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N（t）的值域为（）A9，10，11B9，10，12C9，11，12D10，11，12【解答】解：当 t 0 时，ABCD的四个顶点是 A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共九个，N（t）9，故选项 D 不正确当 t 1 时，ABCD的四个顶点是 A（0，0），B（4，0），C（5，4），D（1，4），同理知 N（t）12，故选项 A不正确当 t 2 时，ABCD的四个顶点是 A（0，0），B（4，0），C（6，4），D（2，4），同理知 N（t）11，故选项 B不正确故选：C25【2011 年天津理科 08】对实数 a 与 b，定义新运算“”：设函数 f（x）（x22）（x x2），x R 若函数 y f（x）c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（）19ABCD【解答】解：，函数 f（x）（x22）（x x2），由图可知，当 c 函数 f（x）与 y c 的图象有两个公共点，c 的取值范围是，故选：B26【2010 年新课标 1 理科 11】已知函数，若 a，b，c 互不相等，且 f（a）f（b）f（c），则 abc的取值范围是（）A（1，10）B（5，6）C（10，12）D（20，24）【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图，不妨设 a b c，则ab1，则 abcc （10，12）20故选：C27【2010 年上海理科 17】若 x0是方程的解，则 x0属于区间（）A（，1）B（，）C（，）D（0，）【解答】解：，x0属于区间（，）故选：C28【2019 年江苏 14】设 f（x），g（x）是定义在 R上的两个周期函数，f（x）的周期为 4，g（x）的周期为 2，且 f（x）是奇函数当 x （0，2时，f（x），g（x）其中 k 0 若在区间（0，9上，关于 x 的方程 f（x）g（x）有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是【解答】解：作出函数 f（x）与 g（x）的图象如图，由图可知，函数 f（x）与 g（x）（1x 2，3x 4，5x 6，7x 8）仅有 2 个实数根；要使关于 x 的方程 f（x）g（x）有 8 个不同的实数根，则 f（x），x （0，2与 g（x）k（x+2），x （0，1的图象有 2 个不同交点，由（1，0）到直线 kxy+2k 0 的距离为 1，得，解得 k（k 0），21两点（2，0），（1，1）连线的斜率 k，k即 k 的取值范围为，）故答案为：，）29【2018 年浙江 15】已知R，函数 f（x），当 2 时，不等式 f（x）0 的解集是若函数 f（x）恰有 2 个零点，则 的取值范围是【解答】解：当 2 时函数 f（x），显然 x 2 时，不等式 x 40 的解集：x|2x 4；x 2 时，不等式 f（x）0 化为：x24x+30，解得 1x 2，综上，不等式的解集为：x|1x 4函数 f（x）恰有 2 个零点，函数 f（x）的草图如图：函数 f（x）恰有 2 个零点，则 1 3 或 4故答案为：x|1x 4；（1，3（4，+）30【2018 年上海 11】已知常数 a 0，函数 f（x）的图象经过点 P（p，），Q（q，）若222p+q36pq，则 a【解答】解：函数 f（x）的图象经过点 P（p，），Q（q，）则：，整理得：1，解得：2p+qa2pq，由于：2p+q36pq，所以：a236，由于 a 0，故：a 6故答案为：631【2018 年天津理科 14】已知 a 0，函数 f（x）若关于 x 的方程 f（x）ax恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是【解答】解：当 x 0 时，由 f（x）ax得 x2+2ax+a ax，得 x2+ax+a 0，得 a（x+1）x2，得 a，设 g（x），则 g（x），由 g（x）0 得2x 1 或1x 0，此时递增，由 g（x）0 得 x 2，此时递减，即当 x 2 时，g（x）取得极小值为 g（2）4，当 x 0 时，由 f（x）ax得x2+2ax2a ax，得 x2ax+2a 0，得 a（x 2）x2，当 x 2 时，方程不成立，当 x 2 时，a设 h（x），则 h（x），23由 h（x）0 得 x 4，此时递增，由 h（x）0 得 0 x 2 或 2x 4，此时递减，即当 x 4 时，h（x）取得极小值为 h（4）8，要使 f（x）ax恰有 2 个互异的实数解，则由图象知 4a 8，故答案为：（4，8）32【2017 年江苏 14】设 f（x）是定义在 R上且周期为 1 的函数，在区间0，1）上，f（x），其中集合 D x|x，n N*，则方程 f（x）lgx0 的解的个数是【解答】解：在区间0，1）上，f（x），第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又 f（x）是定义在 R上且周期为 1 的函数，在区间1，2）上，f（x），此时 f（x）的图象与 y lgx有且只有一个交点；同理：区间2，3）上，f（x）的图象与 y lgx有且只有一个交点；区间3，4）上，f（x）的图象与 y lgx有且只有一个交点；区间4，5）上，f（x）的图象与 y lgx有且只有一个交点；24区间5，6）上，f（x）的图象与 y lgx有且只有一个交点；区间6，7）上，f（x）的图象与 y lgx有且只有一个交点；区间7，8）上，f（x）的图象与 y lgx有且只有一个交点；区间8，9）上，f（x）的图象与 y lgx有且只有一个交点；在区间9，+）上，f（x）的图象与 y lgx无交点；故 f（x）的图象与 y lgx有 8 个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；即方程 f（x）lgx0 的解的个数是 8，故答案为：833【2017 年新课标 3 理科 15】设函数 f（x），则满足 f（x）+f（x）1 的 x 的取值范围是【解答】解：若 x 0，则 x，则 f（x）+f（x）1 等价为 x+1+x11，即 2x，则 x，此时x 0，当 x 0 时，f（x）2x1，x，当 x0 即 x时，满足 f（x）+f（x）1 恒成立，当 0 x，即x 0 时，f（x）x1x，此时 f（x）+f（x）1 恒成立，综上 x，故答案为：（，+）34【2017 年浙江 17】已知 a R，函数 f（x）|xa|+a 在区间1，4上的最大值是 5，则 a 的取值范围是【解答】解：由题可知|xa|+a 5，即|xa|5a，所以 a 5，又因为|xa|5a，25所以 a 5xa 5a，所以 2a 5x5，又因为 1x 4，4x5，所以 2a 54，解得 a，故答案为：（，35【2016 年江苏 11】设 f（x）是定义在 R上且周期为 2 的函数，在区间1，1）上，f（x），其中 a R，若 f（）f（），则 f（5a）的值是【解答】解：f（x）是定义在 R上且周期为 2 的函数，在区间1，1）上，f（x），f（）f（）a，f（）f（）|，a，f（5a）f（3）f（1）1，故答案为：36【2016 年浙江理科 12】已知 a b 1，若 logab+logba，abba，则 a，b【解答】解：设 t logba，由 a b 1 知 t 1，代入 logab+logba得，即 2t25t+20，解得 t 2 或 t（舍去），所以 logba 2，即 a b2，因为 abba，所以 b2bba，则 a 2b b2，解得 b 2，a 4，故答案为：4；22637【2015 年江苏 13】已知函数 f（x）|lnx|，g（x），则方程|f（x）+g（x）|1实根的个数为【解答】解：由|f（x）+g（x）|1 可得 g（x）f（x）1g（x）与 h（x）f（x）+1 的图象如图所示，图象有 2 个交点g（x）与（x）f（x）1 的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|1 实根的个数为 4故答案为：438【2015 年北京理科 14】设函数 f（x），若 a 1，则 f（x）的最小值为；若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是【解答】解：当 a 1 时，f（x），27当 x 1 时，f（x）2x1 为增函数，f（x）1，当 x 1 时，f（x）4（x 1）（x 2）4（x23x+2）4（x）21，当 1x时，函数单调递减，当 x时，函数单调递增，故当 x时，f（x）minf（）1，设 h（x）2xa，g（x）4（x a）（x 2a）若在 x 1 时，h（x）与 x 轴有一个交点，所以 a 0，并且当 x 1 时，h（1）2a 0，所以 0a 2，而函数 g（x）4（x a）（x 2a）有一个交点，所以 2a 1，且 a 1，所以a 1，若函数 h（x）2xa 在 x 1 时，与 x 轴没有交点，则函数 g（x）4（x a）（x 2a）有两个交点，当 a 0 时，h（x）与 x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当 h（1）2a 0 时，即 a 2 时，g（x）的两个交点满足 x1a，x22a，都是满足题意的，综上所述 a 的取值范围是a 1，或 a 239【2014 年江苏 13】已知 f（x）是定义在 R上且周期为 3 的函数，当 x 0，3）时，f（x）|x22x|，若函数 y f（x）a 在区间3，4上有 10 个零点（互不相同），则实数 a 的取值范围是【解答】解：f（x）是定义在 R上且周期为 3 的函数，当 x 0，3）时，f（x）|x22x|，若函数 yf（x）a 在区间3，4上有 10 个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数 f（x）与 y a 的图象如图：由图象可知故答案为：（0，）2840【2014 年天津理科 14】已知函数 f（x）|x2+3x|，x R，若方程 f（x）a|x 1|0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为【解答】解：由 y f（x）a|x 1|0 得 f（x）a|x 1|，作出函数 y f（x），y g（x）a|x 1|的图象，当 a 0，两个函数的图象不可能有 4 个交点，不满足条件，则 a 0，此时 g（x）a|x 1|，当3x 0 时，f（x）x23x，g（x）a（x 1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时x23x a（x 1），即 x2+（3a）x+a 0，则由（3a）24a 0，即 a210a+90，解得 a 1 或 a 9，当 a 9 时，g（x）9（x 1），g（0）9，此时不成立，此时 a 1，要使两个函数有四个零点，则此时 0a 1，若 a 1，此时 g（x）a（x 1）与 f（x），有两个交点，此时只需要当 x 1 时，f（x）g（x）有两个不同的零点即可，即 x2+3x a（x 1），整理得 x2+（3a）x+a 0，则由（3a）24a 0，即 a210a+90，解得 a 1（舍去）或 a 9，综上 a 的取值范围是（0，1）（9，+），方法 2：由 f（x）a|x 1|0 得 f（x）a|x 1|，若 x 1，则 40 不成立，故 x 1，29则方程等价为 a|x 15|，设 g（x）x 15，当 x 1 时，g（x）x 15，当且仅当 x 1，即 x 3 时取等号，当 x 1 时，g（x）x 15541，当且仅当（x 1），即 x 1 时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程 f（x）a|x 1|0 恰有 4 个互异的实数根，则满足 a 9 或 0a 1，故答案为：（0，1）（9，+）3041【2013 年上海理科 12】设 a 为实常数，y f（x）是定义在 R上的奇函数，当 x 0 时，f（x）9x7 若f（x）a+1 对一切 x 0 成立，则 a 的取值范围为【解答】解：因为 y f（x）是定义在 R上的奇函数，所以当 x 0 时，f（x）0；当 x 0 时，则x 0，所以 f（x）9x7因为 y f（x）是定义在 R上的奇函数，所以 f（x）9x7；因为 f（x）a+1 对一切 x 0 成立，所以当 x 0 时，0a+1 成立，所以 a 1；当 x 0 时，9x7a+1 成立，只需要 9x7 的最小值a+1，因为 9x726|a|7，所以 6|a|7a+1，解得，所以故答案为：3142【2013 年上海理科 14】对区间 I 上有定义的函数 g（x），记 g（I）y|y g（x），x I 已知定义域为0，3的函数 y f（x）有反函数 y f1（x），且 f1（0，1）1，2），f1（2，4）0，1）若方程 f（x）x 0 有解 x0，则 x0【解答】解：因为 g（I）y|y g（x），x I，f1（0，1）1，2），f1（2，4）0，1），所以对于函数 f（x），当 x 0，1）时，f（x）（2，4，所以方程 f（x）x 0 即 f（x）x 无解；当 x 1，2）时，f（x）0，1），所以方程 f（x）x 0 即 f（x）x 无解；所以当 x 0，2）时方程 f（x）x 0 即 f（x）x 无解，又因为方程 f（x）x 0 有解 x0，且定义域为0，3，故当 x 2，3时，f（x）的取值应属于集合（，0）1，2（4，+），故若 f（x0）x0，只有 x02，故答案为：243【2012 年江苏 10】设 f（x）是定义在 R上且周期为 2 的函数，在区间1，1上，f（x）其中 a，b R 若，则 a+3b 的值为【解答】解：f（x）是定义在 R上且周期为 2 的函数，f（x），f（）f（）1a，f（）；又，1a又 f（1）f（1），2a+b 0，由 解得 a 2，b 4；a+3b 10故答案为：1044【2012 年江苏 13】已知函数 f（x）x2+ax+b（a，b R）的值域为0，+），若关于 x 的不等式 f（x）c 的解集为（m，m+6），则实数 c 的值为32【解答】解：函数 f（x）x2+ax+b（a，b R）的值域为0，+），f（x）x2+ax+b 0 只有一个根，即a24b 0，则 4b a2不等式 f（x）c 的解集为（m，m+6），即为 x2+ax+b c 解集为（m，m+6），则 x2+ax+b c 0 的两个根 x1，x2分别为 m，m+6两根之差为|x1x2|m+6m|6根据韦达定理可知：x1+x2ax1x2b c|x1x2|6666解得 c 9故答案为：945【2012 年北京理科 14】已知 f（x）m（x 2m）（x+m+3），g（x）2x2，若同时满足条件：x R，f（x）0 或 g（x）0；x （，4），f（x）g（x）0则 m的取值范围是【解答】解：对于 g（x）2x2，当 x 1 时，g（x）0，又x R，f（x）0 或 g（x）0f（x）m（x 2m）（x+m+3）0 在 x 1 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与 x 轴交点都在（1，0）的左面则4m 0 即 成立的范围为4m 0又 x （，4），f（x）g（x）0此时 g（x）2x20 恒成立33f（x）m（x 2m）（x+m+3）0 在 x （，4）有成立的可能，则只要4 比 x1，x2中的较小的根大即可，（i）当1m 0 时，较小的根为m 3，m 34 不成立，（ii）当 m 1 时，两个根同为24，不成立，（iii）当4m 1 时，较小的根为 2m，2m 4 即 m 2 成立综上可得 成立时4m 2故答案为：（4，2）46【2012 年天津理科 14】已知函数 y的图象与函数 y kx2 的图象恰有两个交点，则实数 k的取值范围是【解答】解：y，作出函数 y与 y kx2 的图象如图所示：函数 y的图象与函数 y kx2 的图象恰有两个交点，0k 1 或 1k 4故答案为：（0，1）（1，4）3447【2011 年江苏 11】已知实数 a 0，函数 f（x），若 f（1a）f（1+a），则 a的值为【解答】解：当 a 0 时，1a 1，1+a 12（1a）+a 1a 2a 解得 a舍去当 a 0 时，1a 1，1+a 11+a 2a 2+2a+a 解得 a故答案为48【2011 年上海理科 13】设 g（x）是定义在 R上，以 1 为周期的函数，若函数 f（x）x+g（x）在区间3，4上的值域为2，5，则 f（x）在区间10，10上的值域为【解答】解：法一：g（x）为 R上周期为 1 的函数，则 g（x）g（x+1）又函数 f（x）x+g（x）在3，4的值域是2，5令 x+6t，当 x 3，4时，t x+6 9，10此时，f（t）t+g（t）（x+6）+g（x+6）（x+6）+g（x）x+g（x）+6所以，在 t 9，10时，f（t）4，11（1）同理，令 x 13t，在当 x 3，4时，t x 13 10，9此时，f（t）t+g（t）（x 13）+g（x 13）（x 13）+g（x）x+g（x）13所以，当 t 10，9时，f（t）15，8（2）35由（1）（2）得到，f（x）在10，10上的值域为15，11故答案为：15，11法二：由题意 f（x）x g（x）在 R上成立故 f（x+1）（x+1）g（x+1）所以 f（x+1）f（x）1由此知自变量增大 1，函数值也增大 1故 f（x）在10，10上的值域为15，11故答案为：15，1149【2010 年江苏 11】已知函数，则满足不等式 f（1x2）f（2x）的 x 的范围是【解答】解：由题意，可得故答案为：50【2010 年天津理科 16】设函数 f（x）x21，对任意 x ，+），f（）4m2f（x）f（x 1）+4f（m）恒成立，则实数 m的取值范围是【解答】解：依据题意得14m2（x21）（x 1）21+4（m21）在 x ，+）上恒定成立，即4m21 在 x ，+）上恒成立当 x时，函数 y1 取得最小值，4m2，即（3m2+1）（4m23）0，解得 m或 m，故答案为：