2020年中考数学热点冲刺6图形折叠问题(江苏版)45599.pdf

1热点专题6 图形折叠问题图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题者的青睐近年来很多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的思考与研究在所有折叠图形的题目中，最受欢迎的还是矩形的折叠，因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好的性质，所以也便于出题人寻找出题的点因此矩形折叠的题目最多，考的也最多还有对正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等，甚至现在连圆形也开始折叠产生了很多不错的题目图形折叠问题只所以这么受追捧，是因为这些图形在折叠过程中，会产生很不错的性质，值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能力，采用运动变化的观点分析和解决问题的能力鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题中考要求掌握轴对称图形的性质学会在运动变化中寻求不变的图形性质培养学生运用运动变化的观点分析和解决问题考向1矩形的折叠1.(2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AD 2AB 将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E，ME 与 BC 的交点为F；再沿着MP 折叠，使得AM 与 EM 重合，折痕为MP，此时点B 的对应点为G 下列结论：2CMP是直角三角形；点C、E、G 不在同一条直线上；PC MP；BP AB；点F 是CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个【解析】沿着CM 折叠，点D 的对应点为E，DMC EMC，再沿着MP 折叠，使得AM 与 EM 重合，折痕为MP，AMP EMP，AMD 180，3PME+CME 180 90，CMP是直角三角形；故正确；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E，D MEC 90，再沿着MP 折叠，使得AM 与 EM 重合，折痕为MP，MEG A 90，GEC 180，点C、E、G 在同一条直线上，故错误；AD 2AB，设AB x，则AD 2x，将矩形ABCD对折，得到折痕MN；DM AD x，CM x，PMC 90，MN PC，CM2 CN CP，CP x，PN CP CN x，PM x，4，PC MP，故错误；PC x，PB 2xxx，PB AB，故，CD CE，EG AB，AB CD，CE EG，CEM G 90，FE PG，CF PF，PMC 90，CF PF MF，点F 是CMP外接圆的圆心，故正确；故选：B2.(2019 江苏省淮安市)如图，在矩形ABCD中，AB 3，BC 2，H 是 AB 的中点，将CBH沿 CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP，则tan HAP 5【解析】如图，连接PB，交CH 于 E，由折叠可得，CH 垂直平分BP，BH PH，又H 为 AB 的中点，AH BH，AH PH BH，HAP HPA，HBP HPB，又HAP+HPA+HBP+HPB 180，APB 90，APB HEB 90，AP HE，BAP BHE，又Rt BCH 中，tan BHC，tan HAP，故答案为：3.(2019 江苏省扬州市)将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若ABC 26，则ACD6【解析】延长DC，由题意可得：ABC BCE BCA 26，则ACD 180 26 26 128故答案为：1284(2019 江苏省盐城市)如图是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（）将矩形纸片沿DF 折叠，使点A 落在CD 边上点E 处，如图；（）在第一次折叠的基础上，过点C 再次折叠，使得点B 落在边CD 上点B 处，如图，两次折痕交于点O；（）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图探究（1）证明：OBC OED；（2）若AB 8，设BC 为 x，OB2为 y，求y关于x的关系式【解析】（1）证明：由折叠可知，AD ED，BCO DCO ADO CDO 457 BC DE，COD 90，OC OD，在OBC OED中，OBC OED（SAS）；（2）过点O 作 OH CD 于点H 由（1）OBC OED，OE OB，BC x，则AD DE x，CE 8 x，OC OD，COD 90 CH CD AB 4，OH CD 4，EH CH CE 4（8 x）x 4在 Rt OHE 中，由勾股定理得OE2 OH2+EH2，即 OB2 42+（x 4）2，y关于x的关系式：y x2 8x+32考向2平行四边形的折叠81.(2019 江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片ABCD沿 BD 折叠，点C 落在点C 处，BC 与 AD 相交于点E（1）连接AC ，则AC 与 BD 的位置关系是；（2）EB 与 ED 相等吗？证明你的结论【解析】（1）连接AC ，则AC 与 BD 的位置关系是AC BD，故答案为：AC BD；（2）EB 与 ED 相等由折叠可得，CBD C BD，AD BC，ADB CBD，EDB EBD，BE DE 2.(2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF求证：9（1）ECBFCG；（2）EBCFGC【解析】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，由折叠可得，AECG，BCDECG，BCDECFECGECF ，ECBFCG ；（2）四边形ABCD是平行四边形，DB，ADBC，由折叠可得，DG，ADCG，BG ，BCCG，又ECBFCG，()EBCFGCASA 考向3正方形的折叠1(2019 江苏省连云港市)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E 为边BC 上一点（不与点B、C 重合），垂直于AE 的一条直线MN 分别交AB、AE、CD 于点M、P、N判断线10段 DN、MB、EC 之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上（1）如图2，若垂足P 恰好为AE 的中点，连接BD，交MN 于点Q，连接EQ，并延长交边 AD 于点F求AEF 的度数；（2）如图3，当垂足P 在正方形ABCD的对角线BD 上时，连接AN，将APN 沿着AN 翻折，点P 落在点P 处，若正方形ABCD的边长为4，AD 的中点为S，求P S 的最小值问题拓展：如图4，在边长为4 的正方形ABCD中，点M、N 分别为边AB、CD 上的点，将正方形ABCD沿着MN 翻折，使得BC 的对应边B C 恰好经过点A，C N 交 AD 于点F分别过点A、F 作 AG MN，FH MN，垂足分别为G、H 若AG，请直接写出FH 的长【解析】线段DN、MB、EC 之间的数量关系为：DN+MB EC；理由如下：四边形ABCD是正方形，ABE BCD 90，AB BC CD，AB CD，过点B 作 BF MN 分别交AE、CD 于点G、F，如图1 所示：四边形MBFN为平行四边形，NF MB，BF AE，BGE 90，11CBF+AEB 90，BAE+AEB 90，CBF BAE，在ABE 和BCF 中，ABE BCF（ASA），BE CF，DN+NF+CF BE+EC，DN+MB EC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q 作 HI AB，分别交AD、BC 于点H、I，如图2 所示：四边形ABCD是正方形，四边形ABIH 为矩形，HI AD，HI BC，HI AB AD，BD 是正方形ABCD的对角线，BDA 45，DHQ是等腰直角三角形，HD HQ，AH QI，12 MN 是 AE 的垂直平分线，AQ QE，在 Rt AHQ 和 Rt QIE 中，Rt AHQ Rt QIE（HL），AQH QEI，AQH+EQI 90，AQE 90，AQE 是等腰直角三角形，EAQ AEQ 45，即AEF 45；（2）连接AC 交 BD 于点O，如图3 所示：则APN 的直角顶点P 在 OB 上运动，设点P 与点B 重合时，则点P 与点D 重合；设点P 与点O 重合时，则点P 的落点为O ，AO OD，AOD 90，ODA ADO 45，当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作 PG CD 于点G，过点P 作 P H CD 交 CD 延长线于点H，连接PC，点P 在 BD 上，AP PC，在APB 和CPB 中，APB CPB（SSS），13BAP BCP，BCD MPA 90，PCN AMP，AB CD，AMP PNC，PCN PNC，PC PN，AP PN，PNA 45，PNP 90，P NH+PNG 90，P NH+NP H 90，PNG+NPG 90，NPG P NH，PNG NP H，由翻折性质得：PN P N，在PGN 和NHP 中，PGN NHP （ASA），PG NH，GN P H，BD 是正方形ABCD的对角线，PDG 45，易得PG GD，14 GN DH，DH P H，P DH 45，故P DA 45，点P 在线段DO 上运动；过点S 作 SK DO ，垂足为K，点S 为 AD 的中点，DS 2，则P S 的最小值为；问题拓展：解：延长AG 交 BC 于 E，交DC 的延长线于Q，延长FH 交 CD 于 P，如图4：则 EG AG，PH FH，AE 5，在 Rt ABE 中，BE 3，CE BC BE 1，BECQ 90，AEB QEC，15ABE QCE，3，QE AE，AQ AE+QE，AG MN，AGM 90B，MAG EAB，AGM ABE，即，解得：AM，由折叠的性质得：AB EB 3，B B 90，C BCD 90，B M，AC 1，BAD 90，B AM C FA，AFC MAB ，解得：AF，DF 4，16 AG MN，FH MN，AG FH，AQ FP，DFP DAQ，即，解得：FP，FH FP 考向4三角形的折叠(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边ABC 的边长为8，点P 是 AB 边上的一个动点（与点A、B 不重合）直线1 是经过点P 的一条直线，把ABC 沿直线1 折叠，点B 的对应点是点 B（1）如图1，当PB 4 时，若点B 恰好在AC 边上，则AB 的长度为；（2）如图2，当PB 5 时，若直线1 AC，则BB 的长度为；（3）如图3，点P 在 AB 边上运动过程中，若直线1 始终垂直于AC，ACB 的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB 6 时，在直线1 变化过程中，求ACB 面积的最大值【解析】（1）如图1 中，17ABC 是等边三角形，A 60，AB BC AC 8，PB 4，PB PB PA 4，A 60，APB 是等边三角形，AB AP 4故答案为4（2）如图2 中，设直线l交 BC 于点E连接BB 交 PE 于 O PE AC，BPE A 60，BEP C 60，PEB 是等边三角形，PB 5，18B，B 关于PE 对称，BB PE，BB 2OB OB PB sin60，BB 5故答案为5（3）如图3 中，结论：面积不变 B，B 关于直线l对称，BB 直线l，直线l AC，AC BB ，SACB SACB82 16（4）如图4 中，当B P AC 时，ACB 的面积最大，19设直线PB 交 AC 于 E，在 Rt APE 中，PA 2，PAE 60，PE PAsin60，B E 6+，SACB 的最大值8（6+）4+24