专题8.4直线、平面平行的判定及其性质(讲)(解析版)43647.pdf
专题 8.4 直线、平面平行的判定及其性质 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知识点一 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，l，l 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行线线平行)l，l，b，lb 知识点二 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行面面平行)a，b，abP，a，b，性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，b，ab (1)应用线面平行判定定理的注意点：在推证线面平行时，一定要强调直线a不在平面内，直线b在平面内，且ab，否则会出现错误 (2)应用线面平行性质定理的注意点：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面(3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：如果结论中有a，则要用判定定理，在内找与a平行的直线；如果条件中有a，则要用性质定理，找(或作)过a且与相交的平面 应用定理证明有关平行问题时，一定要满足定理的前提条件(4)面面平行判定定理的一个推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行符号表示：a，b，abO，a，b，abO，aa，bb.【知识必备】1两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 2夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等 3经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 4两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例 5同一条直线与两个平行平面所成角相等 6如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行 考点一 与线、面平行相关命题的判定【例 1】【2019 年高考全国卷】设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行 C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选 B【举一反三】【2019 年高考北京卷】已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_【答案】如果l，m，则lm.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l，m，则lm，正确；（2）如果l，lm，则m，不正确，有可能m在平面内；（3）如果lm，m，则l，不正确，有可能l与斜交、l.故答案为：如果l，m，则lm.【举一反三】（一中 2019 届高三模拟）(1)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A.若ac，bc，则ab B.若a，b，则ab C.若a，b，则ab D.若，a，则a(2)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC平面DEF的是()【答案】(1)D(2)B【解析】(1)对于 A，若ac，bc，则a与b可能平行、异面、相交，故 A 是假命题；对于 B，设m，若a，b均与m平行，则ab，故 B 是假命题；对于 C，a，b可能平行、异面、相交，故 C 是假命题；对于 D，若，a，则a与没有公共点，则a，故 D 是真命题.(2)在 B 中，如图，连接MN，PN，A，B，C为正方体所在棱的中点，ABMN，ACPN，MNDE，PNEF，ABDE，ACEF，ABACA，DEEFE，AB，AC平面ABC，DE，EF平面DEF，平面ABC平面DEF.【方法技巧】1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【变式 1】（贵州凯里一中 2019 届高三模拟）(1)下列命题正确的是()A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP23BD1，则 下面说法正确的是_(填序号).MN平面APC；C1Q平面APC；A，P，M三点共线；平面MNQ平面APC.【答案】(1)C(2)【解析】(1)A 选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于 B 选项，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D 选项中两平面也可能相交.C 正确.(2)如图，对于，连接MN，AC，则MNAC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN平面APC，所以MN平面APC是错误的.对于，由知M，N在平面APC内，由题易知ANC1Q，且AN平面APC，C1Q平面APC.所以C1Q平面APC是正确的.对于，由知，A，P，M三点共线是正确的.对于，由知MN平面APC，又MN平面MNQ，所以平面MNQ平面APC是错误的.考点二 直线与平面平行的判定与性质【典例 2】（陕西西安中学 2019 届高三质检）如图所示，斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D，D1分别为 AC，A1C1的中点求证：(1)AD1平面 BDC1；(2)BD平面 AB1D1.【证明】(1)D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，C1D1DA，四边形ADC1D1为平行四边形，AD1C1D.又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，AD1平面BDC1.(2)连接DD1，BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1平面BB1D1DDD1，BB1DD1，又D1，D分别为A1C1，AC的中点，BB1DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，BDB1D1，又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1.【方法技巧】线面平行问题的解题关键(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，从而证明直线与平面平行(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线【变式 2】（四川树德中学 2019 届高三模拟）如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABBC12AD，E，F，H分别是线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点求证：(1)AP平面 BEF；(2)GH平面 PAD.【证明】(1)连接EC，ADBC，BC12AD，E是AD的中点，BCAE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点 又F是PC的中点，FOAP.FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD.PD平面PAD，FH平面PAD，FH平面PAD.又O是AC的中点，H是CD的中点，OHAD.又AD平面PAD，OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.考点三 面面平行的判定与性质【典例 3】（广西柳州高级中学 2019 届高三模拟）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【证明】(1)在A1B1C1中，G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，GH与BC确定一个平面，G，H，B，C，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.易证A1GEB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG.A1E平面BCHG.A1EEFE，且A1E平面EFA1，EF平面EFA1，平面EFA1平面BCHG.【方法技巧】证明面面平行的常用方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明【变式 3】（广东中山一中 2019 届高三模拟）如图所示，在四棱锥EABCD中，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接OC，OE.CBCD，COBD.又ECBD，ECCOC，BD平面OEC.OE平面OEC，BDOE.又O为BD中点，OE为BD的垂直平分线，BEDE.(2)取AB的中点N，连接DN，MN.M为AE的中点，MNBE.ABD为等边三角形，N为AB的中点，DNAB.BCD120，CDCB，OBC30，CBN90，即CBAB，DNCB.DNMNN，BECBB，平面MND平面BEC.又DM平面MND，DM平面BEC.考点四 平行关系的综合应用【典例 4】【2019 年高考天津卷】如图，AE 平面ABCD，,CFAEADBC，,1,2ADABABADAEBC（1）求证：BF 平面ADE；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（3）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长 【答案】（1）见解析；（2）49；（3）87【解析】依题意，可以建立以A为原点，分别以ABADAEuuu r uuu r uuu r，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD，(0,0,2)E 设(0)CFhh，则1,2,Fh （1）依题意，(1,0,0)AB uuu r是平面ADE的法向量，又(0,2,)BFhuuu r，可得0BF ABuuu r uuu r，又因为直线BF 平面ADE，所以BF 平面ADE（2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BDBECE uuu ruuu ruuu r 设(,)x y zn为平面BDE的法向量，则0,0,BDBEuuu ruuu rnn即0,20,xyxz 不妨令1z，可得(2,2,1)n因此有4cos,9|CECECE uuu ruuu ruuu rnnn 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49（3）设(,)x y zm为平面BDF的法向量，则0,0,BDBFuuu ruuu rmm即0,20,xyyhz 不妨令1y，可得21,1,hm 由题意，有224|1cos,|343 2hh m nm nm n，解得87h 经检验，符合题意 所以，线段CF的长为87 【举一反三】（湖北荆州中学 2019 届高三模拟）如图所示，平面平面，点A，点C，点B，点D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD.(1)求证：EF平面；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC4，BD6，且AC，BD所成的角为 60，求EF的长【解析】(1)证明：当AB，CD在同一平面内时，由平面平面，平面平面ABDCAC，平面平面ABDCBD知，ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又EF，BD，EF平面.当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD平面HD，且HDAC，平面平面，平面平面ACDHAC，ACHD，四边形ACDH是平行四边形 在AH上取一点G，使AGGHCFFD，连接EG，FG，BH.AEEBCFFDAGGH，GFHD，EGBH.又EGGFG，BHHDH，平面EFG平面.又EF平面EFG，EF平面.综合可知，EF平面.(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别是AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且ME12BD3，MF12AC2.EMF为AC与BD所成的角或其补角，EMF60或 120.在EFM中，由余弦定理得 EFME2MF22MEMFcos EMF 322223212 136，即EF 7或EF 19.【方法技巧】利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决【变式 4】（河南省实验中学 2019 届高三模拟）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形 (1)求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH；(2)若AB4，CD6，求四边形EFGH周长的取值范围【解析】(1)证明：四边形EFGH为平行四边形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD.又EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB，EFAB，又AB平面EFGH，EF平面EFGH，AB平面EFGH.同理可证，CD平面EFGH.(2)设EFx(0 x4)，四边形EFGH为平行四边形，CFCBx4，则FG6BFBCBCCFBC1x4，FG632x.四边形EFGH的周长l2x632x12x.又0 x4，8l12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)
