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谈无理方程的解法 宿城区中扬中学 张家旭 根号下含有未知数的方程叫无理方程。解无理方程的指导思想是通过乘方把无理方程转化为有理方程。由于在乘方过程中扩大了方程中未知数的取值范围，可能会产生增根，所以，解无理方程一定要验根，验根是必不可少的步骤。但对一些特殊的方程可考虑用特殊的方法来解，比较方便。现将解无理方程的基本方法和几种特殊方法归纳如下，供参考。一、观察法 例1、解方程)2(5222xx 解：无论 x 取什么值时，522x恒为正，而)2(2 x恒为负，矛盾。所以，此方程无解。例2、解方程 53xx 解：根据算术根的定义，要保证x3有意义，必须要 x3，而要使53xx有意义，必须要使 x5，这显然矛盾。所以，原方程无解。例 3、解方程 638xx 解：要使8x有意义，x8，要使x3有意义，x3，显然不存在同时满足这两个条件的 x 值。故此方程无解。例 4、解方程 xxx21679 分析：这个方程的特点是：左边两个根号下的被开方式的和等于右边根号下的被开方式。所以，由观察可得其解。解：原方程可化为)7()9(79xxxx 由观察得 x=7 或者 x=9 显然 x=9 是增根。所以，原方程的解为 x=7。注：我们对一些较为简单的或者是有特殊关系的无理方程，可通过观察，根据算术根的定义或利用根式的有关性质，直接判断它们解的情况。这样，可不必盲目的去解方程，避免走弯路。二、直接平方法 例 5、解方程 xxx2722 解：移项得，xx722x+2 两边平方整理得，0432 xx 解得，4,121xx 经检验，42x是增根。所以，原方程的解为 x=1。注：含有一个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行一次平方，即可把无理方程转化为有理方程。例 6、解方程 1542xx 解：移项、两边平方并整理得，5210 xx 两边再平方并整理得，080242xx 解得x=20，或者 x=4，经检验，x=4 是增根。所以，原方程的解为 x=20。注：含有两个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行两次平方才能获得方程的解。三、换元法 例 7、解方程 0393253222xxxx 解：设yxx9322 原方程可化为 0652 yy 解得 y=6，或者 y=-1（舍去）。所以，当 y=6 时，即 69322 xx 解得 x=3，或者 x=29。经检验 x=3，或者 x=29都是原方程的解。例 8、解方程56135222xxxx 解：原方程可变形为 03135)13(222xxxx 设yxx132 原方程可化为03522 yy 解得 y=3，或者 y=21（舍去）。所以，当 y=3 时，即 3132 xx 解得，x=5 或者 x=-2。经检验 x=5，或者 x=-2 都是原方程的解。注：若被开方式中各项的系数（或者某项系数与常数项）与不在根号内的式子中所含未知数的项的系数（或者某项系数与常数项）对应相等或者对应成比例，可考虑用换元法来解。例 9、解方程 1542xx 解：设yx 5 则52 yx 所 以，原 方 程 可 化 为yy11422 平 方、整 理 得01522yy 解得 y=5 或者 y=-3（舍去）。当 y=5 时，即55 x x=20 经检验 x=20 是原方程的解。注：利用换元法来解，避免了增根的产生。请与例 6 进行比较。例 10、解方程 xxx572 解：已知方程中 x5，x0 两边同除以x得，15172xx（1）设yx51 则5112yx（2）将（2）代入（1）得 yy157172（3）解（3）得 y=32，或者 y=23（舍去）把32y 代入（2）得 x=9 经检验，x=9 是原方程的解。注：根据假设 y 表示算术根，若求得的 y 值是负数，则应舍去，这样就避免了产生增根的可能。如：例 7、例 8、例 9、例 10 四、配方法 例 11、解方程 36525222xxxxx 解：原方程可化为 965265222xxxxxx 9)65(22xxx 3652xxx 解之得，x=3 或者 x=113（增根，舍去）原方程的解为 x=3 注：本题若通过平方来解，则会出现高次，这会给解题带来一定的困难。而通过拆项、添项的办法，把原方程的左边配成完全平方式，利用直接开平方的方法来解，这就比利用平方的方法来解要简单的多。五、平方公式法 例 12、解方程 2652522xxxx 分析：本题若采用平方法来解，较繁；用换元法来解，亦较繁，都会出现高次。根据方程中被开方式的特点，可考虑利用平方差公式来解。解：4)65()25(2222xxxx 4)6525)(6525(2222xxxxxxxx（1）已知2652522xxxx (2)2()1(得2)6525(22xxxx（3）（2）+（3）得 2252 xx 解得 x=-6 或者 x=1 检验 x=-6 或者 x=1 是原方程的解。六、利用互为倒数关系来解 例 13、解方程 252112xxxx 解：12xx与21xx互为倒数，又21225 2 与21 亦互为倒数 可令12xx=2 或者12xx=21 从而解得 x=2 或者 x=-3 x=-3 是增根 原方程的解为 x=2 七、利用分母有理化来解 例 14、解方程 024221422122xxxx 分析：这个方程的特点是左边两个式子的分母是共轭根式，利用分母有理化即可把分母中的根号化去。解：把原方程分母有理化，得 2)42(4422)42(4422222222xxxxxxxx 易得 x=1 经检验 x=1 就是原方程的根。邮 编：223800 电 话：0527（单位）0527（住宅）