平衡点相轨线25761.pdf

平衡点(奇点)(0，0)的结构与特征方程 0 的根 1、2 密切相关。当时，可经非退化的线性变换将上方程所对应的线性方程凧=x+by,夻=x+dy化为标准型,将变换后的变量仍以x,y表示，则线性方程奇点的结构可化为下列几种情形：1与 2为同号实根，奇点(0,0)叫结点。从结点的充分小邻域内出发的任何轨线都沿确定方向无限趋近它(当t+或t-,视 1和 2为负或为正而定)。若 12，方程可化为凧=1x,夻=2y,以012为例,其图形为图 1 之a。若 1=2,且初等因子是单的，方程同(),以 102为例，其图形如图 1 之d。1,2=i，112212(),()x taxbxx tcxdx，0,奇点（0,0）叫焦点。从焦点充分小邻域出发的轨线都螺旋形地无限趋近它（当t+或t-,视 为负或为正而定）。此时方程可化为 f1=x+y，g1=-x+y。以 0 为例，其图形如图1 之 e。当 1,2=i,0,奇点(0,0)叫中心。在中心的充分小邻域内都是围绕中心的闭轨线（如图 1 之 f）。加上高次项P1和Q1后，当P1和Q1是x、y的解析函数时,奇点(0,0)或是中心或是焦点。中心和焦点的判别一般来说需要进行无限步的代数运算或积分运算。综上所述，平面线性系统的孤立奇点不计时间走向共有三种不同拓扑结构:中心、鞍点、焦结和结点;后两者的拓扑结构相同，即其图形只差一个拓扑变换。