2020年中考数学基础题提分精讲精练专题23以圆为背景的证明与计算45450.pdf

1专题 23 以圆为背景的证明与计算考点分析【例 1】（2019 广东中考模拟）已知四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AC 是O 的直径，DEAB，垂足为 E（1）延长 DE 交O 于点 F，延长 DC，FB 交于点 P，如图 1求证：PC=PB；（2）过点 B 作 BG AD，垂足为 G，BG交 DE 于点 H，且点 O 和点 A 都在 DE 的左侧，如图 2若 AB=3，DH=1，OHD=80，求BDE 的大小【答案】（1）详见解析；（2）BDE=20【解析】（1）如图 1，AC 是O 的直径，ABC=90，DEAB，DEA=90，DEA=ABC，BCDF，F=PBC，四边形 BCDF 是圆内接四边形，F+DCB=180，PCB+DCB=180，F=PCB，PBC=PCB，PC=PB；（2）如图 2，连接 OD，2AC 是O 的直径，ADC=90，BGAD，AGB=90，ADC=AGB，BGDC，BCDE，四边形 DHBC 是平行四边形，BC=DH=1，在 RtABC 中，AB=3，tanACB=3ABBC，ACB=60，BC=12AC=OD，DH=OD，在等腰DOH 中，DOH=OHD=80，ODH=20，设 DE 交 AC 于 N，BCDE，ONH=ACB=60，NOH=180（ONH+OHD）=40，DOC=DOHNOH=40，OA=OD，3OAD=12DOC=20，CBD=OAD=20，BCDE，BDE=CBD=20【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第（2）问，作出辅助线，求得ODH=20是解决本题的关键.【例 2】（2019湖南中考真题）如图，点ABC、在半径为 8 的O上，过点B作/BDAC，交OA延长线于点D连接BC，且30BCAOAC （1）求证：BD是O的切线；（2）求图中阴影部分的面积【答案】（1）见解析；（2）3232 33.【解析】（1）证明：连接OB，交CA于E，30C ，12CBOA ，60BOA，30BCAOAC ，90AEO，4即OBAC，BDAC，90DBEAEO，BD是O的切线；（2）解：，30DCAO，38 3BDOB，21608328 8 332 323603BDOAOBSSS 阴影扇形【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中考点集训1（2019 辽宁中考真题）如图，在ABC中，90ACB，CACB，点O在ABC的内部，O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作GDEC（1）判断DE与O的位置关系，并说明理由（2）若点B是DBC的中点，O的半径为2，求BC的长【答案】（1）DE是O的切线；理由见解析；（2）BC的长32【解析】（1）DE是O的切线；理由：连接OD，90ACB，CACB，545ABC，290CODABC，四边形GDEC是平行四边形，/DECG，180EDOCOD ，90EDO，ODDE，DE是O的切线；（2）连接OB，点B是DBC的中点，BCBD，BOCBOD，360BOCBODCOD ，BC的长135231802【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键2（2019 云南初三）如图，在 Rt ABC 中，C=90，BE 平分ABC 交 AC 于点E，作 ED EB 交 AB 于点D，O 是BED 的外接圆（1）求证：AC 是O 的切线；（2）已知O 的半径为2.5，BE=4，求BC，AD 的长6【答案】（1）证明见解析；（2）BC=165，AD=457【解析】（1）如图，连接 OE，OB=OE，OBE=OEB，BE 平分ABC，OBE=CBE，OEB=CBE，OEBC，又C=90，AEO=90，即 OEAC，AC 为O 的切线；（2）EDBE，BED=C=90，又DBE=EBC，BDEBEC，BDBEBEBC，即54=4 BC，BC=165；AEO=C=90，A=A，AOEABC，AOOEABBC，即2.52.51655ADAD，解得：AD=457点睛：本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质73（2019 连云港市新海实验中学初三月考）如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC 为O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF（1）求CDE 的度数；（2）求证：DF 是O 的切线；（3）若 AC=2 5DE，求 tanABD 的值【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）2【解析】解：（1）解：对角线 AC 为O 的直径，ADC=90，EDC=90；（2）证明：连接 DO，EDC=90，F 是 EC 的中点，DF=FC，FDC=FCD，OD=OC，OCD=ODC，OCF=90，ODF=ODC+FDC=OCD+DCF=90，DF 是O 的切线；（3）解：如图所示：可得ABD=ACD，E+DCE=90，DCA+DCE=90，DCA=E，又ADC=CDE=90，CDEADC，8DCDEADDC，DC2=ADDEAC=25DE，设 DE=x，则 AC=25x，则 AC2AD2=ADDE，期（25x）2AD2=ADx，整理得：AD2+ADx20 x2=0，解得：AD=4x 或4.5x（负数舍去），则 DC=22(2 5)(4)2xxx，故 tanABD=tanACD=422ADxDCx4（2019江苏初三月考）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，点 E 在O 外，EAC=D=60（1）求ABC 的度数；（2）求证：AE 是O 的切线；（3）当 BC=4 时，求劣弧 AC 的长【答案】（1）60;(2)证明略;(3)83【解析】（1）ABC 与D 都是弧 AC 所对的圆周角，ABC=D=60；（2）AB 是O 的直径，9ACB=90BAC=30，BAE=BAC+EAC=30+60=90，即 BAAE，AE 是O 的切线；（3）如图，连接 OC，OB=OC，ABC=60，OBC 是等边三角形，OB=BC=4，BOC=60，AOC=120，劣弧 AC 的长为120180R=1204180=83【点睛】本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.5 （2019 江苏中考真题）如图，AB为O的直径，C为O上一点，D为BC的中点 过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD（1）求证：ADOB ；（2）DE与O有怎样的位置关系？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）DE与O相切，理由见解析.【解析】(1)连接OC，10DQ为BC的中点，CDBD，12BODBOC，12BACBOC，ADOB ；(2)DE与O相切，理由如下：ADOB ，/AE OD，ODE+E=180，DEAE，E=90，ODE=90，ODDE，又OD 是半径，DE与O相切【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键6 （2019 湖北初三）如图，AB 为O 的直径，PD切O 于点 C，与 BA 的延长线交于点 D，DEPO交 PO延长线于点 E，连接 PB，EDB=EPB，11（1）求证：PB 是的切线（2）若 PB=6，DB=8，求O 的半径【答案】(1)证明见解析；（2）3【解析】（1）证明：在DEO 和PBO 中，EDB=EPB，DOE=POB，OBP=E=90，OB 为圆的半径，PB 为圆 O 的切线；（2）解：在 RtPBD 中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD=226810，PD 与 PB 都为圆的切线，PC=PB=6，DC=PD-PC=10-6=4，在 RtCDO 中，设 OC=r，则有 DO=8-r，根据勾股定理得：（8-r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为 3考点：切线的判定与性质7 （2019 广西中考模拟）如图，以 AB边为直径的O 经过点 P，C 是O 上一点，连结 PC 交 AB于点 E，且ACP=60，PA=PD（1）试判断 PD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若点 C 是弧 AB的中点，已知 AB=4，求 CE CP 的值12【答案】（1）PD 是O 的切线证明见解析.（2）8.【解析】连结 OP，ACP=60，AOP=120，OA=OP，OAP=OPA=30，PA=PD，PAO=D=30，OPD=90，PD 是O 的切线（2）连结 BC，AB 是O 的直径，ACB=90，又C 为弧 AB 的中点，CAB=ABC=APC=45，AB=4，AC=Absin45=C=C，CAB=APC，CAECPA，CPCE=CA2=（）2=8考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型8（2019 湖南中考真题）如图，点 D 在以 AB 为直径的O 上，AD 平分BAC，DCAC，过点 B 作O 的切线交 AD 的延长线于点 E(1)求证：直线 CD 是O 的切线(2)求证：CDBEAD DE【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】13解：证明：(1)连接 OD，AD 平分BAC，CADBAD，OAOD，BADADO，CADADO，ACOD，CDAC，CDOD，直线 CD 是O 的切线；(2)连接 BD，BE 是O 的切线，AB 为O 的直径，90ABEBDE，CDAC，90CBDE ，CADBAEDBE ，ACDBDE，CDADDEBE，CDBEAD DE【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键149（2019 山东中考真题）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别与,BC AC交于点,D E，过点D作DFAC，垂足为点F（1）求证：直线DF是O的切线；（2）求证：24BCCF AC；（3）若O的半径为4，15CDF，求阴影部分的面积【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）164 33解：（1）如图所示，连接OD，ABAC，ABCC，而OBOD，ODBABCC ，DFAC，90CDFC，90CDFODB，90ODF，直线DF是O的切线；（2）连接AD，则ADBC，则ABAC，则12DBDCBC，90CDFC，90CDAC，15CDFDCA，而90DFCADC ，CFD CDA，2CDCFAC，即24BCCF AC；（3）连接OE，15,75CDFC ，30OAEOEA ，120AOE，11sin2cossin4322OAESAEOEOEAOEOEAOEOEA ，2120164 43433603OAESOAESS 阴影部分扇形【点睛】本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握，关键在于做辅助线，这是这类题的难点.10 （2019江苏中考真题）如图，AB是O 的直径，AC与O 交于点 F，弦 AD 平分BAC，DEAC，垂足为 E（1）试判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若O 的半径为 2，60BAC，求线段 EF 的长【答案】（1）直线 DE 与O 相切；（2）1EF.【解析】（1）直线 DE 与O 相切，连结 ODAD 平分BAC，16OADCAD，OAOD，OADODA，ODACAD，ODAC，DEAC，即90AED，90ODE，即DEOD，DE 是O 的切线；（2）过 O 作OGAF于 G，2AFAG，60BAC，2OA，112AGOA，2AF，AFOD，四边形 AODF 是菱形，DFOA，2DFOA，60EFDBAC，112EFDF【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型1711（2019天津中考真题）已知PA，PB分别与O相切于点A，B，80APB，C为O上一点（）如图，求ACB的大小；（）如图，AE为O的直径，AE与BC相交于点D，若AB AD，求EAC的大小【答案】（）50ACB；（）20EAC.【解析】解：（）如图，连接OAOB，PAPB，是O的切线，OA PA，OB PB即90OAP OBP 80APB，在四边形OAPB中，360100AOBOAP OBP APB 在O中，12ACBAOB，50ACB（）如图，连接CEAE为O的直径，90ACE由（）知，50ACB，1840BCE ACE ACB 40BAE BCE 在ABD中，AB AD，1(180)702ADB ABDBAE 又ADB是ADC的一个外角，有EAC ADB ACB ，20EAC【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键12（2019甘肃中考真题）如图，在ABC中，,120AB AC BAC，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E(1)求证：AC是D的切线；(2)若2 3CE，求D的半径【答案】(1)见解析；(2)2 3【解析】(1)证明：连接AD，,120AB AC BAC，30BC ，19AD BD，30BAD B ，60ADC，180 60 30 90DAC ，AC是D的切线；(2)解：连接AE，,60AD DE ADE，ADE是等边三角形，,60AE DE AED，30EAC AED C ，EAC C，2 3AE CE，D的半径2 3AD【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键13 （2019湖北中考真题）如图，在Rt ABC中，90ACBD，为AB的中点，以CD为直径O的分别交ACBC，于点E F，两点，过点F作FG AB于点G.1试判断FG与O的位置关系，并说明理由 2若32.5ACCD，求FG的长20【答案】（1）FGO与相切，理由见解析；（2）6.5FG【解析】（1）相FGO与切，理由：如图，连接OF，90ACBD，为AB的中点，CDBD，DBCDCB，OFOC，OFCOCF，OFCDBC，/OFDB，180OFGDGF，FGAB，90DGF，90OFG，FG与O相切；2连接DF，2.5CD，2125AB CD，224BCAB ACCD为O的直径，90DFC，FD BC，DBDC，122BFBCsinAC FGABCAB FB即352FG，6.5FG【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键14（2019山西初三期末）如图，点 O在APB的平分线上，O与 PA 相切于点 C（1）求证：直线 PB 与O相切；（2）PO 的延长线与O交于点 E 若O的半径为 3，PC=4求弦 CE 的长【答案】(1)证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接 OC，作 OD PB 于 D点O与 PA 相切于点 C，OCPA（2）解：设 PO 交O于 F，连接 CFOC=3，PC=4，PO=5，PE=822O与 PA 相切于点 C，PCF=E 又CPF=EPC，PCFPEC，CF：CE=PC：PE=4：8=1：2EF 是直径，ECF=90设 CF=x，则 EC=2x 则 x2+（2x）2=62，解得 x=则 EC=2x=