2020届高三(文理)数学一轮复习《基本不等式》专题测试(教师版)43156.pdf

1/8 基本不等式专题 题型一 基本不等式的判断 1下列不等式一定成立的是()Algx214lg x(x0)Bsin x1sin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR D.1x211(xR)解析：当 x0 时，x2142x12x，所以 lgx214lg x(x0)，故选项 A 不正确；而当xk，kZ 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；当x0 时，有1x211，故选项 D 不正确 题型二 利用基本不等式求最值 类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值 1设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为 解析：x0，y0，xy2 xy，即 xyxy2281，当且仅当 xy9 时，(xy)max81.2.若函数 f(x)x1x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于 解析：当 x2 时，x20，f(x)(x2)1x222x21x224，当且仅当 x21x2(x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x3，即 a3.3.函数 f(x)x24|x|的最小值为 解析：f(x)x24|x|x|4|x|2 44，当且仅当 x2 时，等号成立.4若 a，b 都是正数，则1ba14ab的最小值为 解析：a，b 都是正数，1ba14ab5ba4ab52ba4ab9，当且仅当 b2a0时取等号 5若实数 a，b 满足1a2b ab，则 ab 的最小值为 解析：依题意知 a0，b0，则1a2b22ab2 2ab，当且仅当1a2b，即 b2a 时，“”2/8 成立因为1a2b ab，所以 ab2 2ab，即 ab2 2，所以 ab 的最小值为 2 2.6已知 a0，b0，ab1a1b，则1a2b的最小值为 解析：由 a0，b0，ab1a1babab，得 ab1，则1a2b21a2b2 2.当且仅当1a2b，即 a22，b 2时等号成立 7已知 0 x0，则函数 yx22x132的最小值为 解析：yx22x132x121x1222x121x1220，当且仅当 x121x12，即 x12时等号成立所以函数的最小值为 0.10函数 yx22x1(x1)的最小值为_.解析：x1，x10，yx22x1x22x12x23x1x122x13x1(x1)3x122 32.当且仅当 x13x1，即 x 31 时，等号成立.11已知 x，y 都为正实数，且 xy1x1y5，则 xy 的最大值是 解析：因为 xy1x1yxyxyxyxyxyxy22xy4xy，所以 xy4xy5.3/8 令 xyt.则 t25t40，解得 1t4.类型二 常数代换法利用基本不等式求最值 1.已知正数 a，b 满足 ab1，则4a1b的最小值为 解析：由题意知，正数 a，b 满足 ab1，则4a1b4a1b(ab)414baab524baab9，当且仅当4baab，即 a23，b13时等号成立，所以4a1b的最小值为 9.2已知 a0，b0，a2b3，则2a1b的最小值为_ 解析：由 a2b3 得13a23b1，所以2a1b13a23b2a1b43a3b4b3a432 a3b4b3a83.当且仅当 a2b32时取等号 3.若 a0，b0，lg alg blg(ab)，则 ab 的最小值为 解析：由 lg alg blg(ab)，得 lg(ab)lg(ab)，即 abab，则有1a1b1，所以 ab1a1b(ab)2baab22baab4，当且仅当 ab2 时等号成立，所以ab 的最小值为 4.4.若正数 x，y 满足 3xy5xy，则 4x3y 的最小值是 解析：由 3xy5xy，得3xyxy3y1x5，所以 4x3y(4x3y)153y1x15493yx12xy15(492 36)5，当且仅当3yx12xy，即 y2x 时，“”成立，故 4x3y 的最小值为 5.5.设 x0，y0，若 xlg 2，lg 2，ylg 2 成等差数列，则1x9y的最小值为 解析：xlg 2，lg 2，ylg 2 成等差数列，2lg 2(xy)lg 2，xy1.1x9y(xy)1x9y102yx9xy10616，当且仅当 x14，y34时取等号.6已知实数 m，n 满足 mn0，mn1，则1m1n的最大值为_ 解析:mn0，mn1，m0，n0 且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10上，其中 mn0，则1m1n的最小值为 解析：令 x31，得 x2，故 A(2，1)又点 A 在直线 mxny10 上，2mn10，即 2mn1，则1m1n1m1n(2mn)3nm2mn32 nm2mn32 2.当且仅当 m12 2，n121时等号成立，所以1m1n的最小值为 32 2.8已知 x，y 均为正实数，且1x21y216，则 xy 的最小值为 解析：x，y 均为正实数，且1x21y216，则 xy(x2y2)461x21y2(x2y2)462x2y2y2x24 622x2y2y2x2420，当且仅当 xy10 时取等号xy 的最小值为 20.9若 a，b，c 都是正数，且 abc2，则4a11bc的最小值是 解析:a，b，c 都是正数，且 abc2，abc13，且 a10，bc0.4a11bc13(a1bc)4a11bc1354bca1a1bc13(54)3.当且仅当 a12(bc)，即 a1，bc1 时，等号成立.10已知函数 f(x)ax2bx(a0，b0)的图像在点(1，f(1)处的切线的斜率为 2，则8abab的最小值是 解析:由函数 f(x)ax2bx，得 f(x)2axb，由函数 f(x)的图像在点(1，f(1)处的切线斜率为 2,所以 f(1)2ab2，所以8abab1a8b121a8b(2ab)1210ba16ab 12102ba16ab12(108)9，当且仅当ba16ab，即 a13，b43时等号成立，所以8abab的最小值为 9.5/8 11.已知 x0，y0，且 2x5y20.(1)求 ulg xlg y 的最大值；(2)求1x1y的最小值.解析:(1)x0，y0，由基本不等式，得 2x5y2 10 xy.2x5y20，2 10 xy20，xy10，当且仅当 2x5y 时，等号成立.因此有 2x5y20，2x5y，解得 x5，y2，此时 xy 有最大值 10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当 x5，y2 时，ulg xlg y 有最大值 1.(2)x0，y0，1x1y1x1y2x5y2012075yx2xy12072 5yx2xy72 1020，当且仅当5yx2xy时，等号成立.由 2x5y20，5yx2xy，解得 x10 10203，y204 103.1x1y的最小值为72 1020.类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值 1正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是_ 解析 a，b 是正数，abab32 ab3，解得 ab3，即 ab9.2.设 x，y 均为正数，且 xyxy100，则 xy 的最小值是_.解析:由 xyxy100，得 xy10y19y11，xy9y11y29y11y6，当且仅当9y11y，即 y2 时，等号成立.3已知 x0，y0，且 2x4yxy1，则 x2y 的最小值是_ 解析：令 tx2y，则 2x4yxy1 可化为 12x4yxy2(x2y)12x2y222tt28.因为 x0，y0，所以 x2y0，即 t0，t216t80，解得 t6 28.即 x2y 的最小值 6/8 是 6 28.类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围 1若对于任意 x0，xx23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是_ 解析:xx23x113x1x，因为 x0，所以 x1x2(当且仅当 x1 时取等号)，则13x1x13215，即xx23x1的最大值为15，故 a15.2正数 a，b 满足1a9b1，若不等式 abx24x18m 对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 解析:因为 a0，b0，1a9b1，所以 ab(ab)1a9b10ba9ab102 916，由题意，得 16x24x18m，即 x24x2m 对任意实数 x 恒成立，而 x24x2(x2)26，所以 x24x2 的最小值为6，所以6m，即 m6.3已知不等式(xy)1xay9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 解析:已知不等式(xy)1xay9 对任意正实数 x，y 恒成立，只要求(xy)1xay的最小值大于或等于 9，1ayxaxya2 a1，当且仅当 y ax 时，等号成立，a2 a19，a2 或 a4(舍去)，a4，即正实数 a 的最小值为 4.4已知函数 yxmx2(x2)的最小值为 6，则正数 m 的值为_ 解析:x2，m0，yx2mx222x2mx222 m2，当且仅当 x2 m时取等号，又函数 yxmx2(x2)的最小值为 6，2 m26，解得 m4.题型二 基本不等式的综合问题 类型一 基本不等式的实际应用问题 1某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元 7/8 解析:设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1k1x(k10)，y2k2x(k20)，工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元，k15，k220，运费与仓储费之和为5x20 x万元，5x20 x25x20 x20，当且仅当 5x20 x，即 x2 时，运费与仓储费之和最小，为 20 万元 2.若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.解析:设矩形的一边为 x m，面积为 y m2，则另一边为12(202x)(10 x)m，其中 0 x10，yx(10 x)x10 x2225，当且仅当 x10 x，即 x5 时，ymax25.类型二 基本不等式与函数的交汇问题 1.已知 A，B 是函数 y2x的图象上不同的两点，若点 A，B 到直线 y12的距离相等，则点A，B 的横坐标之和的取值范围是 解析:设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设 x1x2.函数 y2x为单调增函数，若点 A，B 到直线 y12的距离相等，则12y1y212，即 y1y21，即 2x12x21.由基本不等式得 12x12x22 2x12x2，当且仅当 x1x21 时取等号，则 2x1x214，解得 x1x20)，S7S5a7a63(a4a5)，a7a6a5a4q23.4a39a74a39a3q44a31a324a31a34，当且仅当 4a31a3，即 a312时等号成立.4a39a7的最小值为 4.2.已知 a0，b0，并且1a，12，1b成等差数列，则 a9b 的最小值为 解析:1a，12，1b成等差数列，1a1b1，a9b(a9b)1a1b10ab9ba 8/8 102ab9ba16，当且仅当ab9ba且1a1b1，即 a4，b43时等号成立.类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题 1.直线 axbyc10(b，c0)经过圆 x2y22y50 的圆心，则4b1c的最小值是 解析:圆 x2y22y50 化成标准方程为 x2(y1)26，所以圆心为 C(0,1)因为直线axbyc10 经过圆心 C，所以 a0b1c10，即 bc1.因此4b1c(bc)4b1c4cbbc5.因为 b，c0，所以4cbbc2 4cbbc4.当且仅当4cbbc时等号成立由此可得 b2c，且 bc1，即当 b23，c13时，4b1c取得最小值 9.2.当双曲线 M：x2my2m241 的离心率最小时，M 的渐近线方程为 解析:由题意得 m0，e1m24m1m4m 12 m4m 5，当且仅当 m4m，即 m2 时等号成立，所以双曲线的方程为x22y281，所以渐近线方程为 y2x.