2023年新高考数学大一轮复习讲义专题43排列组合(原卷版)43380.pdf

专题 43 排列组合 【题型归纳目录】题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算 题型二：直接法 题型三：间接法 题型四：捆绑法 题型五：插空法 题型六：定序问题（先选后排）题型七：列举法 题型八：多面手问题 题型九：错位排列 题型十：涂色问题 题型十一：分组问题 题型十二：分配问题 题型十三：隔板法 题型十四：数字排列 题型十五：几何问题 题型十六：分解法模型与最短路径问题 题型十七：排队问题 题型十八：构造法模型和递推模型 题型十九：环排问题【考点预测】知识点 1、排列与排列数（1）定义：从n个不同元素中取出m mn个元素排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个不同元素中取出m mn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnA表示（2）排列数的公式：!121!mnnAn nnnmnm 特例：当mn时，!123 2 1mnAnn nn；规定：0!1（3）排列数的性质：11mmnnAnA；111mmmnnnnAAAnmnm；111mmmnnnAmAA（4）解排列应用题的基本思路：通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，A11mnn nnm常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用!A()!mnnnm 知识点 2、组合与组合数（1）定义：从n个不同元素中取出m mn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合从n个不同元素中取出m mn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号mnC表示（2）组合数公式及其推导 求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数mnA；根据分步计数原理，得到mmmnnmACA；因此 121!mmnnmmn nnnmACAm 这里n，mN，且mn，这个公式叫做组合数公式因为!mnnAnm，所以组合数公式还可表示为：!mnnCm nm特例：01nnnCC 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题公式(1)(2)(1)C!mnn nnnmm常用于具体数字计算，!C!()!mnnm nm常用于含字母算式的化简或证明（3）组合数的主要性质：mn mnnCC；11mmmnnnCCC（4）组合应用题的常见题型：“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“至少”或“最多”含有几个元素的题型 知识点 3、排列和组合的区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排 列”知识点 4、解决排列组合综合问题的一般过程 1、认真审题，确定要做什么事；2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略【方法技巧与总结】1、如图，在圆中，将圆分n等份得到n个区域1M，2M，3M，(2)nMn，现取(2)k k种颜色对这n个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)nnkk种 2、错位排列公式1(1)(1)!inniDnn 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论 4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数 5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将 n 个不同元素排成一排，其中某 k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这 k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11n kn kA 种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有kkA种排法根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n kn kkkAA 种 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻.Mn.Mn-1M1M2M3 （1knk），求不同排法种数的方法是：先将（nk）个元素排成一排，共有n kn kA种排法；然后把k个元素插入1nk个空隙中，共有1kn kA 种排法根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有n kn kA1kn kA 种【典例例题】题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算 例 1（2022山东高密三中高三阶段练习）已知 n，m为正整数，且nm，则在下列各式中错误的是（）A36A120；B77712127ACA；C111CCCmmmnnn；DCCmn mnn 例 2（2022江苏镇江高三开学考试）已知n，m为正整数，且nm，则在下列各式中，正确的个数是（）36A120；77712127ACA；111CCCmmmnnn；CCmn mnn A1 B2 C3 D4 例 3（2022全国高三专题练习）若332A10Ann，则n（）A7 B8 C9 D10 例 4（2022全国高三专题练习）已知2121313CCxx，则x的值为（）A3 B3 或 4 C4 D4 或 5 例 5（多选题）（2022全国高三专题练习）已知23301AA2!4m，则m的可能取值是（）A0 B1 C2 D3 例 6（多选题）（2022全国高三专题练习）下列等式正确的是（）Amn mnnCC B!mmnnACn C22(2)(1)mmnnnnAA D111rrrnnnCCC 例 7（多选题）（2022全国高三专题练习）下列等式中，正确的是（）A11mmmnnnAmAA B11rrnnrCnC C111111mmmmnnnnCCCC D11mmnnmCCnm 例 8（2022全国高三专题练习）解下列不等式或方程(1)288A6Axx (2)567117CC10Cmmm 例 9（2022全国高三专题练习）（1）计算：2973100101101CCA；（2）计算：3333410CCC；（3）解方程：755AA89Annn.例 10（2022全国高三专题练习）利用组合数公式证明111mmmnnnCCC 题型二：直接法 例 11甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5 人的名次排列方式共有（）种 A54 B72 C96 D120 例 12某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出,A B C D E F共 6 名同学进行决赛，决出第 1 名到第 6 名的名次（没有并列名次），A和B去询问成绩，回答者对A说“很遗，你和B都末拿到冠军；对B说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这 6 人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A720 种 B600 种 C480 种 D384 种 例 13甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）A24 种 B6 种 C4 种 D12 种 例 14某学校要从 5 名男教师和 3 名女教师中随机选出 3 人去支教，则抽取的 3 人中，女教师最多为 1 人的选法种数为（）A10 B30 C40 D46 题型三：间接法 例 15将 7 个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙 3 人中至多有 2 人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）A1860 种 B3696 种 C3600 种 D3648 种 例 16某学校计划从包含甲乙丙三位教师在内的 10 人中选出 5 人组队去西部支教，若甲乙丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（）A21 种 B231 种 C238 种 D252 种 例 17中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A408 种 B240 种 C1092 种.D120 种 例 18红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立 100 周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共有 6 个节目进入决赛，其中 2 个歌舞类节目，2 个小品类节目，1 个朗诵类节目，1 个戏曲类节目演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（）A96 B326 C336 D360 题型四：捆绑法 例 19（2022四川树德怀远中学高三开学考试（理）甲、乙等 5 人去北京天安门游玩，在天安门广场排成一排拍照留念，则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有（）A12 种 B24 种 C48 种 D120 种 例 20（2022四川成都高三开学考试（理）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（）种不同的排法 A24 B144 C48 D96 例 21（2022全国高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（）A72 种 B60 种 C48 种 D36 种 例 22（2022全国高三专题练习）3 位教师和 4 名学生站一排，3 位教师必须站在一起，共有（）种站 法 A144 B360 C480 D720 例 23（2022全国高三专题练习）某晚会上需要安排 4 个歌舞类节目和 2 个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有 2 个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（）A72 B96 C120 D144 题型五：插空法 例 24（2022全国高三专题练习）2022 年 2 月 4 日，中国北京第 24 届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（）A24 B48 C144 D244 例 25（2022全国高三专题练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一二三共 5 本书，把这 5 本书放在书架上排成一排，必修一必修二不相邻的排列方法种数是（）A72 B144 C48 D36 例 26（2022全国高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（）A18 种 B24 种 C36 种 D72 种 例 27（2022全国高三专题练习（理）马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（）种 A15 B20 C10 D9 例 28（2022全国模拟预测）某等候区有 7 个座位（连成一排），甲、乙、丙三人随机就坐，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有（）A4 种 B10 种 C20 种 D60 种 例 29（2022全国高三专题练习）为迎接新年到来，某中学 2022 作“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的 8 个学生节目中增加 2 个教师节目，若保持原来的 8 个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为()A36 B45 C72 D90 题型六：定序问题（先选后排）例 30满足*(1,2,3,4)ixiN，且123410 xxxx的有序数组1234,x xx x共有（）个.A49C B49P C410C D410P 例 31,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边，（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A120 种 B90 种 C60 种 D24 种 例32DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合在 DNA 中只有 4 种类型的碱基，分别用A、C、G和 T 表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是 A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序如图所示为一条 DNA 单链模型示意图，现在某同学想在碱基 T 和碱基 C之间插入 3 个碱基 A，2 个碱基 C和 1 个碱基 T，则不同的插入方式的种数为（）A20 B40 C60 D120 例 33某次演出有 5 个节目，若甲、乙、丙 3 个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（）A120 种 B80 种 C20 种 D48 种 例 34某次数学获奖的 6 名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（）A36 B90 C360 D720 例 35花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的 8 盏不同的花灯需要取下，每次取 1 盏，则不同取法总数为（）A2520 B5040 C7560 D10080 例 36如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆 2 个，一堆 3 个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（）A6 B10 C12 D24 题型七：列举法 例 37三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过 5 次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（）A6 种 B8 种 C10 种 D16 种 例 38三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过 4 次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（）A4 种 B5 种 C6 种 D12 种 例 39设1x，2x，31,0,1,2x ，那么满足32212308xxx的所有有序数组123,x x x的组数为（）A45 B46 C47 D48 例40 从集合1,2,3,4,15中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（）个 A98 B56 C84 D49 例 41工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的 2 个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是_ 题型八：多面手问题 例 42我校去年 11 月份，高二年级有 10 人参加了赴日本交流访问团，其中 3 人只会唱歌，2 人只会跳舞，其余 5 人既能唱歌又能跳舞现要从中选 6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，有种不同的选法 A675 B575 C512 D545 例 43某国际旅行社现有 11 名对外翻译人员，其中有 5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又会法语，现从这 11 人中选出 4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有（）种不同的选法 A225 B185 C145 D110 例 44“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的 8 名队员中有 3 人只会划左桨，3 人只会划右桨，2 人既会划左桨又会划右桨现要选派划左桨的 3 人、划右桨的 3 人共 6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A26 种 B30 种 C37 种 D42 种 例 45某龙舟队有 9 名队员，其中 3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，2 人既会划左舷又会划右舷现要选派划左舷的 3 人、右舷的 3 人共 6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A56 种 B68 种 C74 种 D92 种 题型九：错位排列 例 46编号为 1、2、3、4、5 的 5 个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A10 种 B20 种 C30 种 D60 种 例 47将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A90 B135 C270 D360 例 48 若 5 个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这 5 张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这 5 人在箱子里各摸一张，恰有 1 人摸到自己写的卡片的方法数有（）A20 B90 C15 D45 题型十：涂色问题 例 49（2022陕西宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理）某儿童游乐园有 5 个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种 A36 B48 C54 D72 例 50（2022全国高三专题练习）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这 5 种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（）A64125 B24125 C64625 D256625 例 51（2022全国高三专题练习）无盖正方体容器的五个面上分别标有 A、B、C、D、E 五个字母，现需要给容器的 5 个表面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，现有 5 种不同的颜色可供选择，则不同的染色方案有（）种 A420 B340 C300 D120 例 52（2022全国高三专题练习（文）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A180 B240 C420 D480 例 53（2022全国高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）A720种 B2160种 C4100种 D4400种 例 54（2022全国高三专题练习（理）用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种 A14400 B28800 C38880 D43200 例 55（2022全国高三专题练习（理）用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,9的9个小正方形（如图 1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A108种 B60种 C48种 D36种 题型十一：分组问题 例 56为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（）A18 种 B36 种 C68 种 D84 种 例 572021 年春节期间电影你好，李焕英因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派 5 名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为 1，2，3，4 的 4 个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有 5 名工作人员的影厅编号之和恰为 10，则不同的指派方法种数为（）A91 B101 C111 D121 例 582019 年实验中学要给三个班级补发 8 套教具，先将其分成 3 堆，其中一堆 4 个，另两堆每堆 2 个，一共有多少种不同分堆方法（）A422842C C C B1238C C C428422C CA D42284233C C CA 例 59有12本不同的书.(1)分给甲、乙、丙、丁四人，每人3本，有几种分法？(2)若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？(3)若平均分成3堆，有几种方法（只要求列出算式）？例 60已知有 6 本不同的书.（1）分成三堆，每堆 2 本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，有多少种不同的分堆方法？题型十二：分配问题 例 612022 年北京冬奥会速度滑冰花样滑冰冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志自愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是（）A18 B27 C36 D48 例 62现将 5 名志愿者全部分派到 A、B、C三个居民小区参加抗击新冠病毒知识宣传，要求每个小区至少1 人，志愿者甲安排到 A小区，则不同的安排方法种数为（）A56 B50 C62 D36 例 63将 4 名志愿者分配到 3 个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为_（用数字作答）例 64设有 99 本不同的书（用排列数、组合数作答）.(1)分给甲、乙、丙 3 人，甲得 96 本，乙得 2 本，丙得 1 本，共有多少种不同的分法？(2)分给甲、乙、丙 3 人，甲得 93 本，乙、丙各得 3 本，共有多少种不同的分法？(3)平均分给甲、乙、丙 3 人，共有多少种不同的分法？(4)分给甲、乙、丙 3 人，一人得 96 本，一人得 2 本，一人得 1 本，共有多少种不同的分法？(5)分给甲、乙、丙 3 人，一人得 93 本，另两人各得 3 本，共有多少种不同的分法？(6)分成 3 份，一份 96 本，一份 2 本，一份 1 本，共有多少种不同的分法？(7)平均分成 3 份，共有多少种不同的分法？(8)分成 3 份，一份 93 本，另两份各 3 本，共有多少种不同的分法？例 65(1)4个不同的小球放入编号为12 3,4，的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？(2)4个不同的小球放入编号为12 3,4，的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？例 66将4封信全部投入3个邮筒：(1)不加任何限制，有多少种不同的投法？(2)每个邮筒至少投一封信，有多少种不同的投法？题型十三：隔板法 例 67将 9 个志愿者名额全部分配给 3 个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（）A16 B18 C27 D28 例 68112xyz展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（）A12 项 B24 项 C39 项 D78 项 例 697 个相同的小球放入A，B，C三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法 A60 种 B36 种 C30 种 D15 种 例 70 将 10 本完全相同的科普知识书，全部分给甲乙丙 3 人，每人至少得 2 本，则不同的分法数为（）A720 种 B420 种 C120 种 D15 种 例 71方程18xyz的非负整数解有（）A172组 B136 组 C190 组 D68 组 例 72若方程12348xxxx，其中22x，则方程的正整数解的个数为 A10 B15 C20 D30 题型十四：数字排列 例 73（2022重庆南开中学模拟预测）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：3.14159263.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把 3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前 6 位数字 3，1，4，1，5，9 进行某种排列得到密码 如果排列时要求数字 9 不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（）个 A600 B300 C360 D180 例 74（2022河北青龙满族自治县实验中学高三开学考试）用数字 1，2，3，4 组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A6 B12 C16 D18 例 75（2022山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理）若从 1，2，3，9 这 9 个整数中取出 4 个 不同的数排成一排，依次记为 a，b，c，d，则使得 abcd为奇数的不同排列方法有（）A1224 B1800 C1560 D840 例 76（2022全国高三专题练习）数字“2016”中，各位数字相加和为9，称该数为“长久四位数”，则用数字0,1,2,3,4,5,6组成的无重复数字且大于2016的“长久四位数”有（）个 A39 B40 C41 D42 例 77（2022全国高三专题练习）用数字1、2、3组成五位数，且数字1、2、3至少都出现一次，这样的五位数共有（）个 A120 B150 C210 D240 例 78（2022全国高三专题练习）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A210 个 B300 个 C464 个 D600 个 题型十五：几何问题 例 79（2022河南鹤壁高中高三阶段练习（理）若一个正方体绕着某直线l旋转不到一周后能与自身重合，那么这样的直线l的条数为（）A3 B4 C6 D13 例 80以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（）A70 B64 C60 D58 例 81从正方体的 8 个顶点中选取 4 个作为顶点，可得到四面体的个数为（）A4812C B488C C486C D484C 例 82在正方体的8个顶点中，以任意4个顶点为顶点的三棱锥，共有（）A52个 B54个 C58个 D62个 例 83正方体1111ABCDABC D，1,2,12iP i 是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11AC B平行的直线有几条（）A36 B21 C12 D6 题型十六：分解法模型与最短路径问题 例 845400 的正约数有（）个 A48 B46 C36 D38 例 85有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？A6 B8 C10 D12 例 86如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有 A10 B13 C15 D25 例 87如图，蚂蚁从 A 沿着长方体的棱以 的方向行走至 B，不同的行走路线有 A6 条 B7 条 C8 条 D9 条 例 88如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有（）条 A40 B60 C80 D120 例 89如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从 A 到 H 可走的不同的旅游路线的条数为 A14 B15 C16 D17 例 90如图，在某城市中，M，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A，2A，3A，4A是道路网中位于一条对角线上的 4 个交汇处.今在道路网 M，N处的甲乙两人分别要到 N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 N，M处为止，则下列说法正确的有（）A甲从 M 到达 N处的走法种数为 120 B甲从 M 必须经过3A到达 N处的走法种数为 9 C甲，两人能在3A处相遇的走法种数为 36 D甲，乙两人能相遇的走法种数为 164 题型十七：排队问题 例 914 个男同学，3 个女同学站成一排(1)3 个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)3 个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？(5)若 3 个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？例 92在班级活动中，4 名男生和 3 名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出 2 名男生和 2 名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？例 93在班级活动中，4 名男生和 3 名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（5）从中选出 2 名男生和 2 名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？（6）现在有 7 个座位连成一排，仅安排 4 个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？题型十八：构造法模型和递推模型 例 94贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球 最开始在文同学脚下,则:n次传球之后,共有_种可能的传球方法;n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有_种.例 95一只蚂蚁从一个正四面体ABCD的顶点A出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点A的爬行方法种数是_ 例 96把圆分成10个不相等的扇形，并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色，但不允许相邻的扇形有相同的颜色，问共有多少种染色法？例 97（1）求方程12345xxxx的非负整数解的组数；（2）某火车站共设有 4 个安检入口，每个入口每次只能进入 1 位乘客，求一个 4 人小组进站的不同方案种数 题型十九：环排问题 例 9821 个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从 1 到 3 循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为 A19 B38 C51 D57 例99A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（）A60 种 B48 种 C30 种 D24 种 例 100现有一圆桌，周边有标号为 1，2，3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（）A6 种 B8 种 C12 种 D16 种 例 1015 个女孩与 6 个男孩围成一圈，任意 2 个女孩中间至少站 1 个男孩，则不同排法有_种（填数字）【过关测试】一、单选题 1（2022甘肃白银高三开学考试（理）6 名志愿者要到A，B，C三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排 1 名志愿者，若要 2 名志愿者去A社区，则不同的安排方法共有（）A105 种 B144 种 C150 种 D210 种 2（2022江西南昌二中高三开学考试（理）2022 年 3 月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒某小区有小王、小张等 5 位中学生积极参加社区志愿者，他们被分派到测温和扫码两个小组，若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少需要 2 名中学生志愿者，则不同的分配方案种数有（）A8 B10 C12 D14 3（2022全国高三专题练习）用红、黄、蓝 3 种颜色给如图所示的 6 个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂2 个圆，且相邻 2 个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂法种数为（）A24 B30 C36 D42 4（2022全国高三专题练习）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（）种.A24 B96 C174 D175 5（2022全国高三专题练习）若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（）A14 B56 C13 D512 6（2022全国高三专题练习）近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派 5 名医务工作者参加登记接种留观 3 项工作，每人参加 1 项，接种工作至少需要 2人参加，登记留观至少 1 人参加，则不同的安排方式有（）A50 B80 C140 D180 7（2022全国高三专题练习）将 6 个不同的乒乓球全部放入两个不同的球袋中，每个球袋中至少放 1 个，则不同的放法有（）A82 种 B62 种 C112 种 D84 种 8（2022四川省成都市第八中学校高三阶段练习（理）甲乙丙等七人相约到电影院看电影长津湖，恰好买到了七张连号的电影票，若甲乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（）A240 B192 C96 D48 9（2022安徽合肥一中模拟预测（理）某校有 5 名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有 1 名学生且至多 2 名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A48 B54 C60 D72 二、多选题 10（2022全国高三专题练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（）A某学生从中选 3 门，共有 30 种选法 B课程“射”“御”排在不相邻两周，共有 240 种排法 C课程“礼”“乐”“数”排在相邻三周，共有 144 种排法 D课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 504 种排法 11（2022全国高三专题练习）如图，用 4 种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（）A3142AA B2244AA C 22142AA D 212224342CACA 12（2022全国高三专题练习）将四个不同的小球放入三个分别标有 1，2，3 号的盒子中，不允许有空盒子，下列结果正确的有（）A11113213C C C C B 2343C A C122342C C A D18 13（2022全国高三专题练习）为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲乙丙丁 4 名志愿者奔赴A，B，C三地参加防控工作，则下列说法正确的是（）A不同的安排方法共有 64 种 B若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有 42 种 C若甲乙两人都不能去 A 地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有 44 种 D若该红十字会又计划为这三地捐赠 20 辆救