中考必胜名师精品！2020中考数学压轴题全揭秘突破专题12圆的有关性质与计算44918.pdf

1专题 12 圆的有关性质与计算【典例分析】【考点 1】垂径定理【例 1】（2019湖北中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，40ABm，点C是AB的中点，且10CDm，则这段弯路所在圆的半径为（）A25mB 24mC 30mD 60m【答案】A【解析】【分析】根据题意，可以推出 AD BD 20，若设半径为 r，则 OD r 10，OB r，结合勾股定理可推出半径 r 的2值【详解】解：OCAB，20ADDBm，在Rt AOD中，222OAODAD，设半径为r得：2221020rr，解得：25rm，这段弯路的半径为25m故选：A【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为 r 后，用 r 表示出 OD、OB的长度【变式 1-1】（2019 四川中考真题）如图，AB，AC 分别是O的直径和弦，ODAC于点 D，连接 BD，BC，且10AB，8AC，则 BD 的长为（）A2 5B4C2 13D4.8【答案】C【解析】【分析】先根据圆周角定理得ACB=90，则利用勾股定理计算出 BC=6，再根据垂径定理得到142CDADAC，然后利用勾股定理计算 BD 的长【详解】AB为直径，90ACB，22221086BCABAC，ODAC，3142CDADAC，在Rt CBD中，22462 13BD故选 C【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径也考查了垂径定理【变式 1-2】（2019 四川中考真题）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，22.5CAOo，6OC，则CD的长为()A6 2B3 2C6D 12【答案】A【解析】【分析】先根据垂径定理得到CE DE，再根据圆周角定理得到245BOCA o，可得OCE为等腰直角三角形，所以23 22CEOC，从而得到CD的长【详解】CDAB，AB 为直径，CE DE，BOC 和A 分别为BC所对的圆心角和圆周角，A=22.5，22 22.545BOCA oo，OCE为等腰直角三角形，OC=6，2263 222CEOC，426 2CDCE.故选 A【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧【考点 2】弧、弦、圆心角之间的关系【例 2】（2019四川自贡中考真题）如图，O中，弦AB与CD相交于点E,AB CD,连接AD BC、.求证：ADBC；AECE.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由 AB=CD 知=AB CD，即ADACBCAC，据此可得答案；（2）由ADBC知 AD=BC，结合ADE=CBE，DAE=BCE 可证ADECBE，从而得出答案【详解】证明（1）AB=CD，=AB CD，即ADACBCAC，ADBC；（2）ADBC，AD=BC，又ADE=CBE，DAE=BCE，ADECBE（ASA），AE=CE5【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等【变式 2-1】（2018黑龙江中考真题）如图，在O 中，ADOC 于 D求证：AB=2AD【答案】证明见解析【解析】【分析】延长 AD 交 O 于 E,可得、AB=AE，可得出结论.【详解】延长 AD 交O 于 E，OCAD，AE=2AD，AB=AE，AB=2AD【点睛】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题的关键.【变式 2-2】（2019江苏中考真题）如图，O 的弦 AB、CD 的延长线相交于点 P，且 ABCD求证PA PC 6【答案】见解析.【解析】【分析】连接 AC，由圆心角、弧、弦的关系得出AB CD，进而得出AD CB，根据等弧所对的圆周角相等得出CA，根据等角对等边证得结论【详解】解：如图，连接AC.AB CD，AB CD.AB BD CD DB，即AD CB.CA .PA PC.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键【考点 3】圆周角定理及其推论【例 3】（2019陕西中考真题）如图，AB是O的直径，EF，EB 是O的弦，且 EF=EB，EF 与 AB交于点 C，连接 OF，若AOF=40，则F的度数是（）7A20B35C 40D 55【答案】B【解析】【分析】连接 FB，由邻补角定义可得FOB=140，由圆周角定理求得FEB=70，根据等腰三角形的性质分别求出OFB、EFB 的度数，继而根据EFOEBF-OFB 即可求得答案.【详解】连接 FB，则FOB=180-AOF=180-40=140，FEB12FOB=70，FOBO，OFBOBF=(180-FOB)2=20，EFEB，EFBEBF=(180-FEB)2=55，EFOEBF-OFB=55-20=35，故选 B.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.8【变式 3-1】（2019北京中考真题）已知锐角AOB如图，（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作PQ，交射线 OB于点 D，连接 CD；（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ于点 M，N；（3）连接 OM，MN根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）ACOM=CODB 若 OM=MN，则AOB=20CMNCDDMN=3CD【答案】D【解析】【分析】由作图知 CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得【详解】解：由作图知 CM=CD=DN，COM=COD，故 A 选项正确；OM=ON=MN，9OMN 是等边三角形，MON=60，CM=CD=DN，MOA=AOB=BON=13MON=20，故 B 选项正确；MOA=AOB=BON=20，OCD=OCM=80，MCD=160，又CMN=12AON=20，MCD+CMN=180，MNCD，故 C 选项正确；MC+CD+DNMN，且 CM=CD=DN，3CDMN，故 D 选项错误；故选：D【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点【变式 3-2】（2019 湖北中考真题）如图，点A，B，C均在O上，当40OBC 时，A的度数是（）A50B55C60D65【答案】A【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到A的度数【详解】OBOC，1040OCB OBC ，1804040100BOC-，1502ABOC 故选 A【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半【考点 4】圆内接四边形【例 4】（2019贵州中考真题）如图，四边形 ABCD 为O的内接四边形，A100，则DCE 的度数为_；【答案】100【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的性质，即可解答【详解】四边形 ABCD为O的内接四边形，DCEA100，故答案为 100【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，难度不大【变式 4-1】（2019甘肃中考真题）如图，四边形ABCD内接于O，若40A ，则C（）11A110B120C135D140【答案】D【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算C 的度数【详解】四边形 ABCD 内接于O，A400，C18004001400，故选 D.【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补【变式 4-2】（2019四川中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则CPD的度数为（）A30B36C60D72【答案】B【解析】【分析】根据圆周角的性质即可求解.【详解】12连接 CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为 72，即COD=72，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故CPD=172362,故选 B.【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.【考点 5】正多边形和圆【例 5】（2019 山东中考真题）如图，五边形 ABCDE 是O 的内接正五边形，AF 是O 的直径，则 BDF 的度数是_【答案】54【解析】【分析】连接 AD，根据圆周角定理得到ADF=90，根据五边形的内角和得到ABC=C=108，求得ABD=72，由圆周角定理得到F=ABD=72，求得FAD=18，于是得到结论【详解】连接 AD，13AF 是O 的直径，ADF=90，五边形 ABCDE 是O 的内接正五边形，ABC=C=108，ABD=72，F=ABD=72，FAD=18，CDF=DAF=18，BDF=36+18=54，故答案为 54【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题【变式 5-1】（2019 山东中考真题）若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为_【答案】4 33【解析】【分析】根据题意画出草图，可得 OG=2，60OAB，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径 OA.【详解】解：如图，连接OA、OB，作OGAB于G；14则2OG，六边形ABCDEF正六边形，OAB是等边三角形，60OAB，24 3sin60332OGOA，正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为4 33故答案为4 33【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.【变式 5-2】（2019陕西中考真题）若正六边形的边长为 3，则其较长的一条对角线长为_.【答案】6.【解析】【分析】根据正六边形的半径就是其外接圆半径，则最长的对角线就是外接圆的直径，据此进行求解即可.【详解】正六边形的中心角为3606=60，AOB 是等边三角形，OB=AB=3，BE=2OB=6，15即正六边形最长的对角线为 6，故答案为：6.【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确把握正六边形的中心角、半径与正六边形的最长对角线的关系是解题的关键.【考点 6】弧长和扇形的面积计算（含阴影部分面积计算）【例 6】（2019广西中考真题）如图，ABC是O的内接三角形，AB为O直径，6AB，AD平分BAC，交BC于点E，交O于点D，连接BD（1）求证：BAD CBD；（2）若125AEB，求BD的长（结果保留）【答案】（1）见解析；（2）BD的长76【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；（2）连接OD，根据平角定义得到55AEC，根据圆周角定理得到35ACE，得到270BODBAD ，根据弧长公式即可得到结论.【详解】（1）证明：AD平分BAC，CAD BAD，CAD CBD，BAD CBD；（2）解：连接OD，16125AEB，55AEC，AB为O直径，90ACE，35CAE，35DAB CAE ，270BODBAD ，BD的长70371806【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键.【变式 6-1】（2019 湖北中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为 2，以A为圆心，1 为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为_.【答案】331224.【解析】【分析】过A作AMBC于M，EN BC于N，根据等边三角形的性质得到3322AMBC23，17求得1322ENAM，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论【详解】过A作AMBC于M，EN BC于N，等边三角形ABC的边长为 2，60BAC BACB ，332322AMBC，1AO AE，,AD BD AE CE，1322ENAM，图中阴影部分的面积()ABCCEFBCDADEDCFSSSSS扇形扇形1232 60136012 311303323222360 331224，故答案为：331224【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键【变式 6-2】（2019 四川中考真题）如图，在AOC中，31OA cmOC cm，将AOC 绕点 O顺时针旋转90后得到BOD，则 AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）2cm18A2B2C178D198【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积扇形 OAB 的面积扇形 OCD 的面积，利用扇形的面积公式即可求解【详解】解：AOCBOD，阴影部分的面积扇形 OAB 的面积扇形 OCD 的面积229039012360360故选：B【点睛】考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积扇形 OAB 的面积扇形 OCD 的面积是解题关键【考点 7】与圆锥有关的计算【例 7】（2019 湖南中考真题）如图，在等腰ABC中，120BAC，AD 是BAC的角平分线，且6AD，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧 EF，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，（1）求由弧 EF 及线段 FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形 AEF，将扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面，AE与 AF正好重合，圆锥侧面19无重叠，求这个圆锥的高 h【答案】（1）36 312；（2）4 2h.【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到ADBC，BDCD，则可计算出BD6 3，然后利用扇形的面积公式，利用由弧 EF 及线段 FC、CB、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积ABCEAF=SS扇形进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为 r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到120 62r180，解得r2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高 h【详解】在等腰ABC中，BAC120，B30，AD 是BAC的角平分线，ADBC，BDCD，BD3AD6 3，BC2BD12 3，由弧 EF 及线段 FC、CB、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积2ABCEAF1120 6=SS6 12 336 312 2360 扇形.（2）设圆锥的底面圆的半径为 r，根据题意得120 62r180，解得r2，这个圆锥的高22h624 2【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式【变式 7-1】（2019 广西中考真题）已知圆锥的底面半径是 1，高是15，则该圆锥的侧面展开图的圆心20角是_度【答案】90【解析】【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为 4，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解【详解】解：设圆锥的母线为 a，根据勾股定理得，a4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，根据题意得n421180，解得90n，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90故答案为 90【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长【变式 7-2】（2019 辽宁中考真题）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216，母线长为 5，该圆锥的底面半径为_【答案】3【解析】【分析】设该圆锥的底面半径为 r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到21652180r，然后解关于 r 的方程即可【详解】设该圆锥的底面半径为 r，根据题意得21652180r，解得3r 故答案为 3【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长【变式 7-3】（2019 西藏中考真题）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为21（）A15cmB 12cmC 10cmD 20cm【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r【详解】过O作OE AB于E，90120OA OBcm AOB，30AB，1452OEOAcm，弧CD的长1204530180，设圆锥的底面圆的半径为r，则230r，解得15r 故选：A【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长【达标训练】一、单选题1（2019 山东中考真题）如图，ABC是O的内接三角形，119A，过点C的圆的切线交BO于点P，则P的度数为（）22A32B31C29D61【答案】A【解析】【分析】根据题意连接 OC，COP为直角三角形，再根据 BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，可计算的COP的度，再根据直角三角形可得P的度数.【详解】根据题意连接 OC.因为119A 所以可得 BC 所对的大圆心角为2 119238BOC 因为 BD 为直径，所以可得23818058COD由于COP为直角三角形所以可得905832P 故选 A.【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的 2 倍.2（2019 广西中考真题）如图，,A B C D是O上的点，则图中与A相等的角是（）23ABBCCDEBDD【答案】D【解析】【分析】直接利用圆周角定理进行判断【详解】解：A与D都是BC所对的圆周角，DA 故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3（2019吉林中考真题）如图，在O中，AB所对的圆周角050ACB，若P为AB上一点，055AOP，则POB的度数为（）A30B45C55D60【答案】B【解析】【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出AOB 的度数，进而由角的和差求得结果【详解】解：ACB=50，AOB=2ACB=100，AOP=55，POB=45，24故选：B【点睛】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的 2信倍4（2019山东中考真题）如图，BC是半圆O的直径，D，E是BC上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果70A，那么DOE的度数为（）A35B38C40D42【答案】C【解析】【分析】连接 CD，由圆周角定理得出BDC=90，求出ACD=90-A=20，再由圆周角定理得出DOE=2ACD=40即可，【详解】连接 CD，如图所示：BC 是半圆 O 的直径，BDC=90，ADC=90，ACD=90-A=20，DOE=2ACD=40，故选 C【点睛】25本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键5（2019贵州中考真题）如图，半径为 3 的A经过原点 O 和点 C（0，2），B 是 y 轴左侧A优弧上一点，则 tanOBC 为（）A 13B22C24D2 23【答案】C【解析】试题分析：连结 CD，可得 CD 为直径，在 Rt OCD 中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得 OD=4所以 tanCDO=，由圆周角定理得，OBC=CDO，则 tanOBC=，故答案选 C考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义6（2019甘肃中考真题）如图，AB是O 的直径，点 C、D 是圆上两点，且AOC126，则CDB（）A 54B64C27D37【答案】C【解析】【分析】26由AOC126，可求得BOC 的度数，然后由圆周角定理，求得CDB 的度数【详解】解：AOC126，BOC180AOC54，CDB12BOC27故选：C【点睛】此题考查了圆周角定理注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半7（2018 贵州中考真题）如图，已知圆心角AOB=110，则圆周角ACB=（）A55B110C120D125【答案】D【解析】分析：根据圆周角定理进行求解一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半详解：根据圆周角定理，得ACB=12（360-AOB）=12250=125故选 D点睛：此题考查了圆周角定理注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系8（2019浙江中考真题）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2 的正六边形.则原来的纸带宽为（）27A 1B 2C3D 2【答案】C【解析】【分析】结合题意标上字母，作BG AC，根据题意可得：ABC是边长为 2 的等边三角形，等边三角形的高为原来的纸带宽度，在Rt BGA中，根据勾股定理即可求得答案.【详解】如图，作BG AC，依题可得：ABC是边长为 2 的等边三角形，在Rt BGA中，2AB，1AG，3BG，即原来的纸宽为3.故答案为：C.【点睛】本题考查正多边形和圆：把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆熟练掌握正六边形的性质9 （2019浙江中考真题）如图，已知正五边形 ABCDE内接于O，连结BD，则ABD的度数是（）A 60B 70C72D 144【答案】C【解析】28【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出ABC、CD=CB，根据等腰三角形的性质求出CBD，计算即可【详解】五边形ABCDE为正五边形 1552180108ABCC CDCB181(8326)010CBD 72ABDABCCBD 故选：C【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）180是解题的关键10（2019宁夏中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为 2，分别以点,A D为圆心，以,AB DC为半径作扇形ABF，扇形DCE则图中阴影部分的面积是（）A46 33B86 33C412 33D412 33【答案】B【解析】【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题【详解】解：正六边形ABCDEF的边长为 2，29正六边形ABCDEF的面积是：22sin60366 26 322 ，120FABEDC，图中阴影部分的面积是：2120286 326 33603 ，故选：B【点睛】本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答11（2019 江苏中考真题）如图，正六边形的边长为 2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的 6 个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A6 3B6 32C 6 3D 6 32【答案】A【解析】【分析】图中阴影部分面积等于 6 个小半圆的面积和（大圆的面积正六边形的面积）即可得到结果【详解】解：6 个月牙形的面积之和21326236 32 ，故选 A【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键12（2019 山东中考真题）如图，在边长为 4 的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留）（）30A 8B 162C82D 182【答案】C【解析】【分析】根据 S 阴S ABDS 扇形 BAE计算即可【详解】214544 4822360ABDBAESSS 阴扇形，故选：C【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积13（2019 浙江中考真题）若扇形的圆心角为 90，半径为 6，则该扇形的弧长为（）A 32B 2C3D 6【答案】C【解析】【分析】根据弧长公式计算即可【详解】解：该扇形的弧长9063180.故选 C【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：180n Rl（弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R）14（2019 湖南中考真题）一个扇形的半径为 6，圆心角为 120，则该扇形的面积是()31A2B4C12D 24【答案】C【解析】【分析】根据扇形的面积公式 S=2360nR计算即可【详解】S=2120612360，故选 C【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式 S=2360nR是解题的关键15（2019浙江中考真题）如图，ABC内接于圆O，65B ，70C ，若2 2BC，则弧BC的长为（）AB2C2D 2 2【答案】A【解析】【分析】连接 OB，OC首先证明 OBC 是等腰直角三角形，求出 OB 即可解决问题【详解】连接 OB，OC32A=180-ABC-ACB=180-65-70=45，BOC=90，BC=22，OB=OC=2，BC的长为902180=，故选 A【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识16（2019 山东中考真题）如图，点 A、B，C，D 在O 上，ABAC，A40，BDAC，若O 的半径为 2则图中阴影部分的面积是（）A2332B233C4332D432【答案】B【解析】【分析】连接 BC、OD、OB，先证 BOD 是等边三角形，再根据阴影部分的面积是 S扇形BOD-S BOD计算可得【详解】如图所示，连接 BC、OD、OB，33A40，ABAC，ACB70，BDAC，ABDA40，ACDABD40，BCD30，则BOD2BCD60，又 ODOB，BOD 是等边三角形，则图中阴影部分的面积是 S扇形BODS BOD26023603422233，故选 B【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点二、填空题17（2019广西中考真题）九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1 寸，锯道1AB尺（1 尺10 寸），则该圆材的直径为_寸【答案】26【解析】【分析】34设O的半径为r，在Rt ADO中，5,1,ADOD rOAr，则有222(5)1rr，解方程即可.【详解】设O的半径为r在Rt ADO中，5,1,ADOD rOAr，则有222(5)1rr，解得13r，O的直径为 26 寸，故答案为 26【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.18 （2019江苏中考真题）如图，点 A、B、C 在O 上，BC6，BAC30，则O 的半径为_【答案】6【解析】【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是 60的等腰三角形是等边三角形求解【详解】解：连接 OB,OCBOC2BAC60，又 OBOC，BOC 是等边三角形OBBC6，35故答案为 6【点睛】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质19（2019安徽中考真题）如图，ABC 内接于O，CAB=30，CBA=45，CDAB 于点 D，若O的半径为 2，则 CD 的长为_【答案】2【解析】【分析】连接 OA，OC，根据COA=2CBA=90可求出 AC=2 2，然后在 Rt ACD 中利用三角函数即可求得 CD的长.【详解】解：连接 OA，OC，COA=2CBA=90，在 Rt AOC 中，AC=2222222 2OAOC，CDAB，在 Rt ACD 中，CD=ACsinCAD=12 222，故答案为2.36【点睛】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.20（2019辽宁中考真题）如图，AC是O 的直径，B，D是O 上的点，若O 的半径为 3，ADB 30，则BC的长为_【答案】2【解析】【分析】根据圆周角定理求出AOB，得到BOC 的度数，根据弧长公式计算即可【详解】解：由圆周角定理得，AOB2ADB 60，BOC18060120，BC的长12032180，故答案为：2【点睛】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键21（2019湖南中考真题）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12（弦 矢+矢2）孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC弦AB时，OC平分AB）可以求解现已知弦8AB米，半径等于 5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面37积为_平方米【答案】10【解析】【分析】根据垂径定理得到4AD，由勾股定理得到223ODOA AD，求得2OAOD，根据弧田面积12（弦矢+矢2）即可得到结论【详解】解：弦8AB 米，半径OC 弦AB，4AD，223ODOA AD，2OAOD，弧田面积12（弦矢+矢2）218 22102 ，故答案为：10【点睛】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答22（2019江苏中考真题）如图，点A、B、C、D、E在O上，且弧AB为50，则EC _【答案】155【解析】【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧AB对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心38角的关系，则可求得EC .【详解】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧AB为50，所以3=50.顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：112E ,122C ，11112360336050155222EC .【点睛】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.23（2019 甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为(0,2 3)，OC与D交于点C，30OCA，则圆中阴影部分的面积为_【答案】22 3【解析】【分析】由圆周角定理可得30OBAC ，在 Rt AOB 中，利用解直角三角形求出 OA、AB 的长，然后根据S阴=S半-S ABO求解即可.【详解】连接AB，90AOB，AB是直径，39根据同弧对的圆周角相等得30OBAC ，2 3OB，3tantan302 323OAOBABOOB，sin304ABAO，即圆的半径为 2，2212 2 322 322ABOSSS 阴影半圆故答案为：22 3【点睛】本题考查了：同弧对的圆周角相等；90的圆周角对的弦是直径；锐角三角函数的概念；圆、直角三角形的面积分式熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.24（2019 湖北中考真题）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在九章算术中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S来近似估计O的面积S，设O的半径为 1，则1S S_.【答案】3【解析】【分析】如图，过点 A 作 ACOB，垂足为 C，先求出圆的面积，再求出 ABC 面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案.【详解】40如图，过点 A 作 ACOB，垂足为 C，O的半径为 1，O的面积S，OA=OB=1，圆的内接正十二边形的中心角为AOB=3603012，AC=12OB=12，S AOB=12OBAC=14，圆的内接正十二边形的面积 S1=12S AOB=3，则13SS ，故答案为：3【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键25（2019江苏中考真题）如图，AC 是O 的内接正六边形的一边，点 B 在弧 AC 上，且 BC 是O 的内接正十边形的一边，若 AB 是O 的内接正 n边形的一边，则 n=_.【答案】15.【解析】【分析】连接 OB，先求得AOB 的度数，然后利用 360除以AOB 度数，根据所得的结果进行分析即可得.【详解】41连接 OB，AC 是O 的内接正六边形的一边，AOC=3606=60，BC 是O 的内接正十边形的一边，BOC=36010=36，AOB=60-36=24，即 360n=24，n=15，故答案为：15.【点睛】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形26（2019重庆中考真题）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，ABC=60，AB=2，分别以点 A、点 C 为圆心，以 AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为_（结果保留）【答案】22 33【解析】【分析】根据菱形的性质得到 ACBD，AB0=12ABC=30，BAD=BCD=120，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可.【详解】解：四边形 ABCD 是菱形，ACBD，AB0=12ABC=30，BAD=BCD=12042AO=12AB=1，由勾股定理得，223OBABOA又AC=2，BD=23，调影部分的面积为：21120122 2 322 323603 故答案为：22 33【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.27 （2019浙江中考真题）如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰激凌外壳的侧面积等于_2cm（计算结果精确到个位）.【答案】113.【解析】【分析】根据圆锥侧面积公式Srl侧，代入题中数据，即可得到答案.【详解】根据题中数据，结合圆锥侧面积公式得：3 123636 3.14113.04113Srl 侧【点睛】本题考查求圆锥侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式.28 （2019山东中考真题）如图，O 为 Rt ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC=3，AC=3则图中阴影部分的面积是_43【答案】6【解析】【分析】首先利用勾股定理求出 AB 的长，再证明BD BC，进而由AD ABBD可求出 AD的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出A的度数，则圆心角DOA的度数可求出，在直角三角形 ODA 中求出 OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积【详解】解：在Rt ABC中，3BC，3AC 222 3ABAC BC，BC OC，BC是圆的切线，O与斜边AB相切于点D，BD BC，2 333AD ABBD；在Rt ABC中，31sin22 3BCAAB，30A，O与斜边AB相切于点D，ODAB，9060AODA ，tantan30ODAAD，D333O，441OD，26013606S阴影故答案是：6【点睛】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键三、解答题29（2019 天津中考真题）已知PA，PB分别与O相切于点A，B，80APB，C为O上一点（）如图，求ACB的大小；（）如图，AE为O的直径，AE与BC相交于点D，若ABAD，求EAC的大小【答案】（）50ACB；（）20EAC.【解析】【分析】（）连接 OA、OB，根据切线的性质得到OAP=OBP=90，根据四边形内角和等于 360计算；（）连接 CE，根据圆周角定理得到ACE=90，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可【详解】解：（）如图，连接OA OB，PA PB，是O的切线，OAPA，OBPB即90OAPOBP 80APB，在四边形OAPB中，360100AOBOAPOBPAPB 45在O中，12ACBAOB，50ACB（）如图，