2017_18版高中数学第二章4用向量讨论垂直与平行一学案北师大版选修15709.pdf
4 用向量讨论垂直与平行（一）学习目标 1.会用待定系数法求平面的法向量.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.知识点一 空间中平行关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则 线线平行 lm_akb(kR)线面平行 la_ 面面平行 v_ 知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考(1)设v1(a1，b1，c1)，v2(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1l2，则向量v1，v2应满足什么关系.(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.类型一 求直线的方向向量、平面的法向量 例 1 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.ABAP1，AD 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.引申探究 若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n(x，y，z).(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC.(3)列方程组：由 nAB0，nAC0，列出方程组.(4)解方程组：nAB0，nAC0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1).(6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练 1 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB平面ABCD，PAB是边长为 1 的正三角形，ABCD是菱形.ABC60，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量.类型二 利用空间向量证明平行问题 例 2 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练 2 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为 45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABC12AD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.1.若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)2.已知直线l1的方向向量为a(2，3,5)，直线l2的方向向量为b(4，x，y)，若l1l2，则x，y的值分别是()A.6 和10 B.6 和 10 C.6 和10 D.6 和 10 3.若(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A.(0，3,1)B.(2,0,1)C.(2，3,1)D.(2,3，1)4.若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为1，12，2，则m为()A.4 B.6 C.8 D.8 5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为_.1.应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.2.证明面面平行的方法 设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR).提醒：完成作业 第二章 4(一)答案精析 问题导学 知识点一 ab a0 kv(kR)知识点二 思考(1)由直线方向向量的定义知，若直线l1l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1l2v1v2v1v2(R).(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.题型探究 例 1 解 因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 D(0，3，0)，E(0，32，12)，B(1,0,0)，C(1，3，0)，于是AE(0，32，12)，AC(1，3，0).设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，则 nAC0，nAE0，即 x 3y0，32y12z0，所以 x 3y，z 3y，令y1，则xz 3.所以平面ACE的一个法向量为n(3，1，3).引申探究 解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，3，0)，所以PC(1，3，1)，即为直线PC的一个方向向量.设平面PCD的法向量为n(x，y，z).因为D(0，3，0)，所以PD(0，3，1).由 nPC0，nPD0，即 x 3yz0，3yz0，所以 x0，z 3y，令y1，则z 3.所以平面PCD的一个法向量为n(0,1，3).跟踪训练 1 解 因为PAPB，F为AB的中点，所以PFAB.又因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB，所以PF平面ABCD，因为ABBC，ABC60，所以ABC是等边三角形，所以CFAB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示).由题意得F(0,0,0)，P(0,0，32)，D(1，32，0)，C(0，32，0)，E(0，34，34).所以FE(0，34，34)，FD(1，32，0).设平面DEF的法向量为m(x，y，z).则 mFE0，mFD0，即 34y34z0，x32y0，所以 zy，x32y，令y2，则x 3，z2.所以平面DEF的一个法向量为m(3，2，2).例 2 证明(1)建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以FC1(0,2,1)，DA(2,0,0)，AE(0,2,1).设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1DA，n1AE，即 n1DA2x10，n1AE2y1z10，得 x10，z12y1，令z12，则y11，所以n1(0，1,2).因为FC1n1220，所以FC1n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为C1B1(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2FC1，n2C1B1，得 n2FC12y2z20，n2C1B12x20，得 x20，z22y2.令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.跟踪训练 2 解 分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0).设E(0，y，z)，则PE(0，y，z1)，PD(0,2，1).PEPD，y(1)2(z1)0.AD(0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE(1，y1，z)，CE平面PAB，CEAD，(1，y1，z)(0,2,0)0，y1，代入得z12，E是PD的中点，存在E点，当点E为PD中点时，CE平面PAB.当堂训练 1.A 2.A 3.D 4.C 5.(1,1,1)(答案不唯一)
