2017_18学年高中数学第二章概率5第二课时离散型随机变量的方差教学案北师大版选修15413.pdf

第二课时 离散型随机变量的方差 对应学生用书P33 求随机变量的方差 例 1 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P 12 13 p 若EX23，求DX的值 思路点拨 解答本题可先根据i1nPi1 求出p的值，然后借助EX23求出x的取值，最后代入相应的公式求方差 精解详析 由1213p1，得p16.又EX01211316x23，x2.DX023212123213223216 59.一点通 求离散型随机变量的方差的方法：(1)根据题目条件先求分布列(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，若分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差 1(浙江高考)随机变量的取值为 0,1,2.若P(0)15，E()1，则D()_.解析：由题意设P(1)p，的分布列如下 0 1 2 P 15 p 45p 由E()1，可得p35，所以D()12150235121525.答案：25 2已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 试求DX和D(2X1)解：EX00.210.220.330.240.1 1.8.所以DX(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.8)20.2(41.8)20.11.56.2X1 的分布列为 2X1 1 1 3 5 7 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 所以E(2X1)2EX12.6.所以D(2X1)(12.6)20.2(12.6)20.2(32.6)20.3(52.6)20.2(72.6)20.16.24.求实际问题的均值和方差 例 2 在一个不透明的纸袋里装有 5 个大小相同的小球，其中有 1 个红球和 4 个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差 思路点拨 确定X的取值 计算概率 列出分布列 求EX，DX 精解详析 X可能取值为 1,2,3,4,5.P(X1)15，P(X2)451415，P(X3)45341315，P(X4)4534231215，P(X5)45342312115.X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 由定义知，EX0.2(12345)3.DX0.2(2212021222)2.一点通(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值时的概率；写X的分布列；求EX，DX.(2)若随机变量X服从二项分布，即XB(n，p)，则EXnp，DXnp(1p)3一批产品中次品率为13，现在连续抽查 4 次，用X表示次品数，则DX等于()A.43 B.83 C.89 D.19 解析：XB4，13，DXnp(1p)4132389.答案：C 4袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号 求X的分布列，均值和方差 解：由题意，得X的所有可能取值为 0,1,2,3,4，所以P(X0)102012，P(X1)120，P(X2)220110，P(X3)320，P(X4)42015.故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15 所以EX0121120211033204151.5.DX(01.5)212(11.5)2120(21.5)2110(31.5)2320(41.5)2152.75.随机变量的均值和方差的实际应用 例 3(10 分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表试对这两名工人的技术水平进行比较 X 0 1 2 P 610 110 310 Y 0 1 2 P 510 310 210 思路点拨 解本题的关键是，一要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即数学期望，二要看出次品数的波动情况，即方差值的大小根据数学期望与方差值判断两名工人的技术水平情况 精解详析 工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为 EX0610111023100.7，DX(00.7)2610(10.7)2110(20.7)23100.81.(4 分)工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为 EY0510151022100.7，DY(00.7)2510(10.7)2310(20.7)22100.61.(4 分)由EXEY知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DXDY，可见乙的技术比较稳定 (10分)一点通 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中 因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析 5甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y，且X，Y的分布列为 求：(1)a，b的值；(2)计算X，Y的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况 解：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 a0.10.61，a0.3.同理 0.3b0.31，b0.4.(2)EX10.320.130.62.3，EY10.320.430.32，DX(12.3)20.3(22.3)20.1(32.3)20.6 0.81，Y 1 2 3 P 0.3 b 0.3 X 1 2 3 P a 0.1 0.6 DY(12)20.3(22)20.4(32)20.3 0.6.由于EXEY，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DXDY，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势和劣势 6最近，李师傅一家三口就如何将手中的 10 万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将 10 万块钱全部用来买股票据分析预测：投资股市一年可能获利 40%，也可能亏损 20%(只有这两种可能)，且获利与亏损的概率均为12.第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将 10 万块钱全部用来买基金据分析预测：投资基金一年后可能获利 20%，也可能损失 10%，还可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15.第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将 10 万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为 4%，存款利息税率为 5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由 解：若按方案一执行，设收益为X万元，则其分布列为 X 4 2 P 12 12 EX412(2)121(万元)若按方案二执行，设收益为Y万元，则其分布列为 Y 2 0 1 P 35 15 15 EY235015(1)151(万元)若按方案三执行，收益z104%(15%)0.38(万元)，EXEY z.又DX(41)212(21)2129.DY(21)235(01)215(11)215 85.由上知DXDY，说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥 建议李师傅家选择方案二投资较为合理 1随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散 2随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量 对应课时跟踪训练十四 1从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为()A.65 B.1825 C.625 D.18125 解析：由XB3，25，DX325351825.答案：B 2已知随机变量X的分布列为：P(Xk)13(k1,2,3)，则D(3X5)()A6 B9 C3 D4 解析：EX(123)132，Y3X5 可能取值为 8,11,14，其概率均为13，EY8131113141311.DYD(3X5)(811)213(1111)213(1114)2136.答案：A 3抛掷一枚硬币，规定正面向上得 1 分，反面向上得1 分，则得分X的均值与方差分别为()AEX0，DX1 BEX12，DX12 CEX0，DX12 DEX12，DX1 解析：EX10.5(1)0.50，DX(10)20.5(10)20.51.答案：A 4若随机变量X的分布列为P(X0)a，P(X1)b.若EX13，则DX等于()A.13 B.23 C.19 D.29 解析：由题意，得 ab1，b13，a23，b13.DX1322311321329.答案：D 5 从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是_ 解析：从 1,2,3,4,5 中任取不同的两个数，其乘积X的值为 2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，EX110(23456810121520)8.5.答案：8.5 6变量X的分布列如下：Xk 1 0 1 P(Xk)a b c 其中a，b，c成等差数列，若EX13，则DX的值为_ 解析：由a，b，c成等差数列可知 2bac.又abc3b1，b13，ac23.又EXac13，a16，c12.DX113216013213113212 59.答案：59 7(全国新课标改编)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差 解：(1)当日需求量n16 时，利润y80.当日需求量n16 时，利润y10n80.所以y关于n的函数解析式为 y 10n80，n16，80，n16(nN)(2)X可能的取值为 60,70,80，并且 P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X的数学期望为 EX600.1700.2800.776.X的方差为 DX(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.7 44.8(浙江高考)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分(1)当a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量为取出此 2 球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量为取出此球所得分数若E53，D59，求abc.解：(1)由题意得2,3,4,5,6.故P(2)336614，P(3)2326613，P(4)2312266518，P(5)2216619，P(6)1166136.所以的分布列为 2 3 4 5 6 P 14 13 518 19 136(2)由题意知的分布列为 1 2 3 P aabc babc cabc 所以Eaabc2babc3cabc53，D1532aabc2532babc3532cabc59.化简得 2ab4c0，a4b11c0，解得a3c，b2c，故abc321.