第6章平面向量及其应用-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(必修第二册)43264.pdf
第 6 章 平面向量及其应用 6.1.平面向量的概念 1.平面向量的概念：向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0.单位向量：长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：/ab.规定：零向量与任意向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6.2.平面向量的运算 6.2.1.向量的加法运算 1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则.ABBCAC OAOBOC 2.abab（当且仅当a与b方向方向相同时等号成立）.3.向量加法的运算律：交换律：+=+a b b a 结合律：+a bcabc 6.2.2.向量的减法运算 1.相反向量：与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.记作a.2.向量减法的定义：a 加上b的相反向量，叫做a与b的差.3.向量减法的法则：三角形法则.OAOBBA 6.2.3.向量的数乘运算 1.数乘的定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向规定如下：aa；当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反.2.运算律：aa ；aaa；abab 3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算.4.平面向量共线定理：向量0a a 与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.6.2.4.向量的数量积 1.向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作,OAa OBb,则0AOB叫做向量a与b的夹角.2.a与b垂直：如果a与b的夹角是2，则a与b垂直，记作ab.3.数量积：已知两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量cosa b叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a b，即cosa ba b.4.投影向量：向量a在b上的投影向量：在平面内任取一点O，作,OMa ONb,过点M作直线ON的垂线，垂足为1M，则1OM就是向量a在向量b上的投影向量.设与b同方向的单位向量为e，a与b的夹角为，则1cosOMae.5.数量积的性质：（1）cosa ee aa （2）0aba b（3）2a aa 或 2aa aa （4）a ba b 6.数量积的运算律：（1）a bb a （2）aba bab （3）abca cb c 结论：2222abaa bb ，22ababab.6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果12,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数21,，使1 122aee.12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.向量a的坐标表示：在平面直角坐标系中,设与x轴.y轴方向相同的两个单位向量分别为,i j,取,i j作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,x y,使得axiy j，这样平面内的任 一向量a都可由,x y唯一确定,我们把有序数对,x y叫做向量a的坐标,记作,ax y，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a 在y 轴上的坐标，,ax y叫做向量a的坐标表示.6.3.3 平面向量加.减运算的坐标表示 1.设1122,ax ybxy，则：1212,abxxyy，1212,abxxyy，即：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）2.已知1122(,),(,)A x yB xy，则2121,ABxx yy.6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 1.设,ax y，则,axy.2.设1122,ax ybxy,则向量,a b共线的充要条件是12210 x yx y.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1.设1122,ax ybxy，则：（1）1212a bx xy y （2）2211axy（3）121200aba bx xy y （4）121222221122cosx xy ya ba bxyxy（5）设 2211,yxByxA，则：212212yyxxAB.6.4 平面向量的应用 1.余弦定理：2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbacacBcababC 推论：222222222cos,2cos,2cos.2bcaAbcacbBacabcCab 2.正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin.（其中R为ABC外接圆的半径）2sin,2sin,2sin;aRA bRB cRC sin,sin,sin;222abcABCRRR:sin:sin:sin.a b cABC
