中考复习全国通用版中考数学11：圆中的证明与计算(一)—详解版16400.pdf

中考复习专题 11：圆中的证明与计算（一）1.如图，中，以为直径的圆交于点，交于点，过点作ABCABACABOBCDACED于点，交的延长线于点DFACFABG（1）求证：是的切线；DFO（2）已知，求和的长2 5BD 2CF DFBG【解答】（1）是的直径，连接，ABO90ADBOD，即，90ADBADBC，ABACBDCD又，OAOB/ODAC，DFACODDF是圆的切线；DFO（2）连接BE，2 5CDBD2CF，2222(2 5)24DFCDCF是直径，AB，90AEBCEB，BEAC，DFAC，/DFBE，2EFFC，28BEDF设，则AEx4ACABx由勾股定理得：，222ABAEBE，222(4)8xx，6x，6AE4610AB，/ODAF，GODGAF，ODOGAFAG，55810BGBG103BG2.如图，内接于，是的直径，弦交于点，ABCOBCOAFBCE2CAFB（1）求证：；AEAC（2）若的半径为 4，是的中点，求的长OEOBEF【解答】（1）证明：过作于，AAHCEH是的直径，BCO，90CABAHCAHE ，90ACBABCACHCAH ，CAHB，2CAFB，EAHCAH，AHAH，()ACHAEH ASA；ACAE（2）解：的半径为 4，O，8BC是的中点，EOB，2BEOE，6CE，132CHCE，AHBC90CAB，23 824ACCH CB，2 6AEAC连接，BF，FC FBECAE，CAEFBE，AECEBEEF，2 662EF6EF3.已知：如图，在中，是角平分线，平分交于点，经过，ABCABACAEBMABCAEMB两点的交于点，交于点，恰为的直径MOBCGABFFBO（1）求证：与相切；AEO（2）当，时，求的半径4BC 1cos3C O【解答】（1）证明：连接，则OMOMOB12 平分BMABC13 23 /OMBCAMOAEB 在中，是角平分线ABCABACAEAEBC90AEB90AMOOMAE点在圆上，MO与相切；AEO（2）解：在中，是角平分线ABCABACAE，12BEBCABCC，4BC 1cos3C，2BE1cos3ABC在中，ABE90AEB6cosBEABABC设的半径为，则Or6AOr/OMBCAOMABEOMAOBEAB，解得626rr32r 的半径为O324.如图，以为直径的交的平分线于点，交于点，过点作于，ABOBADCADFCCDADD交的延长线于点ABE（1）求证：为的切线；CDO（2）若，求的值12CDADcosDAB【解答】（1）证明：连接，如图，OC平分，ACBAD，DACEAC，OAOC，OACOCA，DACOCA，/ADOC，ADDE，OCDE为的切线；CDO（2）解：作于，如图，则，OHADHAHHF易得四边形为矩形，OCDH，OHCDOCDH，12CDAD设，则，CDx2ADx设的半径为，Or，2AHxrOAr在中，解得，Rt OAH222(2)xxrr45xr，35AHr在中，Rt OAH335cos5rAHHAOOAr5.如图 1，在中，为直径，为切线，弦，连OABBCBEOCCE（1）求证：为的切线；CEO（2）如图 2，交的延长线于，求的值CFBCAEFBCABAEEF【解答】（1）证明：连接，如图 1 所示：OE则，设与交于点，OBOEOCBEH，为的中点，垂直平分，OCBEHBEOCBE，在和中，BCECOECOBCOEOBECBCOCOC()OECOBC SSS，为切线，为直径，OECOBC BCAB，为的切线；90OBC90OECCEO（2）解：为直径，AB，90AEBOHB /OCAF，ABBCCFBC/ABCF四边形为平行四边形，AOCFAFOC，是的中位线，BEOCBHHEOHBAE设，则，OHx22AEOHx，90AEBBHC 90BCHABECBH 在和中，ABEBCHAEBBHCABEBCHABBC ，()ABEBCH AAS 2BHAEx，2222(2)5OBOHBHxxx，22 5BCABOBx，2222(5)(2 5)5OCOBBCxxx，5AFOCx523EFAFAExxx2233AExEFx6.如图，在中，为直径，是半圆弧的中点，是弧上一点，直线与过点OABFABEBFAE的切线相交于点，连接BCEF（1）若，求的度数；12EFABACB（2）若的半径为 3，求的长O2BC EF【解答】（1）连接、，OEOFAF，为等边三角形，12EFABOEOFEOF60EOF由圆周角定理得，1302EAFEOF是半圆弧的中点，FAB90AOF45OAF15CAB为的切线，；BCO90ABC75ACB（2）连、，过作交于，BEAFBFFFMEFAEM则90AEBCEB，90ABC6AB 2BC，2222622 10ACABBC由面积法得，3105AB BCBEAC，229105AEABBE为直径，又，AB90AFBFMEFAFMBFE 在和中，AFMBFEAFMBFEAFBFFAMFBE ()AFMBFE ASA，3105AMBEEFFM，6105EMAEAM26525EFEM7.在中，直径弦于点，点是弧上一点，连交于点，点在的OAB CDFEADBECDNPCD延长线上，PNPE（1）求证：是的切线；PEO（2）连接，若，求的长DE/DEAB3OF 2BF PN【解答】（1）证明：连接，如图 1 所示：OE，PNPEPENPNEBNF ，OEOBOEBOBE，ABCD，90OBEBNF 90OEBPEN 即，90OEPPEOE是的切线PEO（2）解：连接，如图 2 所示：CE，为的直径/DEABABCD90EDCCEO，ABCD，CFDF26DEOF，3OF 2BF 5OCOB10CE，22221068CDCEDE由（1）知设，则PECEPDx8PCx在和中，由勾股定理，得：，Rt PDERt PCE22222PDDEPEPCCE即，解得：，22226(8)10 xx92x 92PD，2222915()622PEPDDE152PNPE8.如图，为的一条弦，切于，直线交于，交于AB?OPB?OBPAPBPOABE?O点C（1）求证：是的切线；PA?O（2）若，交直线于点，交于另一点/CDPACDABD?OF求证：ADCD若，求的半径长8AB 2BD?O【解答】（1）证明：连接，OAOB是的切线，PBOPBOB90PBO，PAPBPOPOOAOB，()PAOPBO SSS，90PAOPBO PAOA是的切线PAO（2）证明：连接AC，PAPBOAOBOPAB90AEC，90PAO，90EAOAOE 90AOEAPO，EAOAPO，/APCDAPODCE EAODCE，OAOCOACOCA，EAOOACDCEOCE 即，DACDCA DADC解：，PAPBOAOB，OPAB142AEEBAB，10DCDAABBD6DEBEBD90CED，设，22221068ECDCDEOBOCr在中，Rt OEB222OBEBOE，的半径为 52224(8)rr5rO