2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(二)1956.pdf

1 2013 中考数学压轴题菱形问题精选解析(二)例 3 已知菱形ABCD的边长为10，对角线BD16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F （1）如图1，求证：PBEPDF；（2）连接PC，当PEPFPC的值最小时，求PB的长；（3）如图2，对角线AC、BD交于点O，以PO为半径的P与以DF为半径的D相切时，求PB的长 解析：（1）证明：四边形ABCD是菱形，ADAB ABDADB 又PEAB，PFAD，PEBPFD90 PBEPDF（2）解：如图1，连接AC交BD于O，则ACBD 延长FP交BC于M，则FMBC BD平分ABC，PEAB，PMPE PEPFPMPFFM 在 RtAOB中，BO 1 2 BD8，AO AB 2BO 2 10 28 2 6 AC2AO12 又S菱形ABCD 1 2 ACBDBCFM 1 2 121610FM，即FM 48 5 （说明PEPF的值不变即可得分，不必求出FM的值）因此，要使PEPFPC的值最小，只要PC取最小值 所以当CPBD，即点P与点O重合时，PEPFPC的值最小 此时PBBO 1 2 BD8（3）设PBx，则PDBDPB16x PFAD，在RtPFD中，DFDPcosADB 4 5(16x)当P与D外切时 情形一：如图2，当P点在点O左侧时，POOBPB8x 此时PODFPD，(8x)4 5(16x)16x C P A F B D E 图 1 C P A F B D O E 图 2 C A B D O 备用图 C P A F B D O E 图 1 M C P A F B D O E 图 2 C O A F B D P E 图 3 2 解得x6，即PB6 情形二：如图3，当P点在点O右侧时，POPBOBx8 此时PODFPD，(x8)4 5(16x)16x 解得x 28 3 ，即PB 28 3 如图4，当P与D内切时，POPBOBx8 PD DF，PODFPD (x8)4 5(16x)16x，解得，x 92 7 ，即PB 92 7 综上所述，以PO为半径的P与以DF为半径的D相切时，PB的长为6 或 28 3 或 92 7 例 4 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，12（1）若CE1，求BC的长；（2）求证：AMDFME 解析：（1）解：四边形ABCD 是菱形 BCCD，1 DAC DCA ACB 1 2，2 DCA DMCM 又ME CD，CE1，CD2CE2 BCCD2（2）证明：延长AB 和 DF 相交于点G，F 为 BC 的中点，BC2CF2BF CD2CE，BCCD，CECF 在菱形ABCD 中，AC 平分BCD，又ECM FCM，CMCM，CEMCFM MEMF 四边形ABCD 是菱形，AB CD，2 G 又DFC GFB，CFBF，DCFGBF DFGF 2 G，1 2，1 G AMGM MGGFMF，DFGF，MEMF AMDFME C O A F B D P E 图 4 1 2 B E A C D M F 1 2 B E A C D M F G