2013中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(三)1814.pdf

-1-2013 中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(三)例 5 如图1，等边ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EHAC于H，过E作EFAC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PEEB设ECx（0 x 2）（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r 的取值范围 图 1 解析（1）BE、PE、BF三条线段中任选两条（2）如图2，在RtCEH中，C 60，ECx，所以xEH23因为PQFEBE 4x，所以xxxxEHPQSEFPQ3223)4(232平行四边形 （3）因为xxSEFPQ32232平行四边形322232）（x，所以当x 2 时，平行四边形EFPQ的面积最大 此时E、F、P分别为ABC的三边BC、AB、AC的中点，且C、Q重合，四边形EFPQ是边长为2 的菱形（如图3）图 2 图 3 过点E点作EDFP于D，则EDEH3 如图4，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是2 个时，0r3；-2-如图5，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4 个时，r3；如图6，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6 个时，3r 2；如图7，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3 个时，r 2 时；如图8，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0 个时，r 2 时 图 4 图 5 图 6 图 7 图 8 考点伸展 本题中E是边BC上的动点，设ECx，如果没有限定0 x 2，那么平行四边形EFPQ的面积是如何随x的变化而变化的？事实上，当x 2 时，点P就不存在了，平行四边形EFPQ也就不存在了 因此平行四边形EFPQ的面积随x的增大而增大 例 6 如图1，抛物线322xxy与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D （1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系 -3-图 1 解析 （1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是x 1 （2）直线BC 的解析式为yx 3 把x 1 代入yx 3，得y 2所以点E的坐标为（1，2）把x 1 代入322xxy，得y 4所以点D的坐标为（1，4）因此DE=2 因为PF/DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为)3,(mm，点F的坐标为)32,0(2mm，因此mmmmmFP3)3()32(22 当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP于是得到232mm解得21m，12m（与点E 重合，舍去）因此，当m=2 时，四边形PEDF是平行四边形时 设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3因此 BMFPOMFPSSSSCPFBPFBCF2121 mmmm29233)3(2122 m的变化范围是0m 3 图 2 图 3 -4-考点伸展 在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由 如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此EPFDyyyy 于是2)3()32(42mmm 解得01m（与点CE 重合，舍去），12m（与点E 重合，舍去）因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形 图 4 例 7 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1yx与334yx 交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点（1）求点A、B、C的坐标（2）当CBD为等腰三角形时，求点D的坐标（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BECD的值；如果不存在，请说明理由 图 1 解析（1）在1yx中，当0y 时，1x ，所以点B的坐标为(1,0)在334yx 中，当0y 时，4x，所以点C的坐标为（4，0）解方程组1,33,4yxyx 得87x，-5-157y 所以点A的坐标为8 15,77 （2）因为点D在直线334yx 上，设点D的坐标为3(,3)4xx当CBD为等腰三角形时，有以下三种情况：如图2，当DBDC时，设底边BC上的高为DM在RtCDM中，1522CMBC，所以31548DMCM这时点D的坐标为3 15,28 如图3，当CDCB 5 时，点D恰好落在y轴上，此时点D的坐标为（0，3）根据对称性，点D关于点C对称的点D的坐标为（8，3）如图4，当BCBD时，设BC、DC边上的高分别为DM、BN在RtBCN中，BC 5，所 以CN 4，因 此DC 8 在Rt DCM中，DC 8，所 以32455DMDC，43255DMDC这时点D的坐标为12 24,55 综上所述，当CBD为等腰三角形时，点D的坐标为3 15,28、（0，3）、（8，3）或12 24,55 图 2 图 3 图 4（3）如图5，以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形：当四边形AEOD为平行四边形时，3 220BECD 当四边形ADEO为平行四边形时，210BECD 当四边形AODE为平行四边形时，27 220BECD 考点伸展 如图5，第（3）题这样解：图 5 -6-在ABC中，已知BC 5，BC边上的高为157，解得AB1527，AC257 由15BEBOBABC，得327BE，所以2727BE 由45CDCOCACB，得207CD，所以307CD 结合图5，可以计算出3 220BECD，210或27 220