2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(二)1132.pdf

1 2013 中考数学压轴题正方形问题精选解析(二)例 3 如图，在边长为6 的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y （1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当NPF的面积为32 时，求x的值；（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由 解析：（1）正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD EF90O，AEMC，MCNK AENK，KNAEAF KNAEAF，NK EA KA EF ，即 y x6 y6 x yx6（0 x 6）（2）由（1）知NKAE，ANAF 正方形DMNK，APNM，FP PM AF AN 1 FPPM，SMNP SNPF 32 S正方形DMNK 2SMNP 64 y8，x2（3）连接PG，延长FG交AD于点H，则GHAD 易知：AP y 2 ，AHx，PH y 2 x，HG6；PGAPGF y 2 x 当两圆外切时 在 RtGHP中，PH 2HG 2PG 2，即(y 2 x)26 2(y 2 x)2 解得：x33 3（舍去）或x33 3 当两圆内切时 在 RtGHP中，PH 2HG 2PG 2，即(y 2 x)26 2(y 2 x)2 方程无解 所以，当x3 33 时，两圆相切 例 4 已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，EAF45，连接EF （1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）设BEx，DFy，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动试判断以E为圆心，以BE为半径的E和以F为圆心，以FD为半径的F之间的位置关系；（4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G问：EGF与EFA能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由 解析：（1）猜想：EFBEDF N K G C E D F A B P M A D F A D F G 2 证明：将ADF绕点A顺时针旋转90，得ABF，易知点F、B、E在同一直线上（如.图 1）AFAF F AE13 23 9045 45 EAF 又AEAE，AF EAFE EFF EBEBFBEDF（2）在RtEFC中，EC 2FC 2EF 2 EC1x，FC1y，EFxy (1x)2(1y)2(xy)2 y 1x 1x（0 x 1）（3）当点E在点B、C之间时，由（1）知EFBEDF，故此时E与F外切；当点E在点C时，DF0，F不存在.当点E在BC延长线上时，将ADF绕点A顺时针旋转90，得ABF（如图2）则AFAF，12，BFDF，F AF90 F AEEAF45 又AEAE，AF EAFE EFEFBEBFBEDF 此时E与F内切 综上所述，当点E在线段BC上时，E与F外切；当点E在BC延长线上时，E与F内切 （4）EGF与EFA能够相似，只要当EFGEAF45 即可 此时CECF 设BEx，DFy，由（3）知EFxy 在 RtCFE中，CE 2CF 2EF 2 (x1)2(1y)2(xy)2 y x1 x1（x 1）由CECF，得x11y，即x11 x1 x1 化简得x 22x10，解得x11 2（舍去），x21 2 EGF与EFA能够相似，此时BE的长为1 2 例 5 已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD2，BC6，AB3E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B EFG，当点E与点C重合时停止平移设平移的距离为t，正方形B EFG的边EF与AC交于点M，连接B D，B M，DM是否存在这样的t，使B DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B EFG与ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围 B A C D B A C D A B D C E F G 图 2 F1 2 A B D C E F 图 1 F1 2 3 解析：（1）如图，设正方形BEFG的边长为x 则BEFGBGx AB3，BC6，AGABBG3x GF BE，AGFABC AG AB GF BC ，即 3x 3 x 6 解得x2，即BE2（2）存在满足条件的t，理由如下：如图，过D 作 DH BC 于点H 则 BHAD2，DHAB3 由题意得：BBHEt，HB|t2|，EC4t 在 RtB ME中，B M 2B E 2ME 22 2(2 1 2 t)2 1 4 t 22t8 EF AB，MECABC ME AB EC BC ，即 ME 3 4t 6 ，ME2 1 2 t 在 Rt DHB 中，BD 2DH 2BH 23 2(t2)2t 24t13 过 M 作 MN DH 于点N 则 MNHEt，NHME2 1 2 t DNDHNH3(2 1 2 t)1 2 t1 在 Rt DMN 中，DM 2DN 2MN 2 5 4 t 2t1（）若DBM90，则DM 2BM 2BD 2 即 5 4 t 2t1(1 4 t 22t8)(t 24t13)，解得t 20 7 （）若BMD90，则BD 2BM 2DM 2 即 t 24t13(1 4 t 22t8)(5 4 t 2t1)，解得t13 17，t23 17 0 t 4，t3 17（）若BDM90，则BM 2BD 2DM 2 即 1 4 t 22t8(t 24t13)(5 4 t 2t1)，此方程无解 综上所述，当t 20 7 或3 17 时，BDM 是直角三角形（3）当0 t 4 3 时，S 1 4 t 2 当 4 3 t 2 时，S 1 8 t 2t 2 3 当 2 t 10 3 时，S 3 8 t 22t 5 3 当 10 3 t 4 时，S 1 2 t 5 2 提示：当点F 落在CD 上时，如图 B A C D 图 E F G B A C D 图 E F G H BM N B A C D 图 E F G BH B A C D 图 E F G BH 4 FE2，EC4t，DH3，HC4 由FECDHC，得 FE EC DH HC 即 2 4t 3 4 ，t 4 3 当点G 落在AC 上时，点G 也在DH 上（即DH 与 AC 的交点）t2 当点G 落在CD 上时，如图 GB2，BC6t 由GBCDHC，得 GB BC DH HC 即 2 6t 3 4 ，t 10 3 当点E 与点C 重合时，t4 当0 t 4 3 时，如图 MFt，FN 1 2 t SSFMN 1 2 t 1 2 t 1 4 t 2 当 4 3 t 2 时，如图 PFt 4 3 ，FQ 3 4 PF 3 4 t1 SFPQ 1 2(t 4 3 )(3 4 t1)3 8 t 2t 2 3 SSFMN SFPQ 1 4 t 2(3 8 t 2t 2 3 )1 8 t 2t 2 3 当2 t 10 3 时，如图 BM 1 2 BC 1 2(6t)3 1 2 t GM2(3 1 2 t)1 2 t1 S梯形GMNF 1 2(1 2 t1 1 2 t)2t1 SS梯形GMNF SFPQ(t1)(3 8 t 2t 2 3 )3 8 t 22t 5 3 当 10 3 t 4 时，如图 PB 3 4 BC 3 4(6t)9 2 3 4 t GP2(9 2 3 4 t)3 4 t 5 2 S梯形GPQF 1 2(3 4 t 5 2 3 4 t1)2 3 2 t 7 2 B A C D 图 E F G BM N B A C D 图 E F G BM N P Q B A C D 图 E F G BP Q M N B A C D 图 E F G BP Q N M 5 SS梯形GMNF S梯形GPQF(t1)(3 2 t 7 2 )1 2 t 5 2