福建省福州市鼓楼区高二数学下学期期中试题理4774.pdf

1 福建省福州市鼓楼区高二数学下学期期中试题理（完卷时间：120 分钟，总分：150 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上）1、复数2(1)i i（i为虚数单位）的共轭复数为（）A1 i B1 i C1 i D1 i 2、根据定积分的定义知dxx202=（）Annini1)1(12 Bnninin1)1(12lim C.nnini2)(12 D、nninin2)2(12lim 3、设命题甲：2210axax 的解集是实数集R；命题乙：01a，则命题甲是命题乙成立的（）A充分不必要条件 B充要条件 C.必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4、下列等于 1 的积分是（）Adxx10 Bdxx10)1(C.dx101 D、dx1021 5、函数()3lnf xxx的单调递减区间是（）A),1(ee B)1,0(e C)1,(e D),1(e 6、设曲线11xxy在点)2,3(处的切线与直线03 yax垂直，则a等于 ()A2 B2 C.12 D12 7、等差数列 na中，2nnaa是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）A1 B10,1,2 C.12 D11,2 8、在棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，则平面1ABC与平面11AC D间的距离（）A63 B33 C 332 D23 2 9、用数学归纳法证明(1)(2)()2 1 3(21)nnnnnn，从k到1k，左边需要增乘的代数式为（）A2(21)k B21k C211kk D231kk 10、在ABC中，角,A B C所对边分别为,a b c,且AcCabcoscos)2(，3c,sinsin2 6sinsinABAB，则ABC的面积为()A.833 B2 C.23 D.433 11、设点 P 是双曲线22221xyab（a0，b0）与圆22xy22ab在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF13PF2，则双曲线的离心率为（）A5 B52 C10 D102 12、定义max,a b表示实数,a b中的较大的数已知数列na满足1aa2(0),1,aa 122max,2()nnnaaanN，若20154aa，记数列na的前n项和为nS，则2015S的值为（）A7254 B7255 C7256 D7257 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在答题卡作答）.13、dxexx)1(102 14、某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点)32,2(A，)5,23(B，则圆锥曲线C是 15、已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)、B(2，5,1)，C(3,7，5)，则顶点D的坐标为_ 16、已知函数)(xf221sin1xxx，其导函数记为)(xf，则)2017()2017()2017()2017(ffff .3 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分 10 分）在ABC 中，a、b、c 分别是角 A，B，C 的对边，且CBcoscos=-cab2.（1）求角 B 的大小；（2）若 b=13，a+c=4，求ABC 的面积.18、（本小题满分 12 分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，AB=1,BC=2,PA=2,E、F分别是AB、PC的中点 （1）求证：EF平面PAD；（2）求证：CDEF（3）求EF与平面ABCD所成的角的大小 19、（本小题满分 12 分）已知抛物线2:2(0)C ypxp上一点M(t,8)到焦点F的距离是54t（）求抛物线C的方程；（）过F的直线与抛物线C交于,A B两点是否存在一个定圆与以AB为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由 ABCPDEF 4 20、（本小题满分 12 分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心1O的距离为多少时，帐篷的体积最大？21（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱111ABCABC中，ABAC，1=A A AB AC，D是AB中点（）记平面11B C D平面11=AC CA l，在图中作出l，并说明画法；（）求直线l与平面11BC CB所成角的正弦值 DAA1C1CBB1 5 22、（本小题满分 12 分）已知函数+3()ex mf xx,ln12g xx（）若曲线 yf x在点 00f，处的切线斜率为 1，求实数m的值；（）当1m时，证明：3()fxg xx.6 高二年级下学期期中考试理科数学（答题卷）（完卷时间：120 分钟，总分：150 分）题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 21 22 得分 评卷教师 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C C B B D B A D D A 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、14e 14、双曲线 15、)3,13,5(16、2 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）18、略 19、考查抛物线的定义与焦半径的知识，焦点弦的性质，利用待定系数方法探究存在性问题，可以较好的考察学生的数学思维能力，数形结合能力及逻辑运算能力。解法一：17.（本小题满分 10 分）1）由余弦定理知：cosB=acbca2222，cosC=abcba2222.将上式代入CBcoscos=-cab2得:acbca22222222cbaab=-cab2 整理得:a2+c2-b2=-accosB=acbca2222=acac2=-21 B 为三角形的内角，B=32.6 分（2）将 b=13,a+c=4,B=32代入 b2=a2+c2-2accosB,得 b2=(a+c)2-2ac-2accosB b2=16-2ac211,ac=3.SABC=21acsinB=433.12 分 7（）由抛物线定义得,2pMFt 又5t,4MF 5ttt=2,24pp，即 2 分(2,8)Mp，(2,8)Mp在抛物线22ypx上，216p，3 分 解得4p （舍去）或4p，所以抛物线E的方程为28yx.4 分（）当直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)yk x,l与抛物线交于点1122(,),(,)A x yB xy，联立2)8,(2,yxyk x化简得 2222(48)40k xkxk，5 分 显然0，212248,kxxk6分 设,A B的中点为M,则2122124(),4()22MMMkxxxykkkx，7 分 21288ABxxpk，8分 设圆的方程为222()()xaybr，222222224444()()()kkabrkkk，9分 22222(328)8(328)(2)(4)abrabrkkk，222328328,3,80,0,3,(2)(4),arabbrabr解得 10分 定圆的方程为22(3)9xy，11分 当直线l的斜率不存在，以,A B为直径的圆的方程为22(2)16xy，8 该圆也与定圆22(3)9xy内切.综上所求定圆的方程为22(3)9xy.12分 解法二：（）同解法一；（）设直线l的方程为2xmy，l与抛物线交于点1122(,),(,)A x yB xy.228,xyxmy，化简得28160ymy，6 分 显然0，128,yym 7 分 设,A B的中点为M,则2121()4,2422MMMyyym xmym,8分 22188ABxxpm，9 分 由抛物线的对称性可知，若定圆存在其圆心必在x轴上，设圆的方程为222()xayr，22222(42)16(44)mammr，10 分 2222(328)(2)(328)(4)a mar mr，22328328,3,(2)(4),3,araarr解得 11 分 所以定圆的方程为22(3)9xy.12分 解法三：（）同解法一；（）当直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)yk x,与抛物线交于点1122(,),(,)A x yB xy，2,6,(12)yxyk x化简得2222(48)40k xkxk，5 分 显然0，212248,kxxk6 分 设,A B的中点为M,则2122124(),4()22MMMkxxxykkkx，7 分 9 21288ABxxpk，由抛物线的对称性可知，若定圆存在其圆心必在x轴上，设圆的方程为222()xayr，2222222241644()()kkarkkk，9 分 2222(328)(328)(2)(4)ararkk，22328328,3,(2)(4),3,araarr解得10 分 定圆的方程为22(3)9xy，11 分 当直线l的斜率不存在，以,A B为直径的圆的方程为22(2)16xy，该圆也与定圆22(3)9xy内切，综上所求定圆的方程为22(3)9xy.12 分 20、分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设1OO的长度会比较简便。解：设1()OOx m,则 由 题 设 可 得 正 六 棱 锥 底 面 边 长 为2223(1)82xxx（单位：m）。于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：2222233 33(1)6(82)(82)42xxxxx。帐篷的体积为（单位：m3）：233 313()(82)(1)1(16 12)232V xxxxxx 求导数，得23()(123)2V xx；令()0V x解得 x=-2(不合题意，舍去),x=2。当 1x2 时，()0V x,V(x)为增函数；当 2x4 时，()0V x,V(x)为减函数。所以当 x=2 时,V(x)最大。答：当 OO1为 2m 时，帐篷的体积最大。点评：本题是结合空间几何体的体积求最值，加深理解导数的工具作用，主要考查利用导数研究函 10 数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。21、（本小题满分 12 分）本小题主要考查空间线面间的位置关系和直线与平面所成的角；考查空间想象能力,及公理定理的应用;考查运算求解能力及化归的思想方法.解法一：（）所作直线l如图所示，3 分 取AC中点E,连接1,ED C E则直线1C E即为l.6 分（）取BC中点G,ABACAGBC，取CG中点H,连接EH,则/EHAG,从而EHBC.111111,B BABC B BB BCCABCB BCC面面面面，7 分 又11,ABCB BCCBC EHABC EHBC面面面，11EHB BCC 面，8 分 连接1C H,则1EC H即为所求l与平面11BC CB所成角.9 分 令A A AB AC1=2,在1Rt C CE中,111,2,5,CECCC E 10 分 又1222EHAG,在1Rt C HE中,1110sin10HEEC HC E.即直线l与平面11BC CB所成角的正弦值为1010.12 分 解法二：（）延长1B D与1A A交于 F,连接1C F交AC于点E，则直线1C E（或1C F）即为l.6 分（）D是AB中点,11/ADA B,A是A F1的中点,又11/AEAC,故E为AC中点.分别以1,AB AA AC为,x y z轴,建立空间之间坐标系,如图.7 分 令A A AB AC1=2,则有11(2,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(0,2,2),(0,0,1).BBCCE 11(0,2,1),(0,2,0),(2,0,2).C EBBBC 8 分 设平面11BC CB的法向量为(,)nx y z.由120,220,n BByn BCxz 可取(1,0,1)n，9 分 设l与平面11BC CB所成角为,有111110sincos,1052C E nC E nC E n，11 分 即直线l与平面11BC CB所成角的正弦值为1010.12 分(注意不同建系所求的法向量不同)22、（）解：因为+3()ex mf xx，所以+2()e3x mfxx.1 分 因为曲线 yf x在点 00f，处的切线斜率为，lEDAA1C1CBB1作法一 lEFDAA1C1CBB1作法二 lHGEDAA1B1BCC1 lyxzEDAA1B1BCC1第 18 题