第十章统计、概率(文数)第6讲1366.pdf

基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题 1.(2016茂名模拟)若离散型随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 P a2 a22 则 X 的数学期望 E(X)_.解析 由概率分布的性质，a2a221，a1.故 E(X)12012112.答案 12 2.已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)2.4，V(X)1.44，则二项分布的参数n，p 的值分别为_，_.解析 由二项分布 XB(n，p)及 E(X)np，V(X)np(1p)得 2.4np，且1.44np(1p)，解得 n6，p0.4.答案 6 0.4 3.罐中有 6 个红球，4 个白球，从中任取 1 球，记住颜色后再放回，连续摸取 4次，设 X 为取得红球的次数，则 X 的方差 V(X)的值为_.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸 4 次(做 4 次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则 XB4，35，V(X)4351352425.答案 2425 4.口袋中有 5 只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取 3 只球，以 X 表示取出的球的最大号码，则 X 的数学期望 E(X)的值是_.解析 由题意知，X 可以取 3，4，5，P(X3)1C35110，P(X4)C23C35310，P(X5)C24C3561035，所以 E(X)311043105354.5.答案 4.5 5.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为_.解析 记“不发芽的种子数为 Y”，则 YB(1 000，0.1)，所以 E(Y)1 0000.1100，而 X2Y，故 E(X)E(2Y)2E(Y)200.答案 200 6.已知 X 的概率分布为 X 1 0 1 P 12 16 a 设 Y2X1，则 Y 的数学期望 E(Y)的值是_.解析 由概率分布的性质，a1121613，E(X)11201611316，因此 E(Y)E(2X1)2E(X)123.答案 23 7.(2016青岛模拟)设 X 为随机变量，XBn，13，若随机变量 X 的数学期望 E(X)2，则 P(X2)等于_.解析 由 XBn，13，E(X)2，得 np13n2，n6，则 P(X2)C26132113480243.答案 80243 8.(2014浙江卷)随机变量 的取值为 0，1，2.若 P(0)15，E()1，则 V()_.解析 设 P(1)a，P(2)b，则15ab1，a2b1，解得a35，b15，所以 V()(01)215(11)235(21)21525.答案 25 二、解答题 9.(2016常州调研)某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时 2 元(不足一小时的部分按一小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，12，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求 的概率分布与数学期望 E().解(1)甲、乙两人所付车费用相同即为 2，4，6 元.由题意知甲、乙超过两小时还车的概率分别为 1141214，1121414.都付 2 元的概率为 P1141218，都付 4 元的概率为 P2121418，都付 6 元的概率为 P31414116，故所付费用相同的概率为 PP1P2P31818116516.(2)依题意知，的可能取值为 4，6，8，10，12.P(4)141218，P(6)14141212516，P(8)141412141214516，P(10)14141214316，P(12)1414116.故 的概率分布为 4 6 8 10 12 P 18 516 516 316 116 所求数学期望 E()418651685161031612116152.10.(2016南京、盐城模拟)某中学有 4 位学生申请 A，B，C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的.(1)求恰有 2 人申请 A 大学的概率；(2)求被申请大学的个数 X 的概率分布与数学期望 E(X).解(1)记“恰有 2 人申请 A 大学”为事件 A，P(A)C2422342481827.即恰有 2 人申请 A 大学的概率为827.(2)X 的所有可能值为 1，2，3.P(X1)334127，P(X2)C24A23C24A23A223442811427，P(X3)C24A3334368149.X 的概率分布为 X 1 2 3 P 127 1427 49 所以 X 的数学期望 E(X)1127214273496527.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取 5 次，设摸得白球数为 X，已知 E(X)3，则 V(X)_.解析 由题意，XB5，3m3，又 E(X)53m33，m2，则 XB5，35，故 V(X)53513565.答案 65 12.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c(a、b、c(0，1)，已知他投篮一次得分的均值为 2(不计其他得分情况)，则 ab 的最大值为_.解析 设投篮得分为随机变量 X，则 X 的分布列为 X 3 2 0 P a b c 依题意，E(X)3a2b2，又 a，b(0，1)，23a2b2 6ab，则 ab16，当且仅当 3a2b，即 a13，b12时上式取等号.答案 16 13.(2016青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以 a1为首项，公比为 2 的等比数列，相应资金是以700 元为首项，公差为140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为 _元.解析 由概率分布性质a12a14a11，a117，从而 2a127，4a147.因此获得资金 的概率分布为 700 560 420 P 17 27 47 E()700175602742047500(元).答案 500 14.(2016苏北四市质检)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加 10 分，背诵错误减 10 分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的背诵正确的概率为 p23，背诵错误的概率为 q13，现记“该班级完成 n 首背诵后总得分为 Sn”.(1)求 S620 且 Si0(i1，2，3)的概率；(2)记|S5|，求 的概率分布及数学期望.解(1)当 S620 时，即背诵 6 首后，正确 4 首，错误 2 首，若第一首和第二首正确，则其余 4 首可任意背诵对 2 首；若第一首正确，第二首背诵错误，则第三首背诵正确，其余 3 首可任意背诵对2 首.故所求的概率 P232C24232132231323C23232131681.(2)因为|S5|的取值为 10，30，50.所以 P(10)C35233132C252321334081；P(30)C45234131C152311343081；P(50)C55235C051351181.所以 的概率分布为 10 30 50 P 4081 3081 1181 所以 E()1040813030815011811 85081.