线性代数期末复习题8157.pdf

1 线性代数 一.单项选择题 1.设 A、B 均为 n 阶方阵，则下列结论正确的是 。(a)若 A 和 B 都是对称矩阵，则 AB 也是对称矩阵 (b)若 A0 且 B0，则 AB0(c)若 AB 是奇异矩阵，则 A 和 B 都是奇异矩阵 (d)若 AB 是可逆矩阵，则 A 和 B 都是可逆矩阵 2.设 A、B 是两个 n 阶可逆方阵，则1AB等于（）（a）1A 1B (b)1B 1A （c）1B)(1A （d）1B 1A 3.nm型线性方程组 AX=b,当 r(A)=m 时,则方程组 .(a)可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 (d)有解 4.矩阵 A 与对角阵相似的充要条件是 .(a)A 可逆 (b)A 有 n 个特征值(c)A 的特征多项式无重根 (d)A 有 n 个线性无关特征向量 5.A为 n 阶方阵,若02A，则以下说法正确的是 .(a)A可逆 (b)A合同于单位矩阵(c)A=0 (d)0AX有无穷多解 6设A，B，C都是n阶矩阵，且满足关系式ABCE，其中E是n阶单位矩阵，则必有（）（A）ACBE （B）CBAE （C）BACE （D）BCAE 7若2333231232221131211aaaaaaaaaD，则3332313123222121131211111434343aaaaaaaaaaaaD（）（A）6 （B）6 （C）24 （D）24 二、填空题 1.A 为 n 阶矩阵，|A|=3，则|AA|=,|12AA|=.2设300120211A，则A的伴随矩阵*A ；3设 A1112，则1A 。2 4.3R中的向量123,222,22,则 ，|=.5.设 3 阶矩阵A的行列式8|A，已知A有 2 个特征值-1 和 4，则另一特征值为 6.二次型322123222143214422),(xxxxxxxxxxxf对应的矩阵是 .7.已知三维向量空间的一组基为：1,1,0,1,0,1,0,1,1 321，则向量0,0,2在这组基下的坐标为：。8.如果二次型31212322213212232),(xxxxtxxxxxxf是正定的，则t的取值 X 围是 。三、解答题 1.设XBAX，其中101111010A，350211B，求X 2.计算 dbdbcaca00000000 3.求向量组93916,131,143,1524321的一个极大线性无关组，并将其他向量用该极大线性无关组线性表出.4设线性方程组0302022321321321xxxxxxxxx,问取何值时方程组有非零解？并求通解,写出其基础解系.5.已知方程组2321321321424kxkxxxxxkxxx（1）k为何值时，方程组有唯一解？无穷多解？无解？（2）在有无穷多解时，求出方程组的通解。6已知二次型323121321222),(xxxxxxxxxf,利用正交变换化f为标准形,并写出相应的正交矩阵.四、证明题 3 若2240AAE,证明AE可逆,并求1()AE.答案 一、(1)d (2)a (3)d (4)d (5)d （6）d （7）d 二、(1)9;13n (2)200130336 （3）2111 （4）210;14 (5)-2 (6)220222021 （7）1,1,1 （8）35t 三、(1)由XBAX得：()AE XB 因为 110101102AE，30AE ，所以AE可逆。12103321()13311033AE，故131()2011XAEB (2)2)(bcad (3)321,;32143832317 (4)1时 有 非 零 解 ;TkX110 k取任意数 T110为基础解系(5)4)(1(1121111kkkkA (1)当1k且4k时，方程组有唯一解;(2)当1k时，111142114111bA300083204111)()(ArbAr，方程组无解；4（3）当4k时，1614142114411bA000041100301 32)()(ArbAr，方程组有无穷多解，通解为:0401133321xxxx，（3x 为任意常数）(6)2322212yyyf;31620316121316121P 四、因为IIAIA)3()(所以 IAIA3)(1