安徽省定远重点中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(精品解析)17322.pdf
2018-2019 学年度高三上学期期末考试卷 数学（理科）试题 第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。)1.已知集合，则 （）A.B.C.D.【答案】B【解析】,选 B 2.复数（为虚数单位）的虚部是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，所以虚部是，故选 D。3.当时，执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（）A.9 B.15 C.31 D.63【答案】C【解析】由程序框图可知，退出循环，输出 的值为，故选 C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.等比数列的前 项和为，且成等差数列，若，则（）A.15 B.16 C.18 D.20【答案】A【解析】设公比为，则等价于，故，所以，选 A.5.若，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，选 A 6.设，分别是正方形的边，上的点，且，如果（，为实数），则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图所示，故选 7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.61 C.62 D.73【答案】C【解析】由三视图画出几何体如图所示，上、下底面分别为边长是 1、4 的正方形；前、后两个侧面是上底为 1，下底为 4，高为 4的梯形；左、右两个侧面是上底为 1，下底为 4，高为 5 的梯形 其表面积为选 C 8.设不等式组表示的平面区域为，若直线上存在内的点，则实数 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】满足不等式组的可行域如图所示 阴影部分满足不等式组的平面区域，联立解得 点 联立解得 点 直线恒过点 观察图像可知，当直线在和之间时，才会存在内的点 故选 A 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.已知，为的导函数，则的图像是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，为奇函数，图象关于原点对称，排除，又，可排除，故选 A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10.已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数 的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，由图可知，得或，所以和各有两个解。当有两个解时，则，当有两个解时，则或，综上，的取值范围是，故选 D。点睛：本题考查函数性质的应用。本题为嵌套函数的应用，一般的，我们应用整体思想解决问题，所以令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，再结合图象逐步分析，解得答案。11.设函数存在零点，且，则实数 的取值范围是 A.B.C.D.【答案】D【解析】令，得，设，条件转化为与的图象在上有交点，得在上为增函数，得.故选 D.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，同时也可以转化为两个函数的图象关系.12.已知奇函数满足，当时，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，且为奇函数 故选 B 第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知正方体的棱长为，点 是棱的中点，点 在底面内，点 在线段上，若，则长度的最小值为_.【答案】【解析】过点 作平面，垂足为，则点 在线段上，连接,在中，在平面内过点作，垂足为，则，即到直线的最短距离为，又，当时，此时,所以.14.在平面直角坐标系中，已知圆，圆，在圆内存在一定点，过的直线 被圆，圆截得的弦分别为，且，则定点的坐标为_.【答案】【解析】总成立，且知，过两圆的圆心直线截两圆弦长比是点在两圆心连线上，因为圆心连线方程为，可设，设直线 的方程为，因为，所以，解得或（此时点在圆外，舍去），故答案为.15.已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数 的最小值是_【答案】【解析】因为,所以,则,因为对任意的实数,都存在唯一的实数,使,所以在上单调,且,则,则,所以 ,即实数 的最小值是 点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空。16.如图，为了测量河对岸、两点之间的距离，观察者找到一个点，从点 可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；并测量得到一些数据：，则、两点之间的距离为_（其中取近似值）【答案】【解析】由题意知,在中,.由正弦定理得.在中,由正弦定理得 在中,由余弦定理得，三、解答题(共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)17.已知的内角所对的边分别为，.（1）；（2）若的平分线交于点，且的面积为，求的长.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由，又，利用余弦定理得到；（2）由可得.设的面积为，解得，再由内角平分线定理得到，在中,由余弦定理可得结果.试题解析：（1）因为，所以.于是，.（2）由可得.设的面积为，.则.为的平分线，.又.在中,由余弦定理可得，.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.已知右焦点为 的椭圆与直线相交于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且 为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【答案】(1)(2)的面积为定值 【解析】（1）设，则，即，即，由得，又，椭圆的方程为 （2）设直线方程为：，由得，为重心，点在椭圆 上，故有，可得，而，点 到直线的距离（是原点到距离的 3 倍得到），当直线斜率不存在时，的面积为定值 19.已知函数的定义域为 R，值域为，且对任意，都有，.（）求的值，并证明为奇函数；（）若时，且，证明为 R 上的增函数，并解不等式.【答案】（）,见解析；（）解集为.【解析】【分析】（）由题意令，求得，再利用函数的奇偶性的定义，即可判定函数的奇偶性；（）根据函数的单调性的定义，可判定函数为单调递增函数，再利用函数的单调性，把不等式得到，进而可求解不等式的解集。【详解】（）令，得.值域为，.的定义域为，的定义域为.又，为奇函数.（）任取 ，时，又值域为，.为 上的增函数.，.又为 R 上的增函数，.故的解集为.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判定，以及函数的基本性质的应用问题，其中解答中熟记函数的单调性和奇偶性的定义，以及利用函数的基本性质，合理转化不等式关系式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。20.已知曲线上任意一点到直线的距离是它到点距离的 2 倍；曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线（1）求的方程；（2）设过点 的直线与曲线相交于两点，分别以为切点引曲线的两条切线，设相交于点，连接的直线交曲线于两点，求的最小值【答案】（1）曲线的方程，曲线的方程为；（2）最小值为 【解析】试题分析：（1）设，则曲线的方程，设曲线的方程为，则曲线的方程为；（2）设 方程为，代入曲线的方程得 ，由，代入曲线方程得 （其中），设 ，故在单调递增的最小值为 试题解析：（1）设，则曲线的方程，设曲线的方程为，则曲线的方程为（2）设 方程为，代入曲线的方程得，由，代入曲线方程得，设，（其中）设，则，故在单调递增，因此，当且仅当即等号成立，故的最小值为 考点：1、曲线的方程；2、直线与圆锥曲线；3、向量的基本运算.21.如图，在边长为的菱形中，.点，分别在边，上，点 与点，不重合，.沿将翻折到的位置，使平面平面.（1）求证：平面；（2）当与平面所成的角为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用平面平面证明平面.(2)第（2）问，建立空间直角坐标系，先转化与平面所成的角为，再利用二面角的向量公式求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.试题解析：（1），.平面平面，平面平面，且平面，平面.（2）如图，以 为原点，建立空间直角坐标系，连接，平面，为与平面所成的角，即，.设，为等边三角形，.设，则，由，得，即，.，.设平面、平面的法向量分别为，由，取，得.同理，得，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.22.已知.（1）讨论的单调性；（2）若有三个不同的零点，求 的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1），对 a分类讨论，从而得到的单调性；（2），则，对 a 分类讨论，研究函数的图象走势，从而得到 的取值范围.试题解析：（1）由已知的定乂域为，又，当时，恒成立；当时，令得；令得.综上所述，当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数.（2）由题意，则，当时，在上为增函数，不符合题意.当时，令，则.令的两根分别为且，则，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数；当时，在上为增函数.，在上只有一个零点 1，且。，.，又当时，.在上必有一个零点.，又当时，.在上必有一个零点.综上所述，故 的取值范围为.
