2020年中考数学总复习压轴题专题练习：二次函数45028.pdf

2020 年中考数学总复习二次函数压轴题专题练习1如图，顶点为P（2，4）的二次函数yax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP（1）求二次函数yax2+bx+c的表达式；（2）若APO90，求点A的坐标；（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：当m4 时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；当n0 时，若四边形OBCD的面积为 12，求点A的坐标解：（1）图象经过原点，c0，顶点为P（2，4）抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，4）和（4，0）代入yax2+bx，a1，b4，二次函数的解析式为yx24x；1（2）APO90，APPO，A（m，m24m），m2，m，A（，）；（3）由已知可得C（4m，n），D（m，n），B（4，0），CDOB，CD4，OB4，四边形OBCD是平行四边形；四边形OBCD是平行四边形，n0，124（n），n3，A（1，3）或A（3，3）2在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+kx+c的图象经过点C（0，1），当x2 时，函数有最小值（1）求抛物线的解析式；（2）直线ly轴，垂足坐标为（0，1），抛物线的对称轴与直线l交于点A 在x轴上有一点B，且AB，试在直线l上求异于点A的一点Q，使点Q在ABC的外接圆上；（3）点P（a，b）为抛物线上一动点，点M为坐标系中一定点，若点P到直线l的距离始终等于线段PM的长，求定点M的坐标解：（1）图象经过点C（0，1），c1，对称轴x2，k1，抛物线解析式为yx2x+1；（2）由题意可知A（2，1），设B（t，0），AB，（t2）2+12，t1 或t3，B（1，0）或B（3，0），B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，B（3，0），AC2，BC，BAC90，ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，设Q（x，1），则有（x）2+（+1）2（）2，x1 或x2（舍去），Q（1，1）；（3）设顶点M（m，n），P（a，b）为抛物线上一动点，ba2a+1，P到直线l的距离等于PM，（ma）2+（nb）2（b+1）2，+（2n2m+2）a+（m2+n22n3）0，a为任意值上述等式均成立，此时m2+n22n30，定点M（2，1）3如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知BC2，tanOBC（1）求拋物线的解析式；（2）如图 2，若点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，作PEBC于点E，当点P的横坐标为 2 时，求PDE的面积；（3）若点M为抛物线上的一个动点，以点M为圆心，为半径作M，当M在运动过程中与直线BC相切时，求点M的坐标（请直接写出答案）解：（1）BC2，tanOBC，OB4，OC2，点B为（4，0），点C为（0，2）代入yx2+bx+c中，c2，b，yx2+x+2；（2）当x2 时，y3，P（2，3），B（4，0），C（0，2），直线BC的解析式为yx+2，PD平行于y轴，D（2，1），PD2，PD平行于y轴，PDEOCB，PEBC，PEDCOB90，PDEBCO，PDE与BCO的面积之比是对应边PD与BC的平方，BCO的面积为 4，PED的面积是 4；（3）过点M作MGBC于点G，过点M作MHAB于点H，MGHCOB，M与直线BC相切，MG，MH5，设点M（x，x2+x+2），如图 1，设H（x+5，x2+x+2）代入yx+2，x1 或x5，M（1，0）或M（5，3）；如图 2，点H（x5，x2+x+2）代入yx+2，方程无解，综上所述：M（1，0）或M（5，3）4如图，抛物线yax2+（4a1）x4 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC2OB，点D为线段OB上一动点（不与点B重合），过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值解：（1）在抛物线yax2+（4a1）x4 中，当x0 时，y4，C（0，4），OC4，OC2OB，OB2，B（2，0），将B（2，0）代入yax2+（4a1）x4，得，a，抛物线的解析式为yx2+x4；（2）设点D坐标为（x，0），四边形DEFH为矩形，H（x，x2+x4），yx2+x4（x+1）2，抛物线对称轴为x1，点H到对称轴的距离为x+1，由对称性可知DEFH2x+2，矩形DEFH的周长C2（2x+2）+2（x2x+4）x2+2x+12（x1）2+13，当x1 时，矩形DEFH周长取最大值 13，此时H（1，），HF2x+24，DH，S矩形DEFHHFDH410；（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，由（2）知，抛物线对称轴为x1，H（1，），G（1，），设直线BH的解析式为ykx+b，将点B（2，0），H（1，）代入，得，解得，直线BH的解析式为yx5，可设直线MN的解析式为yx+n，将点（1，）代入，得n，直线MN的解析式为yx+，当y0 时，x，M（，0），B（2，0），将抛物线沿着x轴向左平移 个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N，则MN恰好平分矩形DEFH的面积，m的值为5如图 1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：yx+6 与直线l2相交于点A，与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，抛物线yax2+bx+c（a0）经过点O、点A和点B，已知点A到x轴的距离等于 2（1）求抛物线的解析式；（2）点H为直线l2上方抛物线上一动点，当点H到l2的距离最大时，求点H的坐标；（3）如图 2，P为射线OA的一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形POMN与OAC重叠的面积为S，设移动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式解：（1）点A到x轴的距离等于 2，点A的纵坐标为 2，2x+6，x4，A（4，2），当y0 时，x+60，x6，B（6，0），把A（4，2），B（6，0），O（0，0）代入yax2+bx+c得，解得：，抛物线的解析式为yx2+x；（2）设直线l2的解析式为ykx，24k，k，直线l2的解析式为yx，设点H的坐标为（m，m2+m），如图 1，过H作HGy轴交直线l2于G，G（m，m），HGm2+mmm2+m（m2）+1，当m2 时，HG有最大值，点H的坐标为（2，2）；（3）当 0t时，如图 2，过A作AEOB于E，OA2，tanAOE，NOPBOC90，HONAOE，tanNOHtanAOE，OPONNMPMt，NHNMt，S（t+t）tt2；当t2 时，过点P作PHx轴，POHQON，OPt，OPONNMPMt，NQt，可求P（2t，t），直线MP的解析式为y2x+5tG（5t6，5t+12），GP3（2t），AP2t，MG63t，MGKAGP，GPAGKM，MKt2，Stt（t2）（63t）t2+40t30；当 2t时，可求N（t，2t），则直线MN的解析式为yx+t，K（4t，t+2），NQt，Q（0，t），MKt2，Stt（t2+t2）tt2+10t；当t时，SSOAC4612；6 如图 1，小明用一张边长为 6cm的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，再折成如图 2 所示的无盖纸盒，记它的容积为ycm（1）y关于x的函数表达式是y4x324x2+36x，自变量x的取值范围是0 x3；（2）为探究y随x的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：列表：请你补充表格中的数据：x00.511.522.53y012.51613.582.50描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中（如图 3）描出相应的点；连线：用光滑的曲线顺次连结各点（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过 12cm3，估计正方形边长x的取值范围（保留一位小数）解：（1）yx（62x）24x324x2+36x（0 x3），故答案为：y4x324x2+36x，0 x3；（2）在y4x324x2+36x中，当x1 时，y16；当x2 时，y8，故答案为：16，8；如图 1 所示，如图 2 所示，（3）由函数图象可以看出，若该纸盒的容积超过 12cm3，正方形边长x的取值范围大概为 0.4x1.77定义：若函数yx2+bx+c（c0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴交点的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xAyC（或xByC），则称该函数为友好函数如图，函数yx2+2x3 与x轴的一个交点A的横坐标为 3，与y轴交点C的纵坐标为3，满足xAyC，称yx2+2x3 为友好函数（1）判断yx24x+3 是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数yx2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若yx2+bx+c是友好函数，且ACB为锐角，求c的取值范围解：（1）yx24x+3 是友好函数，理由如下：当x0 时，y3；当y0 时，x1 或 3，yx24x+3 与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是 3，yx24x+3 是友好函数；（2）当x0 时，yc，即与y轴交点的纵坐标为c，yx2+bx+c是友好函数，xc时，y0，即（c，0）在yx2+bx+c上，代入得：0c2+bc+c，0c（c+b+1），而c0，b+c1；（3）如图 1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：cb1，即yx2+bxb1，显然当x1 时，y0，即与x轴的一个交点为（1，0），则ACO45，只需满足BCO45，即BOCOc1；如图 2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，显然都满足ACB为锐角，c0，且c1；当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c1 或c0，且c18已知：抛物线yax23（a1）x+2a6（a0）（1）求证：抛物线与x轴有两个交点（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1x2）若t是关于a的函数、且tax2x1，求这个函数的表达式；（3）若a1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP1M是线段AC上一动点，求 2MB+MC的最小值（1）证明：b24ab3（a1）24a（2a6）a2+6a+9（a+3）2，a0，（a+3）20，抛物线与x轴有两个交点；（2）解：令y0，则ax23（a1）x+2a60，或，a0，且x1x2，x12，ta5；（3）解：当a1 时，则yx24，向上平移一个单位得yx23，令y0，则x230，得，OP1，直线，联立：，解得，即，AO，在 RtAOP中，AP2，过C作CNy轴，过M作MGCN于G，过C作CHx轴于H，CNx轴，GCMPAO，又AOPCGM90，AOPCGM，B到CN最小距离为CH，MB+GM的最小值为CH的长度，2MB+MC的最小值为9如图，抛物线y1ax2+c的顶点为M，且抛物线与直线y2kx+1 相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的坐标为（2，3），连结AM、BM（1）a1，c1，k1（直接写出结果）；（2）当y1y2时，则x的取值范围为1x2（直接写出结果）；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得ABP的面积最大？若存在，求出ABP的最大面积及点P坐标解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2kx+1 得：32k+1解得：k1y2x+1令y20 得：0 x+1解得：x1A（1，0）将A（1，0）、B（2，3）代入y1ax2+c得：解得：a1，c1故答案为：1，1，1；（2）A（1，0）、B（2，3）结合图象可得：当y1y2时，则x的取值范围为1x2故答案为：1x2；（3）在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得ABP的面积最大如图，设平行于直线y2x+1 的直线解析式为：y3x+b由得：x21x+bx2x1b0令0 得：14（1b）0解得：by3x，x2x1+0解得：x1x2P（，）当点P坐标为（，）时，ABP的面积最大设y3x与x轴交于点C，则点C坐标为：（，0），过点C作CDAB由平行线间的距离处处相等，可知线段CD的长度即为ABP的高的长度y2x+1 与x轴所成锐角为 45ACD为等腰直角三角形AC（1）CDA（1，0）、B（2，3）ABABP的面积为：在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得ABP的面积最大；ABP的最大面积为；点P坐标为（，）10如图，在平面直角坐标系 中，一次函数yx2 的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线yx2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图 1 所示，过点P作PMy轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图 2 所示，过点P作PQAB于点Q，连接PB，当PBQ中有某个角的度数等于OAB度数的 2 倍时，请直接写出点P的横坐标解：（1）令x0，得yx22，则B（0，2），令y0，得 0 x2，解得x4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，2）代入yx2+bx+c（a0）中，得：，解得：，抛物线的解析式为：yx2x2；（2）PMy轴，ADC90，ACDBCP，以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：当CBP90时，如图 1，过P作PNy轴于N，设P（x，x2x2），则C（x，x2），ABO+PBNABO+OAB90，PBNOAB，AOBBNP90，AOBBNP，即，解得：x10（舍），x2，P（，5）；当CPB90时，如图 2，则B和P是对称点，当y2 时，x2x22，x10（舍），x2，P（，2）；综上，点P的坐标是（，5）或（，2）；（3）OA4，OB2，AOB90，BOA45，BQP2BOA，分两种情况：当PBQ2OAB时，如图 3，取AB的中点E，连接OE，过P作PGx轴于G，交直线AB于H，OEAE，OABAOE，OEB2OABPBQ，OBPG，OBEPHB，BOEHPB，由勾股定理得：AB2，BE，GHOB，即，BHx，设P（x，x2x2），则H（x，x2），PHx2（x2x2）x2+4x，解得：x10，x23，点P的横坐标是 3；当BPQ2OAB时，如图 4，取AB的 中点E，连接OE，过P作PGx轴于G，交直线AB于H，过O作OFAB于F，连接AP，则BPQOEF，设点P（t，t2t2），则H（t，t2），PHt2（t2t2）t2+4t，OB4，OC2，BC2，OEBECE，OF，EF，SABP，2PQ4（t2+4t），PQ，OFEPQB90，PBQEOF，即，BQ，BQ2+PQ2PB2，44t2388t+8030，（2t11）（22t73）0，解得：t15.5（舍），t2；综上，存在点P，使得PBQ中有某个角的度数等于OAB度数的 2 倍时，其P点的横坐标为 3 或11如图，抛物线yax2+bx过点A（，0）和点B（，2），连结AB交y轴于点C（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P在线段AB下方的抛物线上运动，连结AP，BP设点P的横坐标为m，ABP的面积为s求s与m的函数关系式；当s取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使得SACQs若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由解：（1）将点A（，0）和点B（，2）代入yax2+bx，得，解得，抛物线的函数解析式为yx2+x；（2）设直线AB的解析式为ykx+b，将点A（，0），B（，2）代入，得，解得，k，b1，直线AB的解析式为yx+1，如图 1，过点P作x轴的垂线，交AB于点M，设P（m，m2+m），则M（m，m+1），PMm+1（m2+m）m2+，sPM（xBxA）（m2+）（+）m2+，s与m的函数关系式为sm2+；在sm2+中，当m0 时，s取最大值，P（0，），CP，SACQSABP，SAQB2SABP，可使直线AB向上平移 3 个单位长度，得直线yx+4，联立，解得，x13，x23，Q点坐标为（3，4+），（3，4）12某班“数学兴趣小组”对函数yx22|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m0 x3210123y3m10103（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，已画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（3）观察函数图象，写出一条函数的性质：图象关于y轴对称（答案不唯一）；（4）观察函数图象发现：若关于x的方程x22|x|a有 4 个实数根，则a的取值范围是1a0解：（1）当x2 时，y4220；故答案为：0（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示（3）观察函数图象，可得出：函数图象关于y轴对称，当x1 时，y随x的增大而增大，函数有最小值1故答案为：图象关于y轴对称（答案不唯一）；（4）由函数图象知：关于x的方程x22|x|a有 4 个实数根，a的取值范围是1a 0，故答案为：1a013如图，已知抛物线yx2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴上的一个动点，当PAC的周长最小时，直接写出点P的坐标和周长最小值；（3）为抛物线上一点，若SQAB8，求出此时点Q的坐标解：（1）抛物线yx2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点，解得，抛物线的解析式为yx22x3；（2）连接BC交抛物线的对称轴与点Pyx22x3，C（0，3），点A与点B关于x1 对称，PAPBAP+PCCP+PB当点P、C、B在一条直线上时，AP+PC有最小值又BC为定值，当点P、C、B在一条直线上时，APC的周长最小BC3，AC，PAC的周长最小值为：AC+BC+3，设直线BC的解析式为ykx+b，则，解得：k1，b3直线AD的解析式为yx3将x1 代入yx3 得：y2，点P的坐标为（1，2），即当点P的坐标为（1，2）时，PAC的周长最小最小值为+3；（3）设Q（x，y），则SQABAB|y|2|y|8，|y|4，y4当y4 时，x22x34，解得：x112，x21+2，此时Q点坐标为（12，4）或（1+2，4）；当y4 时，x22x34，解得x3x41；此时Q点的坐标为（1，4）；综上所述，Q点坐标为（12，4）或（1+2，4）或（1，4）14 如图，直线yx+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线yx2+bx+c与直线yx+5 交于B，D两点，点C是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使BDQ中BD边上的高为3，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由解：（1）yx+5，令x0，则y5，令y0，则x5，故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），则二次函数表达式为：yx2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b4，故抛物线的表达式为：yx2+4x+5；（2）设M点横坐标为m（m0），则P（m，m+5），M（m，m2+4m+5），PMm2+4m+5（m+5）m2+5m（m）2+，当m时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，作QHBD于H，设Q（x，x2+4x+5），则G（x，x+5），QG|x2+4x+5（x+5）|x2+5x|，BOD是等腰直角三角形，DBO45，HGQBGE45，当BDQ中BD边上的高为 3时，即QHHG3，QG36，|x2+5x|6，当x2+5x6 时，解得x2 或x3，Q（2，9）或（3，8），当x2+5x6 时，解得x1 或x6，Q（1，0）或（6，7），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（1，0），Q4（4，5）15如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+的图象与x轴交于B（1，0）、C（3，0）两点，点A为抛物线的顶点，F为线段AC中点（1）求a，b的值；（2）求证：BFAC（3）以抛物线的顶点A为圆心，AF为半径作A点E是圆上一动点，点P为EC的中点（如图 2）当ACE面积最大时，求PB的长度；若点M为BP的中点，求点M运动的路径长解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3）a（x22x3），即3a，解得：a，抛物线的表达式为：yx2+x+，故b；（2）点A的坐标为：（1，2），则ABABBC4，点F是AC的中点，AFAC2，BFAC；（3）点C（3，0），点B（1，0），设点E（m，n），由AE2，根据两点间距离公式得：（m1）2+（n2）24，则点P（，），点M（，），设：x，y，则m4x1，n4y，即点M（x，y），将m、n的值代入式得：（4x1）2+（4y2）24，整理得：（x）2+（y）2，即点M到定点（，）的距离等于定值，故点M运动的轨迹为半径为 的圆，则点M运动的路径长为（）2