离散型随机变量及其分布列,高考历年真题23580.pdf

.温馨提示：高考题库为 Word 版，请按住 Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节适宜的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点 34】离散型随机变量及其分布列 2009 年考题 1、2009 高考离散型随机变量X的分布列如右表 假设0EX，1DX，则a，b 【解 析】由 题 知1211cba，061ca，1121211222ca，解得125a，41b.答案：125a，41b.2、2009 高考*学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为世博会志愿者，假设用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E_结果用最简分数表示.【解析】可取 0，1，2，因此 P021102725CC，P12110271215CCC，P22112722CC，E0211221101211047.答案：47 3、2009 高考在*校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停顿投篮，否则投第三次，*同学在 A 处的命中率 q1为 0.25，在 B 处的命中率为 q2，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用表示该同学投篮训练完毕后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4（1）求 q2的值；（2）求随机变量的数学期望 E;（3）试比拟该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。*-1 0 1 2 P a b c 112.【解析】1设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且P(A)=0.25,()0.75P A,P(B)=q2,2()1P Bq.根据分布列知:=0 时22()()()()0.75(1)P ABBP A P B P Bq=0.03,所以210.2q，q2=0.8.2当=2 时,P1=)()()(BBAPBBAPBBABBAP)()()()()()(BPBPAPBPBPAP=0.75 q2(21q)2=1.5 q2(21q)=0.24 当=3 时,P2 =22()()()()0.25(1)P ABBP A P B P Bq=0.01,当=4 时,P3=22()()()()0.75P ABBP A P B P Bq=0.48,当=5 时,P4=()()()P ABBABP ABBP AB 222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P BP A P Bqqq=0.24 所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量的数学期望0 0.032 0.243 0.014 0.485 0.243.63E 3该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为()P BBBBBBBB()()()P BBBP BBBP BB222222(1)0.896q qq;该同学选择 1中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大.4、2009*高考在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件，求：I 取出的 3 件产品中一等品件数*的分布列和数学期望；II 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。【解析】由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为310C，从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的结果数为CCkk373，则从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的概率为 P(*=k)=CCCkk310373,k=0,1,2,3.所以随机变量*的分布列是.*0 1 2 3 P 247 4021 407 1120*的数学期望E*=109120134072402112470 设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数为事件 A，“恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品为事件 A1“恰好取出 2 件一等品“为事件 A2，恰好取出 3 件一等品为事件 A3由于事件 A1，A2，A3彼此互斥，且 A=A1A2A3而,403)(31023131CCCAPP(A2)=P(*=2)=407,P(A3)=P(*=3)=1201,所 以 取 出 的 3 件 产 品 中 一 等 品 件 数 多 于 二 等 品 件 数 的 概 率 为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=403+407+1201=12031 5、2009高考在1,2,3,9这9个自然数中，任取3个数 I求这3个数中恰有1个是偶数的概率；II设为这3个数中两数相邻的组数例如：假设取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数 1,2和2,3，此时的值是2 求随机变量的分布列及其数学期望E【解析】I记“这 3 个数恰有一个是偶数为事件 A，则12453910()21C CP AC；II随机变量的取值为0,1,2,的分布列为 0 1 2 P 512 12 112 所以的数学期望为5112012122123E 6、2009 高考*人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为 13。该目标分为 3 个不同的局部，第一、二、三局部面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一局部的概率与其面积成正比。设*表示目标被击中的次数，求*的分布列；假设目标被击中 2 次，A表示事件“第一局部至少被击中 1 次或第二局部被击中 2 次，求PA 【解析】依题意*的分列为 6 分 设 A1表示事件“第一次击中目标时，击中*.第 i 局部，i=1，2.B1表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 局部，i=1，2.依题意知 PA1=P(B1)=0.1，PA2=P(B2)=0.3，11111122AA BABABA B,所求的概率为11111122()()()()P AP A BP ABP ABP A B（）0.1 0.90.9 0.1 0.1 0.1 0.3 0.30.28 12 分 7、2009 高考从集合1,2,3,4,5的所有非空子集中，等可能地取出一个。（1）记性质r：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；（2）记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E【解析】1记所取出的非空子集满足性质 r为事件 A 根本领件总数 n=123555CCC4555CC=31 事件 A 包含的根本领件是1,4,5、2，3，5、1，2，3，4 事件 A 包含的根本领件数 m=3 所以3()31mp An II依题意，的所有可能取值为 1，2，3，4，5 又155(1)3131Cp，2510(2)3131Cp，3510(3)3131Cp 455(4)3131Cp，551(5)3131Cp 故的分布列为：1 2 3 4 5 P 531 1031 1031 531 131 从而 E1 531+21031+31031+4531+51803131 8、2009 高考*地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区.B 肯定是受 A 感染的.对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感 染的概率都是12.同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D 中直接 受 A 感染的人数*就是一个随机变量.写出*的分布列(不要求写出计算过程),并求*的均值即数学期望.【解析】随机变量*的分布列是.*1 2 3 P 13 12 16*的均值为111111233266EX 附：*的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是16：ABCD ABC D ABC D ABD C ACD B 在情形和之下，A 直接感染了一个人；在情形、之下，A 直接感染了两个人；在情形之下，A 直接感染了三个人。9、2009 全国甲、乙二人进展一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛完毕，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。I求甲获得这次比赛胜利的概率；II设表示从第 3 局开场到比赛完毕所进展的局数，求得分布列及数学期望。【解析】1记iA表示事件：第i局甲获胜，3,4,5i；jB表示事件：第j局乙获胜，3,4j B表示事件：甲获胜，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲获胜 2 局，从而34345345BA AB A AA B A，由于各局比赛结果相互独立，故34345345()()()()P BP A AP B A AP A B A 2的取值可以为 2，3，由于各局比赛结果相互独立，故343434343434(2)()()()()()()()PP A AB BP A AP B BP A P AP B P B 所以随机变量的分布列为 2 3 P 0.52 0.48 随机变量的数学期望2(2)3(3)2 0.523 0.482.48EPP 10、2009 高考*学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红.灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2min.求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【解析】设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯，所以事件 A 的概率为 11141133327P A .由题意，可得可能取的值为 0，2，4，6，8单位：min.事件“2k等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯k 0，1，2，3，4，441220,1,2,3,433kkkPkCk ，即的分布列是 0 2 4 6 8 P 1681 3281 827 881 181 的期望是163288810246881812781813E .11、2009 高考一个盒子里装有 4 大小形状完全一样的卡片，分别标有数 2，3，4，5；另一个盒子也装有 4 大小形状完全一样的卡片，分别标有数 3，4，5，6。现从一个盒子中任取一卡片，其上面的数记为*；再从另一盒子里任取一卡片，其上面的数记为 y，记随机变量x y，求的分布列和数学期望。【解析】依题意，可分别取5、6、11取，则有 的分布列为 5 6 7 8 9 10 11 p 116 216 316 416 316 216 116 1234321567891011816161616161616E .12、2009 高考为拉动经济增长，*市决定新建一批重点工程，分别为根底设施工程、民生工程和产业建立工程三类，这三类工程所含工程的个数分别占总数的.12、13、16，现在 3 名工人独立地从中任选一个工程参与建立。I求他们选择的工程所属类别互不一样的概率；.II记为 3 人中选择的工程属于根底设施工程、民生工程和产业建立工程的人数，求 的分布列及数学期望。【解析】记第 i 名工人选择的工程属于根底设施工程、民生工程和产业建立工程分别为事件iA,iB,iC，i=1，2，3.由题意知1A23A A相互独立，1B23B B相互独立，1C23C C相互独立，iA,jB,kCi，j，k=1，2，3，且 i，j，k 互不一样相互独立，且 P1A=12，P1B=13，P1C=16（1）他们选择的工程所属类别互不一样的概率 P=3！P1A2B3C=6P1AP2BP3C=6121316=16(2)方法 1 设 3 名工人中选择的工程属于民生工程的人数为，由，-B3，13，且=3-。所以 P=0=P=3=33C31()3=127，P=1=P=2=23C31()32()3=29 P=2=P=1=13C1()322()3=49 P=3=P=0=03C32()3=827 故的分布是 0 1 2 3 P 127 29 49 827 的数学期望 E=0127+129+249+3827=2 方法 2 第 i 名工人选择的工程属于根底工程或产业工程分别为事件iD，i=1,2,3，由此，123DDD，相互独立，且 P1D=P1A+1C=P1A+P1C=12+16=23 所以-2(3,)3B,既3321()()()33KKKPKC，0,1,2,3.k 故的分布列是 0 1 2 3 p 127 29 49 827 13、2009 高考*公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进展评审假设评审结果为“支持或“不支持的概率都是12.假设*人获得两个“支持，则给予 10万元的创业资助；假设只获得一个“支持，则给予 5 万元的资助；假设未获得“支持，则不予资助，.令表示该公司的资助总额 (1)写出的分布列；(2)求数学期望E【解析】1的所有取值为0,5,10,15,20,25,30 2315515315101520253015326416643264E.14、2009 高考*食品企业一个月被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：0 1 2 3 p 0.1 0.3 2a a()求 a 的值和的数学期望；假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月共被消费者投诉 2 次的概率。【解析】1由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1，解答 a=0.2 的概率分布为 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 2设事件 A 表示“两个月共被投诉 2 次事件1A表示“两个月有一个月被投诉 2 次，另外一个月被投诉 0 次；事件2A表示“两个月每月均被投诉 1 次 则由事件的独立性得 故该企业在这两个月共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17 15、2009 高考为振兴旅游业，省 2009 年面向国发行总量为 2000 万的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡简称金卡，向省人士发行的是熊猫银卡简称银卡。*旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省游客。在省外游客中有13持金卡，在省游客中有23持银卡。I在该团中随机采访3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；II在该团的省游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望.E。【解析】由题意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省游客有 9 人，其中 6 人持银卡。设事件B为“采访该团 3 人中，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人，事件1A为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，0 人持银卡，事件2A为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，1 人持银卡。所以在该团中随机采访 3 人，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是3685。6 分 的可能取值为 0，1，2，3 33391(0)84CPC,1263393(1)14C CPC 21633915(2)28C CPC，363915(3)21CPC，所以的分布列为 0 1 2 3 P 184 314 1528 521 所以131550123284142821E ，12 分 16、2009 高考*单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中：两种大树各成活 1 株的概率；成活的株数的分布列与期望【解析】设kA表示甲种大树成活 k 株，k0，1，2 lB表示乙种大树成活l株，l0，1，2 则kA，lB独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()()()33kkkkkP AC,12211()()()22lllkP BC.据此算得.01()9P A,14()9P A ,24()9P A.01()4P B,11()2P B,21()4P B.()所求概率为 1111412()()()929P ABP AP B.()方法一：的所有可能值为 0，1，2，3，4，且 0000111(0)()()()9436PP ABP AP B,011011411(1)()()92946PP ABP AB,=1336,122141411(3)()()94923PP ABP AB.22411(4)()949PP AB.综上知有分布列 0 1 2 3 4 P 1/36 1/6 13/36 1/3 1/9 从而，的期望为 方法二：分布列的求法同上 令12，分别表示甲乙两种树成活的株数，则 故有121EE 241=2=，2332 从而知1273EEE 2008 年考题 1、2008 高考甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人答复一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中 3 人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分 求随机变量分布列和数学期望；()用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分这一事件，求P(AB)【解析】()解法一：由题意知，的可能取值为 0，1，2，3,且.所以的分布列为 0 1 2 3 P 271 92 94 278 的数学期望为E=.227839429212710 解法二：根据题设可知2(3,)3B 方法一：用C表示“甲得 2 分乙得 1 分这一事件，用D表示“甲得 3 分乙得 0 分这一事件，所以AB=CD,且C、D互斥，又 由互斥事件的概率公式得 方法二：用 Ak表示“甲队得k分这一事件，用Bk表示“已队得k分这一事件，k=0,1,2,3 由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事件 P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1)=232132232221121112()()()3323232334.243kkCC 2、2008 高考随机抽取*厂的*种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20件、次品 4 件生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2万元设 1 件产品的利润单位：万元为 1求的分布列；2求 1 件产品的平均利润即的数学期望；3经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 473 万元，则三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有 6，2，1，-2；126(6)0.63200P，50(2)0.25200P 20(1)0.1200P，4(2)0.02200P 故的分布列为：031233223333321222(0)(1),(1)(1),32733922428(2)()(1),(3)().339327PCPCPCPC.6 2 1-2 P 063 025 01 002 26 0.632 0.251 0.1(2)0.024.34E 3设技术革新后的三等品率为x，则此时 1 件产品的平均利润为 依题意，()4.73E x，即4.764.73x，解得0.03x 所以三等品率最多为3%3、2008 高考AB，两个投资工程的利润率分别为随机变量*1和*2根据市场分析，*1和*2的分布列分别为 *1 5 10 08 02 在AB，两个工程上各投资 100 万元，Y1和Y2分别表示投资工程A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；将(0100)xx万元投资A工程，100 x万元投资B工程，()f x表示投资A工程所得利润的方差与投资B工程所得利润的方差的和求()f x的最小值，并指出*为何值时，()f x取到最小值 注：2()D aXba DX【解析】由题设可知1Y和2Y的分布列分别为 Y1 5 10 P 08 02 15 0.810 0.26EY ，221(56)0.8(106)0.24DY，22 0.28 0.5120.38EY ，2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY 12100()100100 xxf xDYDY2212100100100 xxDYDY 22243(100)100 xx2224(46003 100)100 xx，当600752 4x 时，()3f x 为最小值 4、2008 全国购置*种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，假设投保人在购置保险的*2 2 8 12 P 02 05 03 Y2 2 8 12 P 02 05 03.一年度出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度有 10 000 人购置了这种保险，且各投保人是否出险相互独立保险公司在一年度至少支付赔偿金 10 000 元的概率为4101 0.999 求一投保人在一年度出险的概率p；设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的本钱为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费单位：元 【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的 10 000 人中出险的人数为，则4(10)Bp，记A表示事件：保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金，则A发生当且仅当0，()1()P AP A 1(0)P 4101(1)p，又410()1 0.999P A ，故0.001p 该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与本钱的和 支出 10 00050 000，盈利 10 000(10 00050 000)a，盈利的期望为 10 00010 00050 000EaE，由43(10 10)B，知，310 000 10E，44410105 10EaE 44434101010105 10a 1050a15a元 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 5、2008 高考甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到ABCD，四个不同的岗位效劳，每个岗位至少有一名志愿者 求甲、乙两人同时参加A岗位效劳的概率；求甲、乙两人不在同一个岗位效劳的概率；设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位效劳的人数，求的分布列【解析】记甲、乙两人同时参加A岗位效劳为事件AE，则3324541()40AAP EC A，即甲、乙两人同时参加A岗位效劳的概率是140.记甲、乙两人同时参加同一岗位效劳为事件E，则4424541()10AP EC A，所以，甲、乙两人不在同一岗位效劳的概率是9()1()10P EP E 随机变量可能取的值为 1，2事件“2是指有两人同时参加A岗位效劳，则235334541(2)4C APC A 所以3(1)1(2)4PP，的分布列是 1 2 P 34 14 6、2008 高考 设进入*商场的每一位顾客购置甲种商品的概率为0.5，购置乙种商品的概率为0.6，且购置甲种商品与购置乙种商品相互独立，各顾客之间购置商品也是相互独立的。求进入商场的 1 位顾客购置甲、乙两种商品中的一种的概率；求进入商场的 1 位顾客至少购置甲、乙两种商品中的一种的概率；记表示进入商场的 3 位顾客中至少购置甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。【解析】记A表示事件：进入商场的 1 位顾客购置甲种商品，记B表示事件：进入商场的 1 位顾客购置乙种商品，记C表示事件：进入商场的 1 位顾客购置甲、乙两种商品中的一种，记D表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购置甲、乙两种商品中的一种，CA BA B DA B 3,0.8B，故的分布列 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以=00.008+10.096+20.384+30.512=2.4 7、2008*高考甲、乙两个篮球运发动互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球 2.次均未命中的概率为161 求乙投球的命中率p；求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；假设甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率【解析】方法一：设“甲投球一次命中为事件 A，“乙投球一次命中为事件 B 由题意得 1611122pBP 解得43p或45舍去，所以乙投球的命中率为43 方法二：设设“甲投球一次命中为事件 A，“乙投球一次命中为事件 B 由题意得1()()16P B P B，于是1()4P B 或1()4P B 舍去，故31()4pP B 所以乙投球的命中率为34 方法一：由题设和知 21,21APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为431AAP 方法二：由题设和知 21,21APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 4312APAPAPAPC 由题设和知，41,43,21,21BPBPAPAP 甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中 2 次。概率分别为 1631212BPBPCAPAPC，641BBPAAP，649BBPAAP 所以甲、乙两人各投两次，共命中 2 次的概率为3211649641163 8、2008 高考)为防止风沙危害，*地决定建立防护绿化带，种植树、沙柳等植物。*人一次种植了 n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 p，设为成活沙柳的株数，数学期望3E，标准差为62。求 n,p 的值并写出的分布列；假设有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率【解析】(1)由233,()(1),2Enpnpp得112p,.从而16,2np 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 P 164 664 1564 2064 1564 664 164(2)记需要补种沙柳为事件 A,则()(3),P AP 得 16 152021(),6432P A 或 156 121()1(3)16432P AP 9、2008 高考*柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；假设实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是0.5、0.5.假设实施方案二，预计当年可以使柑桔产量到达灾前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令(1,2)ii表示方案i实施两年后柑桔产量到达灾前产量的倍数 1 写出12、的分布列；2 实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？3 不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益 10 万元；两年后柑桔产量恰好到达灾前产量，预计可带来效益 15 万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益 20 万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【解析】11的所有取值为0.8 0.9 1.0 1.125 1.25、2的所有取值为0.8 0.96 1.0 1.2 1.44、,1、2的分布列分别为：1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 2 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.0.8 2令 A、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，()0.150.150.3P A,()0.240.080.32P B 可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 3令i表示方案i所带来的效益，则 1 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 2 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以1214.75,14.1EE 可见，方案一所带来的平均效益更大。10、2008 高考 袋中有 20 个大小一样的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上n号的有n个 n=1,2,3,4.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.求的分布列，期望和方差；假设ab,1E,11D,试求 a,b 的值.【解析】的分布列为：0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15 11131012341.5.22010205E D2222211131(01.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5)2.75.22010205 由Da D 2，得a22.7511，即2.a 又,EaEb 所以 当a=2 时，由 121.5+b,得b=-2;当a=-2 时，由 1-21.5+b，得b=4.2,2ab 或2,4ab 即为所求.11、2008 高考甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试.合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：至少有 1 人面试合格的概率;签约人数的分布列和数学期望.【解析】用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且PAPBPC12.至少有 1 人面试合格的概率是 的可能取值为 0，1，2，3.()()()()()()()()()P A P B P CP A P B P CP A P B P C3331113()()().2228 =()()()()()()()()()P A P B P CP A P B P CP A P B P C=3331113()()().2228 所以，的分布列是 0 1 2 3 P 38 38 18 18 的期望331101231.8888E 12、2008 高考*射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得4 i(12 3)i ，分，3 次均未击中目标得 0 分*射手每次击中目标的概率为 0.8，其各次射击结果互不影响 求该射手恰好射击两次的概率；该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望【解析】设该射手第i次击中目标的事件为(12 3)iA i ，则()0.8()0.2iiP AP A，该射手恰好设计两次的概率：()()()0.2 0.80.16iiiiP AAP A P A 可能取的值为 0，1，2，3 的分布列为.00.0081 0.03220.163 0.82.752E .13、2008 高考甲、乙、丙三人按下面的规则进展乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进展比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进展到其中一人连胜两局或打满 6 局时停顿.设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立.求：打满 3 局比赛还未停顿的概率；比赛停顿时已打局数的分别列与期望E.【解析】令,kkkA B C分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满 3 局比 赛还未停顿的概率为 的所有可能值为 2，3，4，5，6，且 故有分布列 从而111114723456248161616E 局.14、2008 高考*项考试按科目A、科目B依次进展，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.每个科目只允许有一次补考时机，两个科目成绩均合格方可获得证书.现*人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.求他不需要补考就可获得证书的概率；在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试时机，记他参加考试的次数为，求的数学期望 E.【解析】设“科目A第一次考试合格为事件A，“科目A补考合格为事件A2；“科目B第一次考试合 0 1 2 3 P 0.008 0.032 0.16 0.8 2 3 4 5 6 P 12 14 18 116 116.格为事件B，“科目B补考合格为事件B2.()不需要补考就获得证书的事件为A1B1,注意到A1与B1相互独立，则1111211()()()323P A BP AP B.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.()由得，2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 故4418234.9993E 答：该考生参加考试次数的数学期望为83.15、2008 高考一个袋中有假设干个大小一样的黑球、白球和红球。从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是97。假设袋中共有 10 个球，i求白球的个数；ii从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望E。求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于107。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。【解析】i记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球为事件A，设袋中白球的个数为x，则2102107()19xCP AC，得到5x 故白球有 5 个 ii随机变量的取值为 0，1，2，3，分布列是 0 1 2 3 P 112 512 512 112 的数学期望155130123121212122E 证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得25yn，所以2yn，21yn，故112yn 记“从袋中任意摸出两个球，至少有 1 个黑球为事件B，则23()551yP Bn231755210 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n，红球的个数少于5n故袋中红球个数最少 16、2008 高考*批发市场对*种商品的周销售量单位：吨进展统计，最近 100 周的统计结果如下表.所示：周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率；每吨该商品的销售利润为 2 千元，表示该种商品两周销售利润的和单位：千元 假设以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望【解析】周销售量为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2，0.5 和 0.3 的可能值为 8，10，12，14，16，且 P=8=0.22=0.04，P=10=20.20.5=0.2，P=12=0.52+20.20.3=0.37，P=14=20.50.3=0.3，P=16=0.32=0.09 的分布列为 8 10 12 14 16 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 E=80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4千元 2007 年考题 1、2007 高考随机变量服从正态分布2(2)N，(4)0.84P，则(0)P A0.16 B0.32 C0.68 D，0.84【解析】选 A.由22(4)(22)()0.84.PPP又 2222(0)(22)()1()0.16.PPPP 应选 A.2、2007 高考设随机变量服从标准正态分布(01)N，(1.96)0.025，则(|1.96)P=A0.025 B0.050 C0.950 D0.975【解析】选 C.服从标准正态分布(01)N，(|1.96)(1.961.96)PP 3、2007 高考以)(x表示标准正态总体在区间x,取值的概率，假设随机变量服从正态分布),(2N，则概率()P等于 A)()(B)1()1(.C)1(D)(2【解析】选 B.以)(x表示标准正态总体在区间x,取值的概率，假设随机变量服从正态分布),(2N，则概率()P=()()PP=()()=)1()1(，选 B。4、2007 全国在*项测量中，测量结果服从正态分布 N1，2 0，假设在0，1取值的概率为 0.4，则在0，2取值的概率为。【解析】在*项测量中，测量结果服从正态分布 N1，2 0，正态分布图象的对称轴为*=1，在0，1取值的概率为 0.4，可知，随机变量 在(1，2)取值的概率于在(0，1)取值的概率一样，也为 0.4，这样随机变量 在(0，2)取值的概率为 0.8。5、2007 高考两封信随机投入 A、B、C 三个空，则 A 的信件数 的数学期望_；【解析】的取值有 0，1，2，91)2(,949)1(,94922)0(1212pCCpp，所以E=32912941940