2021年中考数学热点冲刺1新定义型44681.pdf

12021 年中考数学热点冲刺 1 新定义型考向 1 定义新概念1.对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点 如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点 x1、x2，且 x11x2，则 c 的取值范围是（）Ac3Bc2C14c Dc1【答案】B【解析】当y=x时，x=x2+2x+c，即为x2+x+c=0，由题意可知：x1，x2是该方程的两个实数根，所以12121xxx xc ，x11x2，（x11）（x21）0，即 x1x2(x1x2)10，c(1)10，c2.又知方程有两个不相等的实数根，故0，即 124c0，解得：c14c 的取值范围为 c2.2一般地，如果 x4=a（a0），则称 x 为 a 的四次方根，一个正数 a 的四次方根有两个它们互为相反数，记为4a，若44m=10，则 m=_【答案】10【解析】44m=10，m4=104，m=10故答案为：103 对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab=（a+b）2（ab）2 若（m+2）（m3）=24，则 m=_【答案】3 或 4【解析】根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）2=24，（2m1）249=0，（2m1+7）（2m17）=0，2m1+7=0 或 2m17=0，所以 m1=3，m2=4故答案为：3 或 44.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形根据规定判断下面四个结论：正方形和菱形都是广义菱形；平行四边形是广义菱形；对角线互相垂直，且两组邻边分别相2等的四边形是广义菱形；若 M、N 的坐标分别为(0，1)，(0，1)，P 是二次函数 y=14x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线 y=1 于点 Q，则四边形 PMNQ 是广义菱形 其中正确的是（填序号）【答案】【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故错误；中的四边形PMNQ 满足 MNPQ，设 P(m，0)（m0），PM=2221(1)4mm=214m1，PQ=214m(1)=214m1，PM=PQ，故四边形 PMNQ 是广义菱形综上所述正确的是5定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰ABC中，A=80，则它的特征值 k=【答案】85或14【解析】当A 是顶角时，底角是 50，则 k=808505；当A 是底角时，则底角是 20，k=201804，故答案为：85或146.道德经中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等现在我们来研究另一种特珠的自然数“纯数”定义：对于自然数 n，在计算 n(n1)(n2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 n 为“纯数”，例如：32 是”纯数”，因为计算 323334 时，各数位都不产生进位；23 不是“纯数”，因为计算 232425 时，个位产生了进位（1）判断 2019 和 2020 是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于 100 的“纯数”的个数【答案】（1）2019 不是“纯数”，2020 是“纯数”，理由如下：在计算 201920202021 时，个位产生了进位，而计算 202020212022 时，各数位都不产生进位，2019 不是“纯数”，2020 是“纯数”（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为 0、1、2 时，不会产生进位；其他位的数字为 0、1、2、3 时，不会产生进位现分三种情况讨论如下：3当这个数为一位自然数时，只能是 0、1、2，共 3 个；当这个数为二位自然数时，十位只能为 1、2、3，个位只能为 0、1、2，即 10、11、12、20、21、22、30、31、32 共 9 个；当这个数为 100 时，易知 100是“纯数”综上，不大于 100 的“纯数”的个数为 391=137.定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图 1,在ABC 中,AB=AC,AD 是ABC 的角平分线,E,F 分别是 BD,AD 上的点.求证:四边形 ABEF 是邻余四边形;(2)如图2,在54的方格纸中,A,B 在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB 是邻余线,E,F 在格点上;(3)如图 3,在(1)的条件下,取 EF 中点 M,连接 DM 并延长交 AB 于点 Q,延长 EF 交 AC 于点 N.若 N 为 AC 的中点,DE=2BE,求邻余线 AB 的长.【答案】：(1)AB=AC,AD 是ABC 的角平分线,ADBC,ADB=90,DAB+DBA=90,FAB 与EBA 互余.四边形 ABEF 是邻余四边形;(2)如图所示,四边形 ABEF 即为所求.(答案不唯一)(3)AB=AC,AD 是ABC 的角平分线,BD=CD,DE=2BE,BD=CD=3BE,CE=CD+DE=5BE.EDF=90,M 为 EF 的中点,DM=ME.MDE=MED.AB=AC,B=C,DBQECN,35QBBDNCCE,QB=3,NC=5,AN=CN,AC=2CN=10,AB=AC=10.8.箭头四角形模型规律，如图1，延长 CO 交 AB 于点 D，则BOC=1+B=A+C+B.因为凹四边形 ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC=A+C+B”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”模型应用：4.（1）直接应用：如图 2，A+B+C+D+E+F=_如图 3，ABE、ACE 的 2 等分线（即角平分线）BF、CF 交于点 F，已知BEC=120BAC=50，则BFC=_.如图 4，BO1、CO2分别为ABO、ACO 的 2019 等分线（i=1，2，3，2017，2018），它们的交点从上到下依次为 O1，O2，O3，O2018.已知BOC=m，BAC=n，则BO1000C=_度（2）拓展应用：如图 5，在四边形 ABCD 中，BC=CD，BCD=2BAD.O 是四边形 ABCD 内的一点，且 OA=OB=OD.求证：四边形 OBCD 是菱形.【答案】（1）A+B+C=，D+E+F=A+B+C+D+E+F=2BEC=A+ABC+ACBBFC=A+21ABC+21ACB，BEC=120BAC=5021BEC=21A+21ABC+21ACB60=25+21ABC+21ACB21ABC+21ACB=35BFC=A+21ABC+21ACB=5035=85BFC=85nm2019101920191000（2）证明：（1）如图，延长AO到E，OA=OB，ABO=BAO.5又BOE=ABO+BAO，BOE=2BAO，同理DOE=2DAO，BOE+DOE=2BAO+2DAO=2（BAO+DAO），即BOD=2BAD.又BCD=2BAD，BOD=BCD.（2）如图，连接OC，OB=OD，CB=CD，OC=OC，OBC ODC，OBC=OD C.又BOD=BCD，四边形OBCD 是平行四边形.又OB=OD，四边形OBCD 是菱形.9.如图，平面内的两条直线1l、2l，点A，B在直线1l上，点C、D在直线2l上，过A、B两点分别作直线2l的垂线，垂足分別为1A，1B，我们把线段11AB叫做线段AB在直线2l上的正投影，其长度可记作(,)AB ADT或2(,)ABlT，特别地线段AC在直线2l上的正投影就是线段1AC请依据上述定义解决如下问题：（1）如图 1，在锐角ABC中，5AB，(,)3AC ABT，则(,)BC ABT；（2）如图 2，在Rt ABC中，90ACB，(,)4AC ABT，(,)9BC ABT，求ABC的面积；（3）如图 3，在钝角ABC中，60A ，点D在AB边上，90ACD，(,)2AD ACT，(,)6BC ABT，求(,)BC CDT，6【答案】（1）如图 1 中，作CH AB(,)3AC ABT，3AH，5AB，532BH ，(,)2BC ABTBH，故答案为 2（2）如图 2 中，作CH AB于H(,)4ACABT，(,)9BC ABT，4AH，9BH，90ACB CHA CHB ，90AACH ，90ACH BCH ，ABCH ，ACH CBH，CH AHBH CH，49CHCH，6CH，111363922ABCSAB CH （3）如图 3 中，作CH AD于H，BK CD于K90ACD，(,)2ADACT，2AC，60A ，30ADC BDK ，32 3CDAC，24ADAC，112AHAC，3DH AD AH，7(,)6BC ABT，CHAB，6BH，3DBBH DH，在Rt BDK中，90K ，3BD，30BDK，3 3cos302DKBD，3 37 32 322CKCDDK，(,)7 32BC CDTCK.考向 2定义新运算1.已知有理数 a1，我们把11 a称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是11 2=1，1 的差倒数是111(1)2 如果 a1=2，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3的差倒数，依此类推，那么 a1a2a100的值是（）A7.5B7.5C5.5D5.5【答案】A【解析】由题意知：a2=11(2)=13；a3=1113=32，a4=1312=2；a5=11(2)=13；可知经过 3 次开始循环，所以 a1a2a100=21332213322=13326 =7.52.定义一种新运算：abn=nnab-，例如：132=2213-=19=8，若51mm-=2，则 m=（）A2B52C2D52【答案】B【解析】由题意得1m-()15m-=1m15m=2，则 m=52，故选 B3.（2019襄阳）定义：a*b=ab，则方程 2*(x3)=1*(2x)的解为_【答案】x=1【解析】本题考查了可化为一元一次的分式方程的解法.按新定义可知：32)3(2xx，xx21)2(1，可得方程xx2132，解得 x=1，经检验此解为方程的根4.对于实数 a、b，定义关于的一种运算：ab=2a+b.例如 34=23+4=10.(1)求 4(3)的值；8(2)若 x(y)=2，(2y)x=1，求 x+y 的值.【答案】(1)根据题意得：4(3)=24+(3)=5.(2)x(y)=2，(2y)x=1,2x+(y)=2,22y+x=1,解这个二元一次方程组,得,x=79,y=49,x+y=135.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用M a，b，c表示这三个数的平均数，用min a，b，c表示这三个数中最小的数例如：1M，2，129943，1min，2，33 ，3min，1，11请结合上述材料，解决下列问题：（1）2(2)M，22，22；sin30min，cos60，tan45；（2）若 2Mx，2x，32，求x的值；（3）若32minx，13x，55 ，求x的取值范围【答案】（1）43；12；（2）1x 或 3；（3）-2x4【解析】解：（1）2(2)M，22，2222(2)2242 33；sin30min，cos60，1tan45 2；（2）)2Mx，2x，32，22323xx，解得1x 或 3；（3）32minx，13x，55 ，解得：-2x4.6.若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c（1）解方程填空：若2x3x=45，则x=；若7y8y=26，则y=；若93t5 8t=131 t，则t=；（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mnnm一定能被整除，mnnm一定能被整除，mnnmmn一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚，数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”9该“卡普雷卡尔黑洞数”为；设任选的三位数为abc（不妨设abc），试说明其均可产生该黑洞数【答案】（1）t=7；（2）mn一定被11整除；mnnm一定被9整除；mnnmmn一定能被10整除；（3）反复运算可得495；证明过程见解析.【解析】解：（1）mn=10m+n，2x3x=45=20+x+10 x+3=11 x+23=45，得x=2，同理可得y=4，t=7；（2）mnnm=10m+n+10n+m=11（m+n）故一定被11整除；同理mnnm一定被9整除；mnnmmn一定能被10整除；（3）反复运算可得495；abc，第一次运算得到100a+10b+c（100c+10b+a）=99（ac），可以看出结果必为99的倍数，abc，ab1，bc1，即ab1c2，ac2，9ac，ac9，则ac=2，3，4，5，6，7，8，9，第一次运算得到99（ac）可以是198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字依据“卡普雷卡尔黑洞数”的推算规则进行运算，分别可以得到：981198=792，972279=693，963369=594，954459=495，954459=495，以后均重复运算，故可以得到该黑洞数为495考向 3定义新函数1.若二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象的顶点在一次函数 y=kx+t（k0）的图象上，则称 y=ax2+bx+c（a0）为 y=kx+t（k0）的伴随函数，如：y=x2+1 是 y=x+1 的伴随函数（1）若 y=x24 是 y=x+p 的伴随函数，求直线 y=x+p 与两坐标轴围成的三角形的面积.（2）若函数 y=mx3（m0）的伴随函数 y=x2+2x+n 与 x 轴两个交点间的距离为 4，求 m，n 的值【答案】（1）y=x24，其顶点坐标为（0，4），y=x24 是 y=x+p 的伴随函数，（0，4）在一次函数 y=x+p 的图象上，4=0+pp=4，一次函数为：y=x4，一次函数与坐标轴的交点分别为（0，4），（4，0），直线 y=x+p 与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|4|=4，直线 y=x+p 与两坐标轴围成的三角形的面积为：124 4=8（2）设函数 y=x2+2x+n 与 x 轴两个交点的横坐标分别为 x1，x2，则 x1+x2=2，x1x2=n，|x1x2|=(x1+x2)24x1x2=4 4n，函数 y=x2+2x+n 与 x 轴两个交点间的距离为 4，4 4n=4，解得，n=3，函数 y=x2+2x+n 为：y=x2+2x3=（x+1）24，其顶点坐标为（1，4），y=x2+2x+n 是y=mx3（m0）的伴随函数，4=m3，m=1.2.阅读下面材料：如果函数 y=f(x)满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2，（1）若 x1x2，都有f(x1)f(x2)，则称 f(x)是增函数；（2）若 x1x2，都有 f(x1)f(x2)，则称 f(x)是减函数例题：证明函数10f(x)=6x(x0)是减函数证明：设 0 x1x2，f(x1)f(x2)=1266xx=21211212666.xxxxx xx x0 x1x2，x2x10，x1x2021126 xxx x0，即 f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，函数 f(x)=6x(x0)是减函数根据以上材料，解答下面的问题：已知函数 21f xxx（x0），22117110,22412ff （1）计算：f(3)=_，f(4)=_；（2）猜想：函数 21f xxx（x0）是_函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想【答案】（1）2212616333,4491634ff （2）增；（3）证明：设 x1x20，f(x1)f(x2)=22211212122222221212121111xxxxxxxxxxxxx x 2121212121222212121xxxxxxxxxxx xx x x1x20，x2x10，x12x220，x2x110，212122121xxxxx x 0，即 f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，函数 21f xxx是增函数3.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，边 OA，OC 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，把正方形 OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点点 P 为抛物线 y=（x2）2m2 的顶点（1）当 m=0 时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数（2）当 m=3 时，求该抛物线上的好点坐标（3）若点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8 个好点，求 m 的取值范围11【答案】（1）当 m=0 时，二次函数的表达式为 y=x22，画出函数图象（图 1），当 x=0 时，y=2；当 x=1 时，y=1；抛物线经过点（0，2）和（1，1）好点有：（0，0），（0，1），（0，2）（1，0）和（1，1）共 5 个（2）当 m=3 时，二次函数的表达式为 y=（x3）25，画出函数图象（图 2）.当 x=1 时，y=1；当 x=4 时，y=4.抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1）和（4，4）.（3）抛物线顶点 P 的坐标为（m，m2），点 P 在直线 y=x2 上由于点 P 在正方形内，则 0m2如图 3，点 E（2，1），F（2，2）当顶点 P 在正方形 OABC 内，且好点恰好存在 8 个时，抛物线与线段 EF 有交点（点 F 除外）当抛物线经过点 E（2，1）时，（2m）2m2=1，解得 m1=5132，m2=5132（舍去）当抛物线经过点 F（2，2）时，（2m）2m2=2，解得 m1=1，m2=4（舍去）当5132m1 时，点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点4.城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点 A（x1，y1）和 B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）=|x1x2|+|y1y2|12（1）已知点 A（2，1），则 d（O，A）=函数 y=2x+4（0 x2）的图象如图所示，B是图象上一点，d（O，B）=3，则点 B 的坐标是（2）函数 y=4x（x0）的图象如图所示求证：该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）=3（3）函数 y=x25x+7（x0）的图象如图所示，D 是图象上一点，求 d（O，D）的最小值及对应的点 D的坐标（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以 M 为起点，先沿 MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【答案】解：（1）由题意得：d（O，A）=|0+2|+|01|=2+1=3；设 B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0 x|+|0y|=3，0 x2，x+y=3，x+y=3y=2x+4，解得：x=1y=2，B（1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数 y=4x(x 0)的图象上存在点 C（x，y）使 d（O，C）=3，根据题意，得|x 0|+|4x0|=3，x0，4x0，|x 0|+|4x0|=x+4x，x+4x=3，x2+4=3x，x23x+4=0，=b24ac=70，方程 x23x+4=0 没有实数根，该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）=3（3）设 D（x，y），根据题意得，d（O，D）=|x0|+|x25x+70|=|x|+|x25x+7|，x25x+7=(x 52)2+340，又 x0，13d（O，D）=|x|+|x25x+7|=x+x25x+7=x24x+7=（x2）2+3，当 x=2 时，d（O，D）有最小值 3，此时点 D 的坐标是（2，1）（4）如图，以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 y=x 的图象沿 y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为 E，过点 E 作 EHMN，垂足为 H，修建方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建到 E 处理由：设过点 E 的直线 l1与 x 轴相交于点F在景观湖边界所在曲线上任取一点 P，过点 P 作直线 l2l1，l2 与 x 轴相交于点 GEFH=45，EH=HF，d（O，E）=OH+EH=OF，同理 d（O，P）=OG，OGOF，d（O，P）d（O，E），上述方案修建的道路最短5.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满是x=3ac，y=3bd，那么称点T是点A，B的融合点.例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x=143=1，y=8(2)3=2时.则点T（1，2）是点A，B的融合点.（1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）.请说明其中一个点是另外两个点的融合点.（2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点.14试确定y与x的关系式.若直线ET交x轴于点H，当DTH为直角三角形时，求点E的坐标.【答案】（1）1 73=2，573=4，点C（2，4）是点A.B的融合点。（2）由融合点定义知x=33t，得t=3x-3.4分又y=0(23)3t，得t=332y3x-3=332y，化简得y=2x-1.要使DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：（）当THD=90时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）.由点T是点D，E的融合点，可得m=33m或2m-1=(23)03m 解得m=32，点E1（32，6）.（）当TDH=90时，如图2所示，则点T为（3，5）.由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）.（）当HTD=90时，该情况不存在.综上所述，符合题意的点为E1（32，6），E2（6，15）.