辽宁省大连市普兰店市第三中学2023学年高考数学倒计时模拟卷(含解析)35088.pdf

2023 学年高考数学模拟测试卷 考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知等差数列 na的前n项和为nS，若816S，61a，则数列 na的公差为（）A32 B32 C23 D23 2设i是虚数单位，复数1 ii（）A1i B-1 i C1i D1 i 3已知函数 xf xa（0a，且1a）在区间,2mm上的值域为,2mm，则a（）A2 B14 C116或2 D14或 4 4已知向量11,2abm，若 abab，则实数m的值为（）A12 B32 C12 D32 5如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取31.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A20 B27 C54 D64 6已知实数x，y满足约束条件202201xyxyx，则目标函数21yzx的最小值为 A23 B54 C43 D12 7某大学计算机学院的薛教授在 2019 年人工智能方向招收了 6 名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这 6 名研究生不同的分配方向共有（）A480 种 B360 种 C240 种 D120 种 8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A1112 B6 C112 D223 9已知双曲线C：2214xy，1F，2F为其左、右焦点，直线l过右焦点2F，与双曲线C的右支交于A，B两点，且点A在x轴上方，若223AFBF，则直线l的斜率为()A1 B2 C1 D2 10设点P是椭圆2221(2)4xyaa上的一点，12FF，是椭圆的两个焦点，若124 3FF，则12PFPF（）A4 B8 C4 2 D4 7 11已知函数 1sin,13222,3100 xxf xf xx，若函数 f x的极大值点从小到大依次记为12,?na aa，并记相应的极大值为12,?nb bb，则1niiiab的值为（）A5022449 B5022549 C4922449 D4922549 12已知复数z，满足(34)5zii，则z（）A1 B5 C3 D5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 i 为虚数单位，复数11 iz，则z_ 14已知4sin25，那么tansin_.15平行四边形ABCD中，60,4,2BADABAD，E为边CD上一点（不CD、与重合），将平行四边形ABCD沿BE折起，使五点,A B C D E均在一个球面上，当四棱锥CABED体积最大时，球的表面积为_.16已知双曲线C：22221xyab（0a，0b），直线l：4xa与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点.若OAB（点O为坐标原点）的面积为 32，且双曲线C的焦距为2 5，则双曲线C的离心率为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在ABC中，4ABC，D是边BC上一点，且5AD，3cos5ADC.（1）求BD的长；（2）若ABC的面积为 14，求AC的长.18（12 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22xmym(m为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sincos10.（）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（）已知点2,1,P设直线l与曲线C相交于,M N两点，求11PMPN的值.19（12 分）（某工厂生产零件 A，工人甲生产一件零件 A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为1 1 1,4 2 4，工人乙生产一件零件 A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为1 1 1,3 3 3己知生产一件一等品、二等品、三等品零件 A给工厂带来的效益分别为 10 元、5 元、2 元.（1）试根据生产一件零件 A 给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件 A，如果一方生产的零件 A 品级优干另一方生产的零件，则该方得分 1 分，另一方得分-1 分，如果两人生产的零件 A 品级一样，则两方都不得分，当一方总分为 4 分时，比赛结束，该方获胜Pi+4（i=-4，-3，-2，4）表示甲总分为 i 时，最终甲获胜的概率 写出 P0，P8的值；求决赛甲获胜的概率 20（12 分）已知函数2()(2)ln2f xxtxtx.（1）若2x 是()f x的极值点，求()f x的极大值；（2）求实数t的范围，使得()2f x 恒成立.21（12 分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.（1）为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在 22 岁到 52 岁的游客中随机抽取了 1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取 10 人，再从抽取的 10 人中随机抽取 4 人，记 4 人中年龄在47,52内的人数为，求3P；（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在 2020 年劳动节当日投入至少 1 艘至多 3 艘A型游船供游客乘坐观光.由 2010 到 2019 这 10 年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于 1.将每年劳动节当日客流量数据分成 3 个区间整理得表：劳动节当日客流量X 13X 35X 5X 频数（年）2 4 4 以这 10 年的数据资料记录的 3 个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：劳动节当日客流量X 13X 35X 5X A型游船最多使用量 1 2 3 若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润 3 万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损 0.5 万元.记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在 2020 年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大？22（10 分）已知变换T将平面上的点11,2，(0,1)分别变换为点9,24，3,42设变换T对应的矩阵为M （1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】根据等差数列公式直接计算得到答案.【题目详解】依题意，18368881622aaaaS，故364aa，故33a，故63233aad，故选：D【答案点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.2、D【答案解析】利用复数的除法运算，化简复数1i1 ii，即可求解，得到答案【题目详解】由题意，复数1 i(i)1 i1 iii(i)，故选 D【答案点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 3、C【答案解析】对 a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.【题目详解】分析知，0m.讨论：当1a 时，22mmamam，所以2ma，2m，所以2a；当01a时，22mmamam，所以12ma，14m，所以116a.综上，116a 或2a，故选 C.【答案点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.4、D【答案解析】由两向量垂直可得0abab，整理后可知220ab，将已知条件代入后即可求出实数m的值.【题目详解】解：abab，0abab，即220ab，将1a 和22212bm代入，得出234m，所以32m .故选:D.【答案点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为 0，继而结合条件进行化简、整理.5、B【答案解析】设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为3122xx，设落在小正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解。【题目详解】设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为3122xx，设落在小正方形内的米粒数大约为N，则223122200 xxNx，解得：27N 故选：B【答案点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。6、B【答案解析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数21yzx的几何意义为动点,M x y到定点1,2D 的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值 【题目详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21yzx的几何意义为动点,M x y到定点1,2D 的斜率，当M位于11,2A时，此时DA的斜率最小，此时12521 14minz 故选 B【答案点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键 7、B【答案解析】将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.【题目详解】当人脸识别方向有 2 人时，有55120A 种，当人脸识别方向有 1 人时，有2454240C A 种，共有 360 种.故选：B【答案点睛】本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.8、D【答案解析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到8n时退出循环,即可求得.【题目详解】执行程序框图，可得0S，2n，满足条件，12S，4n，满足条件，113244S，6n，满足条件，1111124612S，8n，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值为11228123.故选 D【答案点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的S与n的值是解题的关键,难度较易.9、D【答案解析】由|AF2|3|BF2|，可得223AFF B.设直线 l 的方程 xmy+5，m0，设11,A x y，22,B x y，即 y13y2，联立直线 l 与曲线 C,得 y1+y2-22 54mm，y1y2214m，求出 m 的值即可求出直线的斜率.【题目详解】双曲线 C：2214xy，F1，F2为左、右焦点，则 F2（5，0），设直线 l 的方程 xmy+5，m0，双曲线的渐近线方程为 x2y，m2，设 A（x1，y1），B（x2，y2），且 y10，由|AF2|3|BF2|，223AFF B，y13y2 由225440 xmyxy，得2242 510mymy （25m）24（m24）0，即 m2+40 恒成立，y1+y222 54mm，y1y2214m，联立得222 5204mym，联立得2221304ym，2254mym，2221123ym即：222151234mmm，0m，解得：12m，直线l的斜率为2，故选 D【答案点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题 10、B【答案解析】124 3FF 1224 3FFc 2 3c 222cab，24b 4a 1228PFPFa 故选 B 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.11、C【答案解析】对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当2x 时有极大值(2)1f，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的 2 倍，故此得到极大值点na的通项公式2nan，且相应极大值12nnb，分组求和即得【题目详解】当13x时，()cos22xfx，显然当2x 时有，()0fx，经单调性分析知 2x 为()f x的第一个极值点 又3100 x时，()2(2)f xf x 4x，6x，8x，均为其极值点 函数不能在端点处取得极值 2nan，149n，nZ 对应极值12nnb，149n，nZ 4949491(298)491(1 2)2244921 2iiiab 故选：C【答案点睛】本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题 12、A【答案解析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z，求出z的模即可【题目详解】解：55(34)4334255iiiizi，2243155z，故选：A【答案点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、22【答案解析】先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.【题目详解】1112i1 i222zz 故答案为：22.【答案点睛】本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为abi的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14、920【答案解析】由已知利用诱导公式可求cos，进而根据同角三角函数基本关系即可求解.【题目详解】4sin25，4cos5，22169sin1 cos12525 ，29sin925tansin4cos205.故答案为：920.【答案点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题.15、523【答案解析】依题意可得A、B、E、D四点共圆，即可得到120BED，从而得到三角形BCE为正三角形，利用余弦定理可得AE，且AEBE，要使四棱锥CABED体积最大，当且仅当面BCE 面ABED时体积取得最大值，利用正弦定理求出BCE的外接圆的半径，再又可证AE面BCE，则外接球的半径222AERr，即可求出球的表面积；【题目详解】解：依题意可得A、B、E、D四点共圆，所以180BEDBAD 因为60BAD，所以120BED，60BEC，所以三角形BCE为正三角形，则2BEBC，60CBE，60ABE 利用余弦定理得2222cosAEABBEAB BEABE 即222422 4 2cos60AE ，解得AE2 3，则222AEBEAB 所以AEBE，当面BCE 面ABED时，CABEDV取得最大，所以BCE的外接圆的半径222sin603r，又面BCE 面ABED，AEBE，且面BCE面ABEDBE，AE 面ABED 所以AE面BCE，所以外接球的半径224133233AERr 所以213524433SR 故答案为：523 【答案点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.16、5或52【答案解析】用,a b表示出OAB的面积，求得,a b等量关系，联立焦距的大小，以及222abc，即可容易求得,a b，则离心率得解.【题目详解】联立4,xabyxa解得4yb.所以OAB的面积14816322Sabab，所以2ab.而由双曲线C的焦距为2 5知，5c，所以225ab.联立解得1,2ab或2,1,ab 故双曲线C的离心率为5或52.故答案为：5或52.【答案点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1；（2）5.【答案解析】（1）由同角三角函数关系求得sinADC，再由两角差的正弦公式求得sinBAD，最后由正弦定理构建方程，求得答案.（2）在ABD中，由正弦定理构建方程求得 AB，再由任意三角形的面积公式构建方程求得 BC，最后由余弦定理构建方程求得 AC.【题目详解】（1）据题意，3cos5ADC，且(0,)ADC，所以2234sin1cos155ADCADC.所以sinsinsincoscossin444BADADCADCADC 42322525210.在ABD中，据正弦定理可知，sinsinADBDBBAD，所以52sin1sin10sin4ADBDBADB.（2）在ABD中，据正弦定理可知sinsinADABBADB，所以54sinsin()sin4 2sinsinsin5sin4ADADADABADBADCADCBBB.因为ABC的面积为 14，所以1sin142BA BCB，即14 2sin1424BC，得7BC.在ABD中，据余弦定理可知，222222cos(4 2)724 27cos254ACBABCBA BCB，所以5AC.【答案点睛】本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形，还考查了由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值，属于简单题.18、（）直线l的直角坐标方程为10 xy；曲线C的普通方程为24yx；（）47.【答案解析】（I）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（II）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得121 22 2,14ttt t，而根据直线参数方程的几何意义，知121 2212221221121141111ttt ttttPMPNttt tttt tt，代入即可解决.【题目详解】I由cos,sin,xy 可得直线l的直角坐标方程为10.xy 由曲线C的参数方程，消去参数,m 可得曲线C的普通方程为24yx.II易知点2,1P在直线l上，直线l的参数方程为222212xtyt(t为参数).将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得22 2140tt.设12,t t是方程22 2140tt的两根，则有121 22 2,14ttt t.2121 2212221 21111 241111ttt ttttPMPNtttt tt ttt 22 24 144147 【答案点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.19、（1）乙的技术更好，见解析（2）00P，81P；12【答案解析】（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；（2）直接根据概率的意义可得 P0，P8；设每轮比赛甲得分为X，求出每轮比赛甲得 1 分的概率，甲得 0 分的概率，甲得1分的概率，可的11,1133413nnnnPiPnPP，可推出 nP是等差数列，根据0842PPP可得答案.【题目详解】（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为X元、Y元，随机变量X，Y的分布列分别为 X 10 5 2 P 14 12 14 Y 10 5 2 P 13 13 13 所以1111110524242EX ，1111710523333EY ，所以EXEY，即乙的技术更好（2）0P表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以00P，8P表示的是甲得 4 分时，甲最终获胜的概率，所以81P；设每轮比赛甲得分为X，则 每轮比赛甲得 1 分的概率111111(1)433233P X，甲得 0 分的概率1111111(0)4323433P X，甲得1分的概率111111(1)234333P X，所以甲得(3,2,3)i i 时，最终获胜有以下三种情况：（1）下一轮得 1 分并最终获胜，概率为4 113iP；（2）下一轮得 0 分并最终获胜，概率为413iP；（3）下一轮得1分并最终获胜，概率为4 113iP；所以11111112,(2,3,4,5,6,7)333nnnnnnnPPPPPPPn，所以 nP是等差数列，则084122PPP，即决赛甲获胜的概率是12.【答案点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目.20、（1）3.（2）1t 【答案解析】（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求 t，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；（2）由已知代入可得，x2+（t2）xtlnx0 在 x0 时恒成立，构造函数 g（x）x2+（t2）xtlnx，结合导数及函数的性质可求.【题目详解】（1）22tfxxtx，x0，由题意可得，1 222ft0，解可得 t4，212426xxfxxxx，易得，当x2，0 x1 时，f（x）0，函数单调递增，当 1x2 时，f（x）0，函数单调递减，故当 x1 时，函数取得极大值 f（1）3；（2）由 f（x）x2+（t2）xtlnx+22 在 x0 时恒成立可得，x2+（t2）xtlnx0 在 x0 时恒成立，令 g（x）x2+（t2）xtlnx，则 1222xxttgxxtxx，（i）当t0 时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以 g（x）ming（1）t10，解可得 t1，（ii）当2t0 时，g（x）在（112t，）上单调递减，在（0，12t），（1，+）上单调递增，此时 g（1）t11 不合题意，舍去；（iii）当 t2 时，g（x）22(1)xx0，即 g（x）在（0，+）上单调递增，此时 g（1）3 不合题意；（iv）当 t2 时，g（x）在（1，12t）上单调递减，在（0，1），（12t，）上单调递增，此时 g（1）t13 不合题意，综上，t1 时，f（x）2 恒成立.【答案点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值，利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题.21、（1）4353P；（2）投入 3 艘A型游船使其当日获得的总利润最大【答案解析】（1）首先计算出在42,47，47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出3P.（2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.【题目详解】（1）年龄在42,47内的游客人数为 150，年龄在47,52内的游客人数为 100；若采用分层抽样的方法抽取 10 人，则年龄在42,47内的人数为 6 人，年龄在47,52内的人数为 4 人.可得31464103435C CCP.（2）当投入 1 艘A型游船时，因客流量总大于 1，则 3E Y（万元）.当投入 2 艘A型游船时，若13X，则3 0.52.5Y ，此时521132105P YPX；若3X，则3 26Y ，此时463555P YPXP X；此时Y的分布列如下表：Y 2.5 6 P 15 45 此时 142.565.355E Y （万元）.当投入 3 艘A型游船时，若13X，则3 12Y ，此时21213105P YPX；若35X，则3 20.55.5Y ，此时25.5355P YPX；若5X，则3 39Y ，此时2955P YP X；此时Y的分布列如下表：Y 2 5.5 9 P 15 25 25 此时 12225.596.2555E Y （万元）.由于6.25.33，则该游船中心在 2020 年劳动节当日应投入 3 艘A型游船使其当日获得的总利润最大.【答案点睛】本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.22、（1）33244M（2）1 或 6【答案解析】（1）设abMcd，根据变换可得关于a b c d,的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案；【题目详解】（1）设abMcd，则194122abcd ，30214abcd ，即1924122324abcdbd ，解得33244abcd ，则33244M（2）设矩阵M的特征多项式为()f，可得233()(3)(24)676244f，令()0f，可得1或6【答案点睛】本题考查矩阵的求解、矩阵M的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.