「中南大学数学院高等代数行列式word课件」46226.pdf

第二章 行列式 eermnnts 1 引言 行列式的计算 2 排列 6 行列式按行(列）展开 n 级行列式 aer 法则 4 n 级行列式的性质 8 Lpe 定理 行列式乘法法则 2.1 引言 1 用消元法解二元线性方程组)2()1(.,22221211212111bxaxabxaxa,:)1(221222121221122abxaaxaaa ,:2122222121211212abxaaxaaa，得两式相减消去2x;212221121122211baabxaaaa）（，得类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时，当021122211aaaa原方程有唯一解,211222112122211aaaabaabx ,211222111211122aaaabaabx 由方程组的四个系数确定 若记daaaaaaaa2221121121122211,1222121212221dababbaab,2221111211211dbabaabba,则当0d时该方程组的解为 ddxddx2211,2.在三元一次线性方程组求解时有类似结果 方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa 当0333231232221131211aaaaaaaaad时,有唯一解 ddxddxddx332211,其中 3332323222131211aadaadaadd，3333123221131112abaabaabad，3233122221112113baabaabaad。自然科学与工程技术中,我们会碰到未知数的 个数很多的线性方程组如 n 元一次线性方程组 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 它的解是否也有类似的结论呢?为此,本章依次解决如下问题：1)怎样定义 n 级行列式 2)级行列式的性质与计算?3)方程组（）在什么情况下有解？有解的情况下,如何表示此解?一、排列 二、逆序 逆序数 三、奇排列 偶排列 四、对换 一、排列 定义：由 1,，,n 组成的一个有序数组称为一个级排列 注:所有不同 n 级排列的总数是 nPnnn)1(21!（阶乘)如,所有的 3 级排列是 23，32,2，21，12，3 共 6=!个.二、逆序 逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数,规定由小到大为标准次序.定义：在一个排列中,如果一对数的前后位置与标准次序相反,即前面的数大于后面的数,则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数 注：排列n123称为标准排列,其逆序数为 0 排列njjj21的逆序数常记为)(21njjj 121)(jjjjn后面比1j小的数的个数 2j后面比2j小的数的个数 1nj后面比1nj小的数的个数 或221)(jjjjn前面比2j大的数的个数 3j前面比3j大的数的个数 nj前面比nj大的数的个数.例 1排列 31542 中,逆序有 31，,54,2，42 5)31542(例 2.求 n 级排列42)22(2)12(135nnn的逆序数 解:42)22(2)12(135nnn 1 -1 n1 1)1(12)1()1(21nnnn 三、奇排列、偶排列 定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列.注：标准排列n123为偶排列 练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性)1(321)1(nn （2）nnnnn)1(3)22(2)12(1)2(