一轮复习,三角函数解三角形,新课标高考题汇编48045.pdf

.word 可编辑 三角函数与解三角形 1任意角的概念、弧度制(1)了解任意角的概念.(2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.2三角函数(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 y=sin x,y=cosx,y=tanx的图像,了解三角函数的周期性.(3)理解正弦函数、余弦函数在区间 0,2 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间,2 2 内的单调性.(4)理解同角三角函数的基本关系式：22sincos1xx，sintancosxxx.(5)了解函数 y=Asin(x+)的物理意义；能画出 y=Asin(x+)的图像,了解参数A,对函数图像变化的影响.(6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.3 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.4应用：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.二、新课标全国卷命题分析 新课标全国卷对于三角函数的考查比较固定，一般考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形，一般是 1 小 1 大，或者 3 小题，一般考查考生转化与化归思想和运算求解能力。三角函数求值、三角恒等变换、三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值范围、图象变换等都是热门考点。解三角形问题也是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形边角关系进行“边转角”“角转边”题型 1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系 例 1（2016 新课标，理 5）若3tan4，则2cos2sin 2（）A.6425 B.4825 C.1 D.1625 题型 2 三角函数的恒等变换.word 可编辑 例 2（2018新课标，理 4）若1sin3，则cos2（）A89 B79 C79 D89 例 3 （2015新课标，2）sin 20 cos10cos160 sin10_ 题型 4 三角函数的图形变换 例 5（17 全国 1 理 9）已知曲线1cosCyx：，22sin 23Cyx：，则下面结论正确的是（）.A.把1C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线2C B.把1C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C C.把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线2C D.把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C 题型 5 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 例 6（2017 新课标，6）设函数 cos3f xx，则下列结论错误的是（）.A f x的一个周期为2 B yf x的图像关于直线83x对称 Cf x的一个零点为6x D f x在,2单调递减 例 7（2016 新课标，理 7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A()26kxkZ B()26kxkZC()212kxkZ D()212kxkZ 题型 7 解三角形、正余弦定理 例 9（2018新课标，6）在ABC中，5cos25C，1BC，5AC，则AB=（）.word 可编辑 A4 2 B30 C29 D2 5 题型 8 三角函数与解三角形的综合应用 例 10（2017 新课标，17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA （1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长 .word 可编辑 2011年2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编 9 三角函数与解三角形 一、选择题（18）ABC内角ABC，对边分别为a，b，c，若ABC面积为2224abc，则C（）A2 B3 C4 D6（2016 新课标，9）若3cos()45，则 sin 2 =（）A725 B15 C15 D725（2016 新课标，5）若3tan4，则2cos2sin 2（）A.6425 B.4825 C.1 D.1625 （2016 新课标，8）在ABC中，4B，BC边上的高等于13BC,则cos A（）A.3 1010 B.1010 C.1010 D.3 1010（2015 新课标，2）sin 20 cos10cos160 sin10（）A32 B32 C12 D12（2015 新课标，8）函数()f x=cos()x部分图象如图所示，则()f x的单调递减区间为（）A13(,),44kkkZ B13(2,2),44kkkZ C13(,),44kkkZ D13(2,2),44kkkZ（2014 新课标，6）如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()f x，则y=()f x在0,上的图像大致为（）.word 可编辑（2014 新课标，8）设(0,)2，(0,)2，且1 sintancos，则（）A.32 B.22 C.32 D.22（2014 新课标，4）钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2，则AC=（）A5 B5 C2 D1（2012 新课标，9）已知0，函数()sin()4f xx在（2，）上单调递减，则的取值范围是（）A12，54 B12，34 C（0，12 D（0，2（2011 新课标，11）设函数()sin()cos()(0,)2f xxx 的最小正周期为，且()()fxf x，则 （A）()f x在(0,)2单调递减 （B）()f x在3(,)44单调递减 （C）()f x在(0,)2单调递增（D）()f x在3(,)44单调递增（2011 新课标，5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=（）A45 B35 C35 D45（2018新课标，理 15）函数 cos 36f xx在0，的零点个数为_（2018 新课标，理 15）已知sincos1，cossin0，则sin_（2017 新课标，14）函数 23sin3cos4f xxx（0,2x）的最大值是 （2016 新课标，13）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos 45A，1cos 53C，a=1，则b=.（2016 新课标，14）函数sin3 cosyxx的图像可由函数sin3 cosyxx的图像至少向右平移_个单位长度得到.word 可编辑（2014 新课标，14）函数()sin(2)2sincos()f xxx的最大值为_.（2013 新课标，15）设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则 cos _.（2013 新课标，15）设为第二象限角，若1tan()42，则sincos_.(2018新课标，理 17)在平面四边形ABCD中，oADC90，oA45，2AB，5BD.（1）求ADBcos；（2）若22DC，求BC.（2017 新课标，17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA （1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长 .word 可编辑 （2017 新课标，17）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,已知2sin()8sin2BAC（1）求cosB；（2）若6ac,ABC面积为 2，求.b （2017 新课标，17）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sin3cos0AA，2 7a，2b（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且 ADAC，求ABD的面积 （2016新课标）ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，已知 cAbBaC)coscos(cos2（）求C；（）若7c，ABC的面积为233，求ABC周长 .word 可编辑 （2015新课标，17）在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的 2倍（）求 sinsinBC；（）若AD=1，DC=22，求BD和AC的长 （2013 新课标，17）如图，在ABC中，ABC90，AB3，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB12，求PA；(2)若APB150，求 tanPBA.（2013 新课标，17）在ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.word 可编辑（）求B；（）若b=2，求ABC面积的最大值.（2012新 课 标 ，17）已 知a，b，c分 别 为 ABC三 个 内 角A，B，C的 对 边，cos3 sin0aCaCbc（1）求A；（2）若2a，ABC的面积为3，求b，c .word 可编辑 三角函数与解三角形 题型 1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系 例 1（2016 新课标，理 5）若3tan4，则2cos2sin 2（）A.6425 B.4825 C.1 D.1625 解析：22222cos4sincos14tan64cos2sin225cossin1tan，故选 A.【解题技巧】本题考查三角恒等变换，齐次化切.题型 2 三角函数的恒等变换 例 2（2018新课标，理 4）若1sin3，则cos2（）A89 B79 C79 D89 解析：227cos21 2sin199 .故选 B.例 3 （2015 新课标，2）sin 20 cos10cos160 sin10（）A32 B32 C12 D12 解析：sin 20 cos10cos160 sin10sin 20 cos10cos 20 sin10sin30，选 D.题型 4 三角函数的图形变换 例 5（2017 全国 1 理 9）已知曲线1cosCyx：，22sin 23Cyx：，则下面结论正确的是（）.A.把1C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线2C B.把1C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C C.把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，.word 可编辑 得到曲线2C D.把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C 解析：首先曲线1C，2C统一为一三角函数名，可将1:cosCyx用诱导公式处理 coscossin222yxxx横坐标变换需将1变成2，即 112sinsin 2sin2224Cyxyxx 上各坐短到原的 倍点横标缩来2sin 2sin233yxx 注意的系数，左右平移需将2提到括号外面，这时4x平移至3x，根据“左加右减”原则，“4x”到“3x”需加上12，即再向左平移12故选 D.题型 5 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 例 6（2017 新课标，6）设函数 cos3f xx，则下列结论错误的是（）.A f x的一个周期为2 B yf x的图像关于直线83x对称 Cf x的一个零点为6x D f x在,2单调递减 解析：函数 cos3f xx的图像可由cosyx向左平移3个单位得到，如图可知，f x在,2上先递减后递增，D选项错误.故选D.-6xyO 例 7（2016 新课标，理 7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A()26kxkZ B()26kxkZ.word 可编辑 C()212kxkZ D()212kxkZ 解 析：平 移 后 图 像 表 达 式 为2 s i n 212yx，令2+122xk，得 对 称 轴 方 程：26Zkxk，故选 B 题型 7 解三角形、正余弦定理 例 9（2018新课标，6）在ABC中，5cos25C，1BC，5AC，则AB=（）A4 2 B30 C29 D2 5 解析：因为2cos2cos12CC，所以 253cos2155C ，由余弦定理可知：2222cosABACBCAC BCC，22235125 1325AB ，故4 2AB 题型 8 三角函数与解三角形的综合应用 例 10（2017 新课标，17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA （1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长 解析：（1）ABC面积23sinaSA且1sin2SbcA，21sin3sin2abcAA，223sin2abcA，由正弦定理得223sinsinsinsin2ABCA，由sin0A得2sinsin3BC （2）由（1）得2sinsin3BC，1coscos6BC，ABC，1coscos cossinsinCcoscos2ABCBCBBC，又0A，60A，3sin2A，1cos2A，由余弦定理得2229abcbc 由正弦定理得sinsinabBA，sinsinacCA，22sinsin8sinabcBCA 由得33bc，333abc，即ABC周长为333.word 可编辑 9 三角函数与解三角形（逐题解析版）（2018新课标，理 9）ABC的内角ABC，的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为2224abc，则C（）A2 B3 C4 D6【答 案】C 解 析：2222cos1cos442ABCabcabCSabC，又1sin2ABCSabC，故tan1C，4C.故选 C.（2016 新课标，9）若3cos()45，则 sin 2 =（）A725 B15 C15 D725【答案】D解析：3cos()45，27sin 2cos(2)cos2()2cos()124425，故选 D（2016 新课标，5）若3tan4，则2cos2sin 2（）A.6425 B.4825 C.1 D.1625 【答案】A解析：22222cos4sincos14tan64cos2sin225cossin1tan，故选 A.（2016 新课标，8）在ABC中，4B，BC边上的高等于13BC,则cos A（）A.3 1010 B.1010 C.1010 D.3 1010【答案】C 解析：如图所示，可设1BDAD，则2AB，2DC，5AC，由余弦定理知，25910cos102 25A （2015 新课标，2）sin 20 cos10cos160 sin10（）A32 B32 C12 D12 DCAB.word 可编辑【答案】D解析：sin 20 cos10cos160 sin10sin 20 cos10cos 20 sin10sin30，选 D.（2015新课标，8）函数()f x=cos()x的部分图象如图所示，则()f x的单调递减区间为（）A13(,),44kkkZ B13(2,2),44kkkZ C13(,),44kkkZ D13(2,2),44kkkZ【答案】D解析：由五点作图知，1+4253+42 ，解得=，=4，所以()cos()4f xx，令22,4kxkkZ，解得124k x324k，kZ，故单调减区间为（124k，324k），kZ，故选 D （2014 新课标，6）如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()f x，则y=()f x在0,上的图像大致为（）【答案】B解析：如图：过 M 作 MDOP 于，则 PM=sin x，OM=cosx,在Rt OMP中，MD=cossin1xxOM PMOPcos sinxx1sin 22x，()f x1sin2(0)2xx，选 B.word 可编辑 （2014 新课标，8）设(0,)2，(0,)2，且1 sintancos，则（）A.32 B.22 C.32 D.22【答案】B解析：sin1 sintancoscos，sincoscoscossin sincossin2，,02222 2，即22，选 B （2014 新课标，4）钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2，则AC=（）A5 B5 C2 D1【答案】B解析：1|sin2ABCSABBCB，即：1112 sin22B，2sin2B，即45B 或135 又222|2|cosACABBCABBCB，2|1AC或 5，又ABC为钝角三角形，2|5AC，即：|5AC.（2012 新课标，9）已知0，函数)4sin()(xxf在),2(单调递减，则的取值范围是（）A.1 5,2 4 B.1 3,2 4 C.1(0,2 D.(0,2【答 案】A 解 析：由322,22442kkkZ得，1542,24kk kZ，15024，.（2011 新课标，11）设函数()sin()cos()(0,)2f xxx 的最小正周期为，且()()fxf x，则.word 可编辑 （A）()f x在0,2单调递减 （B）()f x在3,44单调递减 （C）()f x在0,2单调递增（D）()f x在3,44单调递增【答 案】A 解 析：()2sin()4f xx，所 以2，又f(x)为 偶 函 数，,424kkkz，()2sin(2)2cos22f xxx，选 A.（2011 新课标，5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=（）A45 B35 C35 D45【答案】B解析：由题知tan2,222222cossin1tan3cos2cossin1tan5，选 B.（2011 新课标，5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2 =（）A45 B35 C35 D45【答案】B解析：由题知tan2,222222cossin1tan3cos2cossin1tan5，故选 B.（2018新课标，理 15）已知sincos1，cossin0，则sin_【答案】12【解析】解法一：2222sincos1sincos2sincos1cossin0cossin2cossin0a 两边平方 122 sincoscossin1sin2 对位相加 解法二：sincos1cos1sincossin0sincos sinsincoscossinsin1sincoscossin1.word 可编辑 22221sincos11sincos1sin2 综上所述：1sin2 解法三：特殊值法 设1sincos2，则3cos2，3sin2，1sinsincoscossin2.（2018新课标，理 15）函数 cos 36f xx在0，的零点个数为_【答案】3 解析：由()cos(3)06f xx，有3()62xkkZ，解得39kx，由039k得k可取0,1,2，()cos(3)6f xx在0,上有3个零点.（2017 新课标，14）函数 23sin3cos4f xxx（0,2x）的最大值是 【答案】1【解析】23sin3cos0,42f xxxx，22sincos1xx，21cos3cos4f xxx，设costx，0,1t，2134f xtt，函 数 对 称 轴 为30,12t，max1f x （2016 新课标，13）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos 45A，1cos 53C，a=1，则b=.【答案】2113 解析：4cos5A，5cos13C，3sin5A，12sin13C，63sinsinsin coscos sin65BA CACAC，由正弦定理得：sinsinbaBA，解得2113b （2016 新课标，14）函数sin3 cosyxx的图像可由函数sin3 cosyxx的图像至少向右平移_个单位长度得到.【答案】23 解析：sin3cos2sin,sin3cos2sin33yxxxyxxx，故可前者的图.word 可编辑 像可由后者向右平移23个单位长度得到.（2014 新课标，14）函数()sin(2)2sincos()f xxx的最大值为_.【答案】1 解析：()sin(2)2sin cos()sin()2sin cos()f xxxxx sincos()cossin()2sincos()cossin()sincos()sinxxxxxx xR，()f x的最大值为 1.（2013 新课标，15）设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则 cos _.【答案】2 55 解析：f(x)sin x2cos x125sincos55xx，令 cos 15，sin 25，则f(x)5sin(x)，当x2k2(kZ)时，sin(x)有最大值 1，f(x)有最大值5，即2k2(kZ)，所以 cos cos 2+2kcos2sin 22 555.（2013 新课标，15）设为第二象限角，若1tan()42，则sincos_.【答案】105 解析：由1tan1tan41tan2，得 tan 13，即 sin 13cos.将其代入sin2cos21，得210cos19.因为为第二象限角，所以 cos 3 1010，sin 1010，sin cos 105.三、解答题.word 可编辑(2018新课标，理 17)在平面四边形ABCD中，oADC90，oA45，2AB，5BD.（1）求ADBcos；（2）若22DC，求BC.解 析：解 法1：（1）在ADB中，由 正 弦 定 理：AADBsin5sin2，所 以AA D Bs i n52s i n52，又因为oADC90，所以oADB90，所以523cosADB.解法 2：在ADB中，由余弦定理可得222252cos222ADADADB，解得232 AD（负值舍去），再由余弦定理可得ADBcos5)232(225)232(222523.（2）OADBBDC90，所以BDCcosADBsin52，在BDC中，由余弦定理可知2208252cos2222BCDCBDBCDCBDBDC52，解得5BC.（2017 新课标，17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA （1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长 解析：（1）ABC面积23sinaSA且1sin2SbcA，21sin3sin2abcAA，223sin2abcA，由正弦定理得223sinsinsinsin2ABCA，由sin0A得2sinsin3BC （2）由（1）得2sinsin3BC，1coscos6BC，ABC，1coscos cossinsinCcoscos2ABCBCBBC，又0A，60A，3sin2A，1cos2A，由余弦定理得2229abcbc .word 可编辑 由正弦定理得sinsinabBA，sinsinacCA，22sinsin8sinabcBCA 由得33bc，333abc，即ABC周长为333 （2017 新课标，17）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,已知2sin()8sin2BAC（1）求cosB；（2）若6ac,ABC面积为 2，求.b 解析：（）【解法 1】由题设及2sin8sin,2BBCBA，故sin4-cosBB（1），上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0，解得 15cosB=cosB171（舍去），=.【解法 2】由题设及2sin8sin,2BBCBA，所以2sin82cos2sin22BBB，又02sinB，所以412tanB，17152tan12tan1cos22BBB.（）由158cosBsinB1717=得，故14a sin217ABCScBac，又17=22ABCSac，则，由余弦定理及a6c 得 22221715b2cosa2(1cosB)362(1)4217acacBac（+c），所以 b=2 （2017 新课标，17）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sin3cos0AA，2 7a，2b （1）求c；（2）设D为BC边上一点，且 ADAC，求ABD的面积 解析:（1）由sin3cos0AA得2sin03A，即3AkkZ，又0,A，所以3A，得23A.由余弦定理2222cosabcbcA.word 可编辑 又因为12 7,2,cos2abA 代入并整理得2125c.故4c.（2）因为2,2 7,4ACBCAB，由余弦定理2222 7cos27abcCab.因为ACAD，即ACD为直角三角形，则cosACCDC，得7CD.由勾股定理223ADCDAC.又23A，则2326DAB，1sin326ABDSADAB.（2016新 课 标 ，17）ABC的 内 角CBA,的 对 边 分 别 为cba,，已 知cAbBaC)c o sc o s(c o s2 （）求C；（）若7c，ABC的面积为233，求ABC的周长 解析：2coscoscosC aBbAc，由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC 2cossinsinCABC，ABC，0ABC、，sinsin0ABC 2cos1C，1cos2C，0C，3C 由余弦定理得：2222coscababC，221722abab，237abab 133 3sin242SabCab，6ab，2187ab，5ab ABC周长为57abc （2015新课标，17）在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的 2倍（）求 sinsinBC；（）若AD=1，DC=22，求BD和AC的长.word 可编辑 解 析：（）1sin2ABDSAB ADBAD，1sin2ADCSAC ADCAD，因 为2A B DA D CSS，BADCAD，所以2ABAC，由正弦定理可得sin1sin2BACCAB.（）因为:2ABDADCSSBD DC，22DC，所以2BD，在ABD和ADC中，由余弦定理知，2222cosABADBDAD BDADB，2222cosACADDCAD DCADC，故222222326ABACADBDDC，由（）知2ABAC，所以1AC.（2013 新课标，17）如图，在ABC中，ABC90，AB3，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB12，求PA；(2)若APB150，求 tanPBA.解：(1)由已知得PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA2117323cos 30424 ，故PA72.(2)设PBA，由已知得PBsin，在PBA中，由正弦定理得3sinsin150sin(30)，化简得3cos 4sin，所以 tan 34，即 tanPBA34.（2012 新 课 标 ，17）已 知a，b，c分 别 为 ABC三 个 内 角A，B，C的 对 边，cos3 sin0aCaCbc（1）求A；（2）若2a，ABC的面积为3，求b，c 解析：（1）根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，得ARasin2，BRbsin2，CRcsin2，因为cos3 sin0aCaCbc，所以0sin2sin2sin)sin2(3cos)sin2(CRBRCARCAR，即0sinsinsinsin3cossinCBCACA，（1）.word 可编辑 由三角形内角和定理，得CACACABsincoscossin)sin(sin，代入（1）式得0sinsincoscossinsinsin3cossinCCACACACA，化简得CCACAsinsincossinsin3，因为0sinC，所以1cossin3AA，即21)6sin(A，而 A0，6566A，从而66A，解得3A（2）若2a，ABC的面积为3，又由（1）得3A，则43cos233sin21222abccbbc，化简得8422cbbc，从而解得2b，2c