专题6.3等比数列及其前n项和(讲)(原卷版)43387.pdf

专题 6.3 等比数列及其前 n 项和 1.理解等比数列的概念 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 4.了解等比数列与指数函数的关系 知识点一 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q(q0)表示 数学语言表达式：anan1q(n2，q 为非零常数)，或an1anq(nN*，q 为非零常数)知识点二 等比数列的通项公式及前 n 项和公式(1)若等比数列an的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 ana1qn1；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sna1（1qn）1q a1anq1q.知识点三 等比数列及前 n 项和的性质(1)如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即：G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.(2)若an为等比数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为 qm(4)当 q1，或 q1 且 n 为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn【必会结论】等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则 amanapaqa2k.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，1an，a2n，anbn，anbn(0)仍然是等比数列 (4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 qk.(5)公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn.(6)等比数列an满足 a10，q1或 a10，0q0，0q1或 a11时，an是递减数列 考点一 等比数列基本量的运算【典例 1】【2019 年高考全国 I 卷理数】记 Sn为等比数列an的前 n 项和若，则 S5=_。【方法技巧】(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解；(2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，an的前 n 项和 Snna1；当 q1时，an的前 n 项和 Sna11qn1qa1anq1q。【变式 1】【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且，则a3=（）A16 B8 C4 D2 考点二 等比数列的判定与证明【典例 2】（2018全国高考）已知数列满足，设（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式【方法技巧】等比数列的判定方法 定义法 若an1anq(q 为非零常数，nN*)或anan1q(q 为非零常数且 n2，nN*)，则an是等比数列 中项公式法 若数列an中，an0 且 a2n1anan2(nN*)，则an是等比数列 通项公式法 若数列an的通项公式可写成 ancqn1(c，q 均为非零常数，nN*)，则an是等比数列 前 n 项和公式法 若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k 为非零常数，q0,1)，则an是等比数列 【特别提醒】(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填 空题中的判定；(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可。【变式 2】（山东东营一中 2019 届高三模拟）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn14an2(nN*)，若 bnan12an，求证：bn是等比数列。考点三 等比数列的性质及应用【典例 3】（湖南长郡中学 2019 届高三模拟）(1)已知等比数列an的各项为正数，且 a5a6a4a718，则 log3a1log3a2log3a10()A12 B10 C8 D2log35(2)设等比数列an中，前 n 项和为 Sn，已知 S38，S67，则 a7a8a9等于()A.18 B18 C.578 D.558(3)已知等比数列an共有 2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q_.【方法技巧】(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用【变式 3】（浙江效实中学 2019 届高三模拟）在等比数列an中，如果 a1a240，a3a460，那么 a7a8()A135 B100 C95 D80 考点四 等比数列的前 n 项和【典例 4】(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记 Sn为an的前 n 项和若 Sm63，求 m.【变式 4】（江苏启东中学 2019 届高三模拟）已知数列an的首项 a10，an13an2an1(nN*)，且 a123.(1)求证：1an1 是等比数列，并求出an的通项公式；(2)求数列1an的前 n 项和 Tn.