2013中考数学压轴题函数梯形问题精选解析(一)1908.pdf

1 2013 中考数学压轴题函数梯形问题精选解析(一)例 1 已知平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2(a 1)x与直线ykx的一个公共点为A(4，8)（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积 备用图 解析（1）抛物线的解析式为yx2 2x，直线的解析式为y 2x （2）如图1，当P为OA的中点时，PQ的长度取得最大值为4 （3）如图2，如果四边形AOMN是梯形，那么点N的坐标为(3，3)，梯形AOMN的面积为9 图 1 图 2 例 2 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x 4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y 2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN/x轴，交PB于点N 将PMN沿直线MN对折，得到P1MN 在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式 2 图 1 图 2 解析（1）设抛物线的解析式为2(4)ya xk，代入A（2，0）、C(0，12)两点，得40,1612.akak 解得1,4.ak 所以二次函数的解析式为22(4)4812yxxx，顶点P的坐标为（4，4）（2）由2812(2)(6)yxxxx，知点B的坐标为（6，0）假设在等腰梯形OPBD，那么DPOB 6设点D的坐标为(x，2x)由两点间的距离公式，得22(4)(24)36xx解得25x 或 x2 如图3，当x2 时，四边形ODPB是平行四边形 所以，当点D的坐标为(52，54)时，四边形OPBD为等腰梯形 图 3 图 4 图 5 （3）设PMN与POB的高分别为PH、PG 在 RtPMH中，2PMt，PHMHt所以24P Gt 在 RtPNH中，PHt，1122NHPHt所以32MNt 如图4，当0t 2 时，重叠部分的面积等于PMN的面积此时2133224St tt 如图5，当 2t 4 时，重叠部分是梯形，面积等于PMN的面积减去PDC的面积由于2P DCPMNSP GSPH，所以2222433(24)44P DCtSttt 此时222339(24)1212444Stttt 3 考点伸展 第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆以P为圆心，OB长为半径画圆，与直线y 2x有 两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点 方法二，按照对边相等画圆以B为圆心，OP长为半径画圆，与直线y 2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点