高考数学八类热点函数专题练习7取整函数44912.pdf
专题六 取整函数一、选择题x 为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数()fxx x 在R上为A 奇函数B 偶函数C 增函数D 周期函数【答案】D【解析】因为)(11)1(xfxxxxxf，所以函数()fxx x 是以 1 为周期的周期函数.故选 D2.设 x 表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,y,有A.x x B.2x 2x C.x y x y D.x y x y【答案】D【解析】取 x=2.5,则-x=-2.5=-3,-x=-2.5=-2,所以 A错误；2x=5,2x=22.5=4,所以 B错误；再取 y=2.8，则x+y=5.3=5,x+y=2.5+2.8=2+2=4，所以 C 错误；故选 D.3.如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数.例如 3.273，0.6 0.那么yx是1x y 的（）A 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】若yxm，则1mxm，1mym，11yx即1x y，另外取9.0,1 yx，则1x y，但是yx，yx是1x y 的充分而不必要条件.4.阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号 x表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，x就是x，当x不是整数时，x是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数.如 22,1.52,2.5 2 .求 2222111loglogloglog1432 2222log1log2log3log4的值为（）A 0B-2C-1D 1【答案】C【解析】22222221112,21,1,1 0,2 1,13 2,4 2432logloglogloglogloglog ，由“取整函数”的定义可得，222222211112344322 2 1 0 1 1 21.loglogloglog log log log 故选 C.5.我们定义函数（表示不大于 的最大整数）为“下整函数”；定义（表示不小于 的最小整数）为“上整函数”；例如.某停车场收费标准为每小时 2 元，即不超过 1 小时（包括 1 小时）收费 2 元，超过一小时，不超过 2 小时（包括 2 小时）收费 4 元，以此类推.若李刚停车时间为 小时，则李刚应缴费为（单位：元）A B C D【答案】C【解析】如时，应缴费 2 元，此时，排除 A、B；当时，缴费为 2元，此时排除 D，故选 C6.遂宁二中将于近期召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数 xy（x表示不大于x的最大整数）可以表示为（）（A）10 xy（B）103xy（C）104xy（D）105xy【答案】C【解析】可以采用特殊值法，由于已知中当各班人数除以10的余数大于5时再增选一名代表，比如当 x=56时，则可知被 10 除的余数大于 5，因此 y=6,这样选项 A,B中代入得到的结论为 5，不符合题意.再看 x=55,那么可知5 6610 xy，而 55 被 10 除的余数等于 5，因此得到 y=5，显然不成立，排除法选 C.7.已知当,x R x表示不超过x的最大整数，称 y x为取整函数，例如 1,2 1,2,33 ，若 fxx，且偶函数 2110gxxx ，则方程 ffxgx的所有解之和为（）A 1B-2C 5 3D 5 3【答案】D【解析】设0 x，则0 x，又()gx为偶函数，所以 221111gxg xxx 由 fxx，得 ffxx在同一坐标系中画出 ffx与()gx的图象，如图所示由图知同，两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为1,0,3,4，当0 x 时，方程 ffxgx的解是 0 和 1；当0 x 时，由 2113gxx 解得3x ，由 2114gxx 解得15x 综上，得 ffxgx的所有解之和为0 1 3 1535 ，故选 D 8.在计算机的算法语言中有一种函数x叫做取整函数（也称高斯函数），x表示不超过x的最大整数例如：22,3.13,2.63 设函数21()1 22xxfx，则函数()()yfxf x的值域为（）A 0B 1,0C 1,0,1D 2,0【答案】B【解析】)12(21221212)(xxxxxf,且)()21(221)12(212)(xfxfxxxx，即函数)(xf为奇函数；又21,2112121)(xxf；当0)(xf时，0)()(xfxf；当0)(xf时，不妨设0)(xf，则 0)(xf，1)(xf，则 1)()(xfxf；故选 B 9.把不超过实数x的最大整数记为 x，则函数()fxx称作取整函数，又叫高斯函数，在1,4上任取x，则 2xx的概率为（）A 14B 13C 12D 23【答案】D【解析】当 2x3 时，x2 x 2；当 3x4 时，x3，2 x 2；当 4x4.5时，x4，2 x 2；当 4.5x5 时，x4，2 x 3 符合条件的 x 2，3），由长度比可得，x2 x 的概率为3 2 15 2 3故选 B 10定义区间,ab、,ab、,ab、,ab的长度均为d b a，用 x表示不超过x的最大整数，例如3.2 3，2.33.记 xx x，设 fxx x，1gxx，若用d表示不等式 fx gx解集区间长度，则03x 当时有（）A 1dB 2dC.3dD 4d【答案】A【解析】22,1,fxx xx x xxx xfxgxxx xx 由得即 211xx x,当 0,1,0 xx时,不等式的解为1x,不符合题意；当2,1x时,1x,不等式无解,不合题意；当3,2x时,1x,不等式可化为 1xx,此时不等式恒成立,所以不等式解集为32x.综上可得不等式 xgxf解集区间的长度为1d,故选 A.11对任意正整数 n 与，表示不超过（表示不超过实数 x 的最大整数）且与 n 互素的正整数的个数.则（）.A l1 B 13C 14D 19【答案】C【解析】由，知所求为 1 至 33 中与 100互素的数的个数.先去掉所有的偶数，还剩下 17 个奇数，再去掉 5 的倍数（共三个），从而，所求为 14.12设表示不超过 x 的最大整数，Z 表示整数集，方程的解集为 M，则有（）.A B C D M与 Z 互不包含【答案】C【解析】显然，.设，令.代入方程得.而.当时，.于是，a=0.当 t=0时，a=0，即，所以，.因此，.故选 C.二、填空题13.函数yx称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数,x x是不超过x的最大整数，则函数1(0.5 2.5)yxx 的值域为.【答案】0,1,2,3【解析】当-0.5x 0 时，y=x+1的函数值为 0；当 0 x1 时，y=x+1的函数值为 1；当 1x2 时，y=x+1的函数值为 2；当 2x2.5时，y=x+1的函数值为 3；综上所述，得函数 y=x+1（-0.5x 2.5）的值域为0，1，2，3.14.对于任意x R，令x为不大于x的最大整数，则函数()fxx称为高斯函数或取整函数若数列 na满足()4nnaf()nN，且数列 na的前n项和为nS，则4 nS等于【答案】22 nn【解析】由定义知41235678940,1,2,naaa aaaa aa an ，244(12.1)2nSnnnn 15.对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足，则的取值范围是【答案】(1,5)10,20)【解析】由x-12+y-12=4，得 x-1=2，y-1=0或 x-1=0，y-1=2然后得到可行域x2+y2看作可行域内点到坐标原点距离的平方AO2=1，BO2=5 此时 x2+y21，5）CO2=10，DO2=20，此时 x2+y210，20）所以 x2+y21，5）10，20）16.x表示不超过x的最大整数，则方程2logsin2xx的解集为_.【答案】xx2|或25x【解析】22211sin1sinx，2102sin，x若2logsin2xx=0，则0sin11log02xx即0sin121xx，该不等式组的解集为空集；若2logsin2xx=1，则0sin12log12xx即1sin042xx，解得x2；若2logsin2xx=2，则1sin3log22xx即1sin84xx，解得25x.综上得方程2logsin2xx的解集为xx2|或25x.
