河南省平顶山市汝州市实验中学2023学年高考压轴卷数学试卷(含解析)35948.pdf

2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x|x0，b0，a+b=2.（）求111ab的最小值；（）证明：2.abbaab 18（12 分）在某外国语学校举行的HIMCM(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩分布在40,100,分数在80以上(含80)的同学获奖按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示 ()求a的值,并计算所抽取样本的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；()填写下面的22列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”女生 男生 总计 获奖 5 不获奖 总计 200 附表及公式：20P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d,nabcd 19（12 分）已知椭圆C：222210 xyabab的两个焦点是1F，2F，2,1M在椭圆C上，且124MFMF，O为坐标原点，直线l与直线OM平行，且与椭圆交于A，B两点.连接MA、MB与x轴交于点D，E.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：ODOE为定值.20（12 分）已知函数2()ln()f xxxax aR.（1）若()0f x 恒成立，求a的取值范围；（2）设函数()f x的极值点为0 x，当a变化时，点00(,()xf x构成曲线M，证明：过原点的任意直线ykx与曲线M有且仅有一个公共点.21（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，底面ABCD是矩形，ADPD，E，F分别是CD，PB的中点.（）求证：EF 平面PAB；（）设33ABBC，求三棱锥PAEF的体积.22（10 分）已知在等比数列 na中，12341120,4,naaaaa.（1）求数列 na的通项公式；（2）若2211loglognnnbaa，求数列 nb前n项的和.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】集合|31xBx|0Bx x 集合|1Ax x|0ABx x，|1ABx x 故选 A 2、A【答案解析】根据1f x图象关于y轴对称可知 f x关于1x 对称，从而得到 f x在,1上单调递增且 31ff；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【题目详解】1f x为偶函数 1f x图象关于y轴对称 f x图象关于1x 对称 1,x时，f x单调递减 ,1x 时，f x单调递增 又 31ff且1102 1102fff，即bac 本题正确选项：A【答案点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.3、B【答案解析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bxay2a0与直线bxay0的距离d，根据圆2200 xxyy1与双曲线C的右支没有公共点，可得d1，解得即可【题目详解】由题意，双曲线2222xyC:1(a0,b0)ab的一条渐近线方程为byxa，即bxay0，00P x,y是直线bxay4a0上任意一点，则直线bxay4a0与直线bxay0的距离224a4adcab，圆2200 xxyy1与双曲线C的右支没有公共点，则d1，41ac，即4cea，又1e 故e的取值范围为1,4，故选：B【答案点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C的右支没有公共点得出d1是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 4、B【答案解析】解出22xa,分别代入选项中a 的值进行验证.【题目详解】解：22xa，axa.当1a 时,1,0,1B ，此时AB不成立.当2a 时,2,1,0,1,2B ，此时AB成立，符合题意.故选:B.【答案点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.5、B【答案解析】根据充分必要条件的概念进行判断.【题目详解】对于充分性：若，则,m n可以平行，相交，异面，故充分性不成立；若/mn，则,nn，可得，必要性成立.故选：B【答案点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.6、A【答案解析】由4sin5及sin 20得到sin、cos，进一步得到tan，再利用两角差的正切公式计算即可.【题目详解】因为4sin5，所以4sin5，又sin22sincos0，所以3cos5，4tan3，所以41tan13tan7441tan13.故选：A.【答案点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.7、D【答案解析】结合纯虚数的概念，可得0,0ab，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【题目详解】若复数zabi为纯虚数，则0,0ab，所以0ab，若0ab，不妨设1,0ab，此时复数1zabi，不是纯虚数，所以“复数zabi为纯虚数”是“0ab”的充分不必要条件.故选：D【答案点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.8、B【答案解析】因为ABA,所以BA,所以3m 或mm.若3m，则1,3,3,1,3AB,满足ABA.若mm，解得0m 或1m.若0m，则1,3,0,1,3,0AB，满足ABA.若1m，1,3,1,1,1AB显然不成立，综上0m 或3m，选 B.9、C【答案解析】根据利用app主要听音乐的人数和使用app主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断的正误；计算使用app主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断的正误；计算使用app主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断的正误.综合得出结论.【题目详解】使用app主要听音乐的人数为5380，使用app主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以正确；使用app主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290，故超过10%的大学生使用app主要玩游戏，所以错误；使用app主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904，所以正确.故选：C.【答案点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.10、C【答案解析】利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.【题目详解】与的终边相同的角可以写成 2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案 C 正确.故答案为 C【答案点睛】（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与终边相同的角=0360k+其中kz.11、A【答案解析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在 x、y 轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率 【题目详解】设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx，是圆的切线得：223131kkk，得双曲线的一条渐近线的方程为 33y焦点在 x、y 轴上两种情况讨论：当焦点在 x 轴上时有：23332 3 333bceaa，；当焦点在 y 轴上时有：2333 233aceba，；求得双曲线的离心率 2 或2 33 故选：A【答案点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值此题易忽视两解得出错误答案 12、C【答案解析】根据程序框图的运行，循环算出当31S 时，结束运行，总结分析即可得出答案.【题目详解】由题可知，程序框图的运行结果为 31，当1S 时，9i；当1 910S 时，8i；当1 9818S 时，7i；当1 98725S 时，6i；当1 987631S 时，5i.此时输出31S.故选：C.【答案点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、4,49【答案解析】由中点公式的向量形式可得2PBPCPM，即有()2PAPBPCPA PM，设,PMxAPM，有2()24cosPAPBPCPA PMx，再分别讨论三点,A P M共线和不共线时的情况，找到,x的关系，即可根据函数知识求出范围【题目详解】M是BC的中点，2PBPCPM，即()2PAPBPCPA PM 设,PMxPA PM，于是2()24cosPAPBPCPA PMx(1)当,A P M共线时，因为1AM，若点P在AM之间，则1,3PMPA PM，此时，4()9PAPBPC；若点P在AM的延长线上，则1,0PMPA PM，此时，()4PAPBPC(2)当,A P M不共线时，根据余弦定理可得，22422cos1xxxx 解得2251cos4xx，由1cos1，解得2119x 224()4cos51,49PAPBPCxx 综上，4(),49PAPBPC 故答案为：4,49【答案点睛】本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用，以及余弦定理的应用，涉及到函数思想和分类讨论思想的应用，解题关键是建立函数关系式，属于中档题 14、xy0.【答案解析】先将 x1 代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程.【题目详解】由题意得()2ln1,(1)1,(1)1fxxxff.故切线方程为y1x1，即 xy0.故答案为：xy0.【答案点睛】本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程（组）是关键.同时也考查了学生的运算能力，属于基础题.15、14【答案解析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可.【题目详解】解：程序的功能是计算2log21,02,0 xxxyx，若输出的实数y的值为1，则当0 x 时，由2log211x 得14x，当0 x 时，由21x，此时无解.故答案为：14.【答案点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.16、1【答案解析】根据向量的模长公式以及数量积公式，得出2|3|40bb，解方程即可得出答案.【题目详解】222()27ababaa bb 223cos376bb，即2|3|40bb 解得|1b 或|4b （舍）故答案为：1【答案点睛】本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）最小值为43；（）见解析【答案解析】（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.【题目详解】（）111 11(1)131ababab 则1111421313baabab 当且仅当21abab，即32a，12b 时，所以111ab的最小值为43（）要证明：2abbaab，只需证：20abbaab，即证明：2220abab，由0,0ab，也即证明：222ab 因为2222abab，所以当且仅当ab时，有2212ab，即222ab，当1ab时等号成立 所以2.abbaab【答案点睛】本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.18、（）0.025a，69x；（）详见解析.【答案解析】()根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；()由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,从而可得22列联表,再计算出2K,与临界值比较可得【题目详解】解：()110a 1(0.010.0150.03 0.0150.005)100.025,45 0.155 0.1565x 0.2575 0.385 0.1595 0.0569()由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,22列联表如下：女生 男生 总计 获奖 5 35 40 不获奖 45 115 160 总计 50 150 200 因为22200(5 11535 45)40 160 150K4.1673.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生,男生有关”【答案点睛】本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.19、（1）22142xy（2）证明见解析【答案解析】（1）根据椭圆的定义可得2a，将M代入椭圆方程，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）设直线AB的方程，代入椭圆方程，求得直线MA和MB的方程，求得D和E的横坐标，表示出ODOE，根据韦达定理即可求证ODOE为定值.【题目详解】（1）因为124MFMF，由椭圆的定义得24a，2a，点2,1M在椭圆C上，代入椭圆方程，解得22b，所以C的方程为22142xy；（2）证明：设11,A x y，22,B x y，直线AB的斜率为22，设直线l的方程为22yxt，联立方程组2222142yxtxy，消去y，整理得22220 xtxt，所以122xxt，2122x xt，直线MA的直线方程为111122yyxx，令0y，则11221Dxxy，同理22221Exxy，所以：1212222211xOxyOEyD1212222 211xxyy 122112222121222 211xyttxxyx 12121212212 22 211x xxxtxxyy，代入整理得2 2ODOE，所以ODOE为定值.【答案点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.20、（1）1a；（2）证明见解析【答案解析】（1）由()0f x 恒成立，可得ln xaxx恒成立，进而构造函数ln()xg xxx，求导可判断出()g x的单调性，进而可求出()g x的最小值min()g x，令min()ag x即可；（2）由221()xaxfxx，可知存在唯一的0(0,)x，使得0()0fx，则200210 xax，0012axx，进而可得2000()ln1f xxx，即曲线M的方程为2ln1yxx，进而只需证明对任意kR，方程2ln1xxkx 有唯一解，然后构造函数2()ln1F xxxkx，分0k、02 2k和2 2k 三种情况，分别证明函数()F x在(0,)上有唯一的零点，即可证明结论成立.【题目详解】（1）由题意，可知0 x，由()0f x 恒成立，可得ln xaxx恒成立.令ln()xg xxx，则221ln()xxg xx.令2()1lnh xxx，则1()2h xxx，0 x，()0h x，2()1 lnh xxx 在(0,)上单调递增，又(1)0h，(0,1)x 时，()0h x；(1,)x时，()0h x，即(0,1)x时，()0g x；(1,)x时，()0g x，(0,1)x 时，()g x单调递减；(1,)x时，()g x单调递增，1x 时，()g x取最小值(1)1g，1a.（2）证明：由2121()2xaxfxxaxx，令22(1)xaTxx，由1(0)0T，结合二次函数性质可知，存在唯一的0(0,)x，使得0()0fx，故()f x存在唯一的极值点0 x，则200210 xax，0012axx，22000000()lnln1f xxxaxxx，曲线M的方程为2ln1yxx.故只需证明对任意kR，方程2ln1xxkx 有唯一解.令2()ln1F xxxkx，则2121()2xkxF xxkxx，当0k 时，()0F x恒成立，()F x在(0,)上单调递增.21,ee1kk，22(e)ee1(1e)e10kkkkkFkkk ，(1)0Fk ，存在t满足e1kt 时，使得()0F t.又()F x单调递增，所以xt为唯一解.当02 2k时，二次函数221xxyk，满足280k，则()0F x恒成立，()F x在(0,)上单调递增.(1)0Fk ，333263(e)3ee1(e)22e)0(2kFk，存在3(1,e)t使得()0F t，又()F x在(0,)上单调递增，xt 为唯一解.当2 2k 时，二次函数221xxyk，满足280k，此时()0F x有两个不同的解12,x x，不妨设12xx，1212xx，12202xx，列表如下：x 1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x ()F x 0 0 ()F x 极大值 极小值 由表可知，当1xx时，()F x的极大值为21111()ln1F xxxkx.211210 xkx，2111()ln2F xxx，1202x，211ln2xx，2111()ln20F xxx，21()()0F xF x.22222222(e)ee1(e)e1kkkkkFkkkk.下面来证明2e0kk，构造函数2()ln(2 2)m xxx x，则2121()2xm xxxx，当(2 2,)x时，()0m x，此时()m x单调递增，3()(2 2)8ln202m xm，(2 2,)x时，2lnxx，2lneexxx，故2e0kk成立.2222(e)(e)e10kkkFkk，存在22(,e)ktx，使得()0F t.又()F x在2(,)x 单调递增，xt 为唯一解.所以，对任意kR，方程2ln1xxkx 有唯一解，即过原点任意的直线ykx与曲线M有且仅有一个公共点.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.21、（）见解析（）34【答案解析】（）取PA中点G，连FG，GD，根据平行四边形，可得/EFDG，进而证得平面PAB 平面PAD，利用面面垂直的性质，得DG 平面PAB，又由/EFDG，即可得到EF 平面PAB.（）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.【题目详解】（）取PA中点G，连FG，GD，由11/,/,22FGAB FGAB EDAB EDAB，可得/,FGED FGED，可得EDGF是平行四边形，则/EFDG，又PD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCD，ABADAB平面PAD，AB 平面PAB，平面PAB 平面PAD，PDAD，G是PA中点，则DGPA，而DG 平面PADDG平面PAB，而/EFDG，EF 平面PAB.（）根据三棱锥的体积公式，得12P AEFB AEFF BAEP BAEVVVV 1123BAESPD 11133332324.【答案点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.22、（1）12nna（2）24nn【答案解析】（1）由基本量法，求出公比q后可得通项公式；（2）求出nb，用裂项相消法求和【题目详解】解：（1）设等比数列 na的公比为0q q 又因为11241124,aaaa，所以23112444qqq 解得1q （舍）或2q 所以11422nnna，即12nna（2）据（1）求解知，12nna，所以2211loglognnnbaa 112nn 1112nn 所以231.nnTbbbb 11111111.23344512nn 1122n 24nn【答案点睛】本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和解题方法是基本量法基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握