2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(一)1594.pdf

1 2013 中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(一)例 1 如图1，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x 1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D （1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限 当线段34PQAB时，求 tanCED的值；当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答 图 1 解析（1）设抛物线的函数表达式为2(1)yxn，代入点C(0，3)，得4n 所以抛物线的函数表达式为22(1)423yxxx （2）由223(1)(3)yxxxx，知A(1，0)，B(3，0)设直线BC的函数表达式为ykxb，代入点B(3，0)和点C(0，3)，得30,3.kbb 解得1k，3b 所以直线BC的函数表达式为3yx （3）因为AB 4，所以334PQAB因为P、Q关于直线x 1 对称，所以点P的横坐 标 为12 于 是 得 到 点P的 坐 标 为17,24，点F的 坐 标 为70,4 所 以75344FCOCOF，522ECFC 进而得到51322OEOCEC，点E的坐标为10,2 直线BC:3yx与抛物线的对称轴x 1 的交点D的坐标为（1，2）过点D作DHy轴，垂足为H 在 RtEDH中，DH 1，13222EHOHOE，所以tanCED23DHEH 1(12,2)P，265(1,)22P 2 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（3）题求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的 中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标 例 2 设直线l1：yk1xb1与l2：yk2xb2，若l1l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线（1）已知直线122yx；2yx；22yx；24yx和点C(0，2)，则直线_和 _是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式 图 解析（1）直线和是点C的直角线（2）当APB 90时，BCPPOA那么BCPOCPOA，即273POPO解得OP 6或OP 1 如图2，当OP 6时，l1：162yx，l2：y2x 6 如图3，当OP 1 时，l1：y 3x 1，l2：113yx 图 2 图 3 3