2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题精选解析(三)1355.pdf

1 2013 中考数学压轴题函数等腰三角形问题精选解析(三)例1.如图，已知一次函数y=-x+7 与正比例函数y =43 x的图象交于点A，且与x轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线ly轴动点P从点O出发，以每秒1 个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 解析：（1）根据题意，得y=-x+7y=43x，解得 x=3y=4，A(3，4).令y=-x+7=0，得x=7B（7，0）.（2）当P在OC上运动时，0t 4.由SAPR=S梯形COBA-SACP-SPOR-SARB=8，得 12(3+7)4-12 3(4-t)-12t(7-t)-12t 4=8 整理,得t2-8t+12=0,解之得t1=2,t2=6（舍）当P在CA上运动，4t 7.由SAPR=12(7-t)4=8，得t=3（舍）当t=2 时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.当P在OC上运动时，0t 4.AP=（4-t）2+32，AQ=2t，PQ=7-t 当AP=AQ时，（4-t）2+32=2(4-t)2,整理得，t2-8t+7=0.t=1,t=7(舍)当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24.t=4(舍去)当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2 整理得，t2-2t-17=0 t=1 3 2(舍)当P在CA上运动时，4t 7.过A作ADOB于D,则AD=BD=4.设直线l交 AC 于 E，则QEAC，AE=RD=t-4，AP=7-t.由cos OAC=AEAQ=ACAO，得AQ=53(t-4)当AP=AQ时，7-t=53(t-4)，解得t=418.ABOyxy=-x+7y=43x（备 用ABOyxy=-x+7y=43xlxyOBACPRQlxyOBACPRlRPCABOyxDFElxyOBACPRQ 2 当AQ=PQ时，AEPE，即AE=12AP 得t-4=12(7-t)，解得t=5.当AP=PQ时，过P作PFAQ于F AF=12AQ=1253(t-4).在RtAPF中，由cos PAF AFAP 35，得AF 35AP 即 1253(t-4)=35(7-t)，解得t=22643.综上所述，t=1 或 418或 5 或 22643 时，APQ是等腰三角形.例 2 已知两直线1l，2l分别经过点A(1，0)，点B)03(，并且当两直线同时相交于y 正半轴的点C 时，恰好有21ll，经过点A、B、C 的抛物线的对称轴与直线2l交于点K，如图所示。(1)求点C 的坐标，并求出抛物线的函数解析式；(2)抛物线的对称轴被直线1l，抛物线，直线2l和 x 轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。(3)当直线2l绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使MCK 为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M 的坐标。解析(1)解法1：由题意易知：BOCCOA COAOBOCO，即CO13CO 3CO 点C 的坐标是(0，3)由题意，可设抛物线的函数解析式为3bxaxy2 把 A(1，0)，B(3，0)的坐标分别代入3bxaxy2，得 03b3a903ba 解这个方程组，得332b33a 抛物线的函数解析式为3x332x33y2 解法2：由勾股定理，得2222222ABACBC)OAOC()OBOC(又OB=3，OA=1，AB=4 3OC 点C 的坐标是(0，3)由题意可设抛物线的函数解析式为)3x)(1x(ay，把C(0，3)代入 函数解析式得33a 所以，抛物线的函数解析式为)3x)(1x(33y(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下：A B C:/D K E F O 2l 1l y x 3 可求得直线1l的解析式为3x3y，直线2l的解析式为3x33y 抛物线的对称轴为直线1x 由此可求得点K 的坐标为(1，32)，点D 的坐标为(1，334)，点E 的坐标为(1，332)，点F 的坐标为(1，0)KD=332，DE=332，EF=332 KD=DE=EF 解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下：由题意可知Rt ABC 中，ABC=30，CAB=60，则可得 33230tanBFEF，3260tanAFKF，由顶点D 坐标(1，334)得334DF KD=DE=EF=332(3)解法1：(i)以点K 为圆心，线段KC 长为半径画圆弧，交抛物线于点1M，由抛物线对称性可知点1M为点C 关于直线1x的对称点 点1M的坐标为(2，3)，此时CKM1为等腰三角形 (ii)当以点C 为圆心，线段CK 长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点1M和点A，而三点A、C、K 在同一直线上，不能构成三角形 (iii)作线段KC 的中垂线l，由点D 是 KE 的中点，且21ll，可知l 经过点D，KD=DC 此时，有点2M即点D 坐标为(1，334)，使CKM2为等腰三角形；综上所述，当点M 的坐标分别为(2，3)，(1，334)时，MCK 为等腰三角形。解法2：当点M 的坐标分别为(2，3)，(1，334)时，MCK 为等腰三角形。理由如下：(i)连接BK，交抛物线于点G，易知点G 的坐标为(2，3)又点C 的坐标为(0，3)，则GC AB 可求得AB=BK=4，且ABK=60，即ABK 为正三角形 CGK 为正三角形 当2l与抛物线交于点G，即2l AB 时，符合题意，此时点1M的坐标为(2，3)(ii)连接CD，由KD=332，CK=CG=2，CKD=30，易知KDC 为等腰三角形 当2l过抛物线顶点 D 时，符合题意，此时点2M坐标为(1，334)(iii)当点M 在抛物线对称轴右边时，只有点M 与点A 重合时，满足CM=CK，但点 A、C、K 在同一直线上，不能构成三角形 综上所述，当点M 的坐标分别为(2，3)，(1，334)时，MCK 为等腰三角形。例 3 已知ABC，以AC为边在ABC外作等腰ACD，其中ACAD。(1)如图1，若2D A CA B C，ACBC，四边形ABCD是平行四边形，则ABC_；(2)如图2，若30ABC，ACD是等边三角形，3AB，4BC。求BD的长；(3)如 图3，若A C D为 锐 角，作AHBC于H。当2224B DA HB C时，4 2DACABC 是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。ACBACBABCDDDH 解析：(by iC)：第（1）问没什么好说的，送分。第（2）问，这个如果ABAC有这个条件的化，可以转化为共圆来做，可是此题并非如此。同样的如果按常规方法，如作高，求BD，题中条件基本用不上。考虑题中的30ABC，在“外”的正ACD，由（数学）图形的对称性，容易想到同里以AB，（BC边）向外也等边三角形，如图：正ABN，此时已经转化成极其常见的“经典基本图形”，连CN，立即有：5BDNC 对于第（2）问，反思一下条件，其实直接将ABD绕点A顺时针旋转60即可，想到旋转，就基本搞定了，你懂的。第（3）问：知道第(2)的思路与解法后，直接构造出2AH线段即可，如图：2OBAH，OBBC 显然有：2OABABC，由三边对应相等，有两阴影三角形面积相等，再倒倒角，知2DACABC 成立。NACBDOAABCDH