辽宁省铁岭市高级中学2023学年高考冲刺数学模拟试题(含解析)35700.pdf

2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设抛物线24yx上一点P到y轴的距离为1d，到直线:34120lxy的距离为2d，则12dd的最小值为（）A2 B153 C163 D3 2已知集合1,0,1,2A，120Bx xx，则集合AB的真子集的个数是（）A8 B7 C4 D3 3我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在数书九章（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即2222221()42cabSa c.若ABC的面积112S，3a，2b，则sin A等于（）A5510 B116 C5510或116 D1120或1136 4已知等差数列 na中，51077,0aaa，则34aa（）A20 B18 C16 D14 5设函数()fx是奇函数()()f x xR的导函数，当0 x 时，1()ln()fxxf xx，则使得2(1)()0 xf x成立的x的取值范围是（）A(1,0)(0,1)B(,1)(1,)C(1,0)(1,)D(,1)(0,1)6如图，圆锥底面半径为2，体积为2 23，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于（）A12 B1 C104 D52 7抛物线220ypx p的准线与x轴的交点为点C，过点C作直线l与抛物线交于A、B两点，使得A是BC的中点，则直线l的斜率为（）A13 B2 23 C1 D 3 8已知是第二象限的角，3tan()4，则sin 2()A1225 B1225 C2425 D2425 9已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）的右焦点与圆M：22(2)5xy的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 2，则双曲线的离心率为（）A2 B2 C3 D3 10若22nxx的二项式展开式中二项式系数的和为 32，则正整数n的值为（）A7 B6 C5 D4 11若函数 2sin2cosf xxx（02）的图象过点0,2，则（）A函数 yf x的值域是0,2 B点,04是 yf x的一个对称中心 C函数 yf x的最小正周期是2 D直线4x是 yf x的一条对称轴 12若61 3xax的展开式中3x的系数为-45，则实数a的值为（）A23 B2 C14 D13 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有_种不同的支付方式.14一个村子里一共有n个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余1n 个村民中随机挑选的，当谣言传播(2)k k次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_ 15有以下四个命题：在ABC中，AB的充要条件是sinsinAB；函数()yf x在区间(1,2)上存在零点的充要条件是(1)(2)0ff；对于函数()yf x，若(2)(2)ff，则()f x必不是奇函数；函数(1)yfx与(1)yfx的图象关于直线1x 对称.其中正确命题的序号为_.16已知在 ABC 中，AB（2sin32，2cos32），BC（cos77，cos13），则ABBC _，ABC 的面积为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）如图，在正四棱锥PABCD中，2PAAB，点M、N分别在线段PA、BD上，13BNBD （1）若13PMPA，求证：MNAD；（2）若二面角MBDA的大小为4，求线段MN的长 18（12 分）已知函数 f x和 g x的图象关于原点对称，且 22f xxx（1）解关于x的不等式 1g xf xx；（2）如果对xR，不等式 1g xcf xx恒成立，求实数c的取值范围 19（12 分）已知椭圆:22221xyab（0ab）的半焦距为c，原点到经过两点,0c，0,b的直线的距离为12c（）求椭圆的离心率；（）如图，是圆:225212xy的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程 20（12 分）如图，矩形CDEF和梯形ABCD所在的平面互相垂直，90BADADC，12ABADCD，BEDF.（1）若M为EA的中点，求证：/AC平面MDF；（2）若2AB，求四棱锥EABCD的体积.21（12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N 分别是 AC，B1C1的中点求证：（1）MN平面 ABB1A1；（2）ANA1B 22（10 分）如图所示，已知AC 平面CDE，BDAC，ECD为等边三角形，F为边ED上的中点，且22CDBDAC.()求证：CF面ABE；()求证：平面ABE 平面BDE；()求该几何体EABDC的体积 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12dd可以化成1211dd，其中11d 是点P到准线的距离，也就是P到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121dd 的最小值，从而得到12dd的最小值.详解：由2434120yxxy得到2316480yy，256 12 480，故无解，所以直线34120 xy与抛物线是相离的.由121211dddd，而11d 为P到准线1x 的距离，故11d 为P到焦点1,0F的距离，从而121dd 的最小值为F到直线34120 xy的距离221 30 4 12334 ，故12dd的最小值为2，故选 A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.2、D【答案解析】转化条件得 0,1AB，利用元素个数为 n 的集合真子集个数为21n个即可得解.【题目详解】由题意得12012Bx xxxx，0,1AB，集合AB的真子集的个数为2213 个.故选：D.【答案点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.3、C【答案解析】将112S，3a，2b，代入2222221()42cabSa c，解得225,9cc，再分类讨论，利用余弦弦定理求cos A，再用平方关系求解.【题目详解】已知112S，3a，2b，代入2222221()42cabSa c，得222134113()422 cc，即4212450cc，解得225,9cc，当25c 时，由余弦弦定理得：2223 5cos210bcaAbc，255sin1 cos10AA.当29c 时，由余弦弦定理得：2225cos26bcaAbc，211sin1 cos6AA.故选：C【答案点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.4、A【答案解析】设等差数列 na的公差为d,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34aa即可.【题目详解】设等差数列 na的公差为d.由51077,0aaa得11147,960adadad,解得115,2ad.所以341252 155(2)20aaad.故选：A【答案点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.5、D【答案解析】构造函数，令 ln0g xx f xx，则 lnf xgxxfxx，由 1fx lnxf xx 可得 0gx，则 g x是区间0,上的单调递减函数，且 1ln110gf，当 x(0,1)时,g(x)0,lnx0,f(x)0;当 x(1,+)时,g(x)0,f(x)0,(x2-1)f(x)0,(x2-1)f(x)0,(x2-1)f(x)0.综上所述,使得(x2-1)f(x)0 成立的 x 的取值范围是,10,1.本题选择 D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效 6、D【答案解析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离.【题目详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，2PO，1OE，2OCOD，1,2C，设抛物线22ypx，代入C点，可得22yx 焦点为1,02，即焦点为OE中点，设焦点为F，12EF，1PE，52PF.故选：D【答案点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.7、B【答案解析】设点11,A x y、22,B x y，设直线AB的方程为2pxmy，由题意得出212yy，将直线l的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合212yy 可求得m的值，由此可得出直线l的斜率.【题目详解】由题意可知点,02pC，设点11,A x y、22,B x y，设直线AB的方程为2pxmy，由于点A是BC的中点，则212yy，将直线l的方程与抛物线的方程联立得222pxmyypx，整理得2220ympyp，由韦达定理得12132yyymp，得123mpy，2222121829m py yyp，解得3 24m ，因此，直线l的斜率为12 23m.故选：B.【答案点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.8、D【答案解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【题目详解】因为3tan()4,由诱导公式可得,sin3tancos4,即3sincos4,因为22sincos1,所以216cos25,由二倍角的正弦公式可得,23sin 22sincoscos2,所以31624sin222525 .故选:D【答案点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.9、A【答案解析】由已知，圆心 M 到渐近线的距离为3，可得2223bab，又222cab，解方程即可.【题目详解】由已知，2c，渐近线方程为0bxay，因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 2，所以圆心 M 到渐近线的距离为22(2)3r 2222bbbcab，故221acb，所以离心率为2cea.故选：A.【答案点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.10、C【答案解析】由二项式系数性质，()nab的展开式中所有二项式系数和为2n计算【题目详解】22nxx的二项展开式中二项式系数和为2n，232,5nn 故选：C【答案点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键 11、A【答案解析】根据函数 f x的图像过点0,2，求出，可得 cos21f xx，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.【题目详解】由函数 2sin2cosf xxx（02）的图象过点0,2，可得2sin 22，即sin 21，22，4，故 22sin2cos2coscos21f xxxxx，对于 A，由1cos21x，则 02f x，故 A 正确；对于 B，当4x时，14f，故 B 错误；对于 C，22T，故 C 错误；对于 D，当4x时，14f，故 D 错误；故选：A【答案点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.12、D【答案解析】将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得a的值.【题目详解】6661 31 31 3xaxxxax 所以展开式中3x的系数为22336633135 54045CaCa，解得13a.故选：D.【答案点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、1【答案解析】按照个位上的 9 元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可【题目详解】9 元的支付有两种情况，522或者521 1，当 9 元采用522方式支付时，200 元的支付方式为2 100，或者1 100250或者1 1001 5022010 共 3 种方式，10 元的支付只能用 1 张 10 元，此时共有1 3 13 种支付方式；当 9 元采用521 1 方式支付时：200 元的支付方式为2 100，或者1 100250或者1 1001 5022010 共 3 种方式，10 元的支付只能用 1 张 10 元，此时共有1 3 13 种支付方式；所以总的支付方式共有3 36 种 故答案为：1【答案点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整 14、121knn【答案解析】利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.【题目详解】第 1 次传播，谣言一定不会回到最初的人；从第 2 次传播开始，每 1 次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是11n，没有被选中的概率是111n 1k 次传播是相互独立的，故为1112111kknnn 故答案为：121knn【答案点睛】本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题.15、【答案解析】由三角形的正弦定理和边角关系可判断；由零点存在定理和二次函数的图象可判断；由(2)(2)0ff，结合奇函数的定义，可判断；由函数图象对称的特点可判断【题目详解】解：在ABC中，2 sin2 sinsinsinABabRARBAB，故正确；函数()yf x在区间(1,2)上存在零点，比如23()2f xx在(1,2)存在零点32，但是(1)(2)0ff，故错误；对于函数()yf x，若(2)(2)0ff，满足(2)(2)ff，但()f x可能为奇函数，故错误；函数(1)yfx与(1)yfx的图象，可令1 xt，即1xt，即有()yf t和(2)yft的图象关于直线1t 对称，即0 x 对称，故错误 故答案为：【答案点睛】本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题 16、2 22 【答案解析】根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；结合求出22BA BCcos ABCAB BC，根据面积公式即可得解.【题目详解】2327723213AB BCsincoscoscos 2（sin32cos77cos32sin77）232772452sinsin ，21ABBC，22BA BCcosABCAB BC，22sin ABC，11222 12222ABCSABBC sin ABC 故答案为：222，【答案点睛】此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积公式求解三角形面积，综合性强.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）226【答案解析】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设 AC、BD 交点为 O，则以 OA 为 x 轴正方向，以 OB 为 y 轴正方向，OP 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题（1）只要证明MN AD0 即可证明垂直；（2）设44042 20abac222222021111220000,0104 2232361yxyz ，得 M(，0，1)，然后求出平面 MBD 的法向量n，而平面 ABD 的法向量为OP，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得 试题解析:(1)连结 AC、BD 交于点 O，以 OA 为 x 轴正方向，以 OB 为 y 轴正方向，OP 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系 因为 PAAB2，则 A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)由BN13BD，得 N10,03，由PM13PA，得 M12,0,33，所以11 12,33 33MN，AD(1，1，0)因为MN AD0，所以 MNAD(2)解：因为 M 在 PA 上，可设PMPA，得 M(，0，1)所以BM(，1，1)，BD(0，2，0)设平面 MBD 的法向量n(x，y，z)，由00n BDn BM，得2010yxyz 其中一组解为x1，y0，z，所以可取n(1，0，)因为平面 ABD 的法向量为OP(0，0，1)，所以 cos4n OPn OP，即22221，解得 12，从而 M11,0,22，N10,03，所以MN222111000232226 考点：用空间向量法证垂直、求二面角 18、（1）11,2（2）9,8【答案解析】试题分析：（1）由函数 f x和 g x的图象关于原点对称可得 g x的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对xR，不等式 1g xcf xx 成立等价于212xxc，去绝对值得不等式组，即可求得实数c的取值范围.试题解析：（1）函数 f x和 g x的图象关于原点对称，22g xfxxx ，原不等式可化为212xx，即212xx 或212xx ，解得不等式的解集为11,2；（2）不等式 1g xcf xx 可化为：212xxc，即22212xcxxc，即22210210 xxcxxc，则只需1 8101 8 10cc，解得，c的取值范围是9,8.19、（）32；（）221123xy【答案解析】试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得bcda，又有12dc，联立可求离心率；（2）由（1）设椭圆方程，再设直线AB方程，与椭圆方程联立，求得AB，令10AB，可得b，即得椭圆方程.试题解析：（）过点,0,0,cb的直线方程为0bxcybc，则原点O到直线的距离22bcbcdabc，由12dc，得2222abac，解得离心率32cea.（）由（1）知，椭圆E的方程为22244xyb.依题意，圆心2,1M 是线段AB的中点，且10AB.易知，AB不与x轴垂直.设其直线方程为21yk x，代入（1）得 22221 48214 2140kxkkxkb.设1122,A x yB x y，则12282114kkxxk，221224 21414kbx xk.由124xx，得2821=414kkk，解得12k.从而21282x xb.于是222121212151410222ABxxxxx xb.由10AB，得210210b，解得23b.故椭圆E的方程为221123xy.20、(1)见解析(2)4 2E ABCDV【答案解析】（1）设 EC 与 DF 交于点 N，连结 MN，由中位线定理可得 MNAC，故 AC平面 MDF；（2）取 CD 中点为 G，连结 BG，EG，则可证四边形 ABGD 是矩形，由面面垂直的性质得出 BG平面 CDEF，故 BGDF，又 DFBE 得出 DF平面 BEG，从而得出 DFEG，得出 Rt DEGRt EFD，列出比例式求出 DE，代入体积公式即可计算出体积【题目详解】（1）证明：设EC与DF交于点N，连接MN，在矩形CDEF中，点N为EC中点，M为EA的中点，/MNAC，又AC 平面MDF，MN 平面MDF，/AC平面MDF.（2）取CD中点为G，连接BG，EG，平面CDEF 平面ABCD，平面CDEF 平面ABCDCD，AD 平面ABCD，ADCD，AD 平面CDEF，同理ED 平面ABCD，ED的长即为四棱锥EABCD的高，在梯形ABCD中12ABCDDG，/ABDG，四边形ABGD是平行四边形，/BGAD，BG 平面CDEF，又DF 平面CDEF，BGDF，又BEDF，BEBGB，DF 平面BEG，DFEG.注意到Rt DEGRt EFD，28DEDG EF，2 2DE，14 23EABCDABCDVSED.【答案点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法.割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值 21、（1）详见解析；（2）详见解析.【答案解析】（1）利用平行四边形的方法，证明/MN平面11ABB A.（2）通过证明1AB 平面1AB N，由此证得1A BAN.【题目详解】（1）设E是AB中点，连接1,ME B E，由于M是AC中点，所以/MEBC且12MNBC，而1/B NBC且112B NBC，所以ME与1B N平行且相等，所以四边形1MEB N是平行四边形，所以1/MNB E，由于MN 平面11ABB A，1B E 平面11ABB A，所以/MN平面11ABB A.（2）连接1AB，由于直三棱柱中1BCBB，而BCAB，1BBABB，所以BC 平面11ABB A，所以1BCAB，由于11/BCBC,所以111BCAB.由于四边形11ABB A是矩形且1ABAA，所以四边形11ABB A是正方形，所以11ABAB,由于1111ABBCB,所以1AB 平面1AB N，所以1A BAN.【答案点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22、（）见解析；（）见解析；（）3.【答案解析】（I）取BE的中点G，连接,AG FG，通过证明四边形AGFC为平行四边形，证得/CFAG，由此证得/CF平面ABE.（II）利用CFEDCFBD，证得CF 平面BDE，从而得到AG 平面BDE，由此证得平面ABE 平面BDE.（III）作EHCD交CD于点H，易得EH 面ABDC，利用棱锥的体积公式，计算出棱锥的体积.【题目详解】()取BE的中点G，连接,AG FG，则12FGBD，12ACBD，故四边形AGFC为平行四边形.故CFAG.又CF 面ABE，AG 平面ABE，所以CF面ABE.()ECD为等边三角形，F为DE中点，所以CFED.又CFBD，所以CF 面BDE.又CFAG，故AG 面BDE，所以面ABE 平面BDE.()几何体ABECD是四棱锥EABDC，作EHCD交CD于点H，即EH 面ABDC，1 1122333 2E ABDCV.【答案点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查空间想象能力，所以中档题.