第4章指数函数与对数函数-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(必修第一册)43133.pdf

第 4 章 指数函数与对数函数 4.1 指数 4.1.1 n 次方根与分数指数幂 1.如果axn，那么x叫做a 的n次方根.其中Nnn,1.2.当n为奇数时，aann；当n为偶数时，aann.3.规定：mnmnaa*(0,1)am nNn；11mnmnmnaaa*(0,1)am nNn.(3)0 的正分数指数幂等于 0.0 的负分数指数幂无意义.4.运算性质：0,rsr sa aaar sQ；rr ssaaa 0,srrsaaar sQ；srrsrsaaa 0,0,rrraba babrQ.4.1.2 无理指数幂及其运算性质 运算性质：0,rsr sa aaar sR；rr ssaaa 0,srrsaaar sR；srrsrsaaa 0,0,rrraba babrR.4.2 指数函数 1.定义：函数1,0aaayx叫做指数函数，定义域为R.2.性质：4.3.对数 1.定义：如果0,1xaN aa；那么数x叫做以a为底N的对数，记作：logaxN，a叫对数的底数，N叫真数.2.指数与对数间的关系：当0,1aa时，logxaaNxN 3.对数恒等式：logaNaN，logNaaN.4.两个特殊对数：（1）以 10 为底的对叫做常用对数，并把10logN记为lg N；（2）以无理数2.71828e 为底数的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN；5.基本性质：01loga；1logaa；负数和 0 没有对数.1a 10 a 图 象 性 质（1）定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1（4）增函数（4）减函数（5）0,1xxa;0,01xxa（5）0,01xxa;0,1xxa 6.积、商、幂的对数运算法则：当0,0,1,0NMaa时：NMMNaaalogloglog；NMNMaaalogloglog；MnManaloglog.5.换底公式：abbccalogloglog0,1,0,1,0bccaa.6.推论：loglognmaambbn abbalog1log1,0,1,0bbaa.4.4.对数函数 1.定义：函数1,0logaaxya叫做对数函数，定义域是0,.2.性质：4.5.函数的应用 4.5.1 函数的零点与方程的解 1.方程 0 xf有实数解 函数 xfy 的图象与x轴有公共点 函数 xfy 有零点.1a 10 a 图 象 性 质（1）定义域：（0，+）（2）值域：R（3）过定点（1，0），即 x=1 时，y=0（4）在（0，+）上是增函数（4）在（0，+）上是减函数（5）0log,1xxa；0log,10 xxa（5）0log,1xxa；0log,10 xxa 2.函数零点存在性定理：如果函数 xfy 在区间ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0bfaf，那么函数 xfy 在区间ba,内至少有一个零点，即存在bac,，使得 0cf，这个c也就是方程 0 xf的解.3.用二分法求方程的近似解 对于在区间,a b上图象连续不断且 0bfaf的函数 xfy，通过不断地把它零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.