微积分公式及定积分计算练习13111.pdf

.1 微积分公式与定积分计算练习附加三角函数公式 一、根本导数公式 0c1xxsincosxx cossinxx 2tansecxx2cotcscxx secsectanxxxcsccsccotxxx xxee lnxxaaa1ln xx 1loglnxaxa21arcsin1xx21arccos1xx 21arctan1xx21arccot1xx 1x 12xx 二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 1 nnnu xv xu xv x 2 nncu xcux 3 nnnu axba uaxb 4 ()0nnn kkknku xv xc ux vx 四、根本初等函数的 n 阶导数公式 1 !nnxn 2 nax bnax beae (3)lnnxxnaaa(4)sinsin2nnaxbaaxbn(5)coscos2nnaxbaaxbn(6)11!1nnnnanaxbaxb (7)11!ln1nnnnanaxbaxb 五、微分公式与微分运算法则 0d c 1d xxdxsincosdxxdx.1 cossindxxdx 2tansecdxxdx2cotcscdxxdx secsectandxxxdxcsccsccotdxxxdx xxd ee dx lnxxd aaadx1lndxdxx 1loglnxaddxxa21arcsin1dxdxx21arccos1dxdxx 21arctan1dxdxx21arccot1dxdxx 六、微分运算法则 d uvdudv d cucdu d uvvduudv2uvduudvdvv 七、根本积分公式 kdxkxc11xx dxclndxxcx lnxxaa dxcaxxe dxeccossinxdxxc sincosxdxxc 221sectancosdxxdxxcx 221csccotsinxdxxcx 21arctan1dxxcx 21arcsin1dxxcx 八、补充积分公式 九、以下常用凑微分公式 积分型 换元公式 1f axb dxf axb d axba uaxb 11f xxdxf xd x ux.1 1lnlnlnfxdxfx dxx lnux xxxxf ee dxf e d e xue 1lnxxxxf aa dxf a d aa xua sincossinsinfxxdxfx dx sinux cossincoscosfxxdxfx dx cosux 2tansectantanfxxdxfx dx tanux 2cotcsccotcotfxxdxfx dx cotux 21arctanarcnarcn1fxdxftax dtaxx arctanux 21arcsinarcsinarcsin1fxdxfx dxx arcsinux 十、分部积分法公式 形如naxx e dx，令nux，axdve dx 形如sinnxxdx令nux，sindvxdx 形如cosnxxdx令nux，cosdvxdx 形如arctannxxdx，令arctanux，ndvx dx 形如lnnxxdx，令lnux，ndvx dx 形如sinaxexdx，cosaxexdx令,sin,cosaxuexx均可。十一、第二换元积分法中的三角换元公式(1)22axsinxat (2)22axtanxat (3)22xasecxat【特殊角的三角函数值】1sin00 21sin62 33sin32 4sin12 5sin0 1cos01 23cos6231cos32 4cos02 5cos1 .1 1tan00 23tan633tan334tan2不存在5tan0 1cot 0不存在 2cot3633cot334cot025cot不存在 十二、重要公式 10sinlim1xxx 210lim 1xxxe 3lim()1nna ao 4lim1nnn 5limarctan2xx 6limtan2xarcx 7limarccot0 xx 8lim arccotxx 9lim0 xxe 10limxxe 110lim1xxx 1200101101lim0nnnmmxmanmba xa xanmb xb xbnm 系数不为 0 的情况 十三、以下常用等价无穷小关系0 x 十四、三角函数公式 1.两角和公式 2.二倍角公式 3.半角公式 4.和差化积公式 5.积化和差公式 6.万能公式 7.平方关系 8.倒数关系 9.商数关系 十五、几种常见的微分方程 1.可别离变量的微分方程：dyf x g ydx，11220fx gy dxfx gy dy 2.齐次微分方程：dyyfdxx.1 3.一阶线性非齐次微分方程：dyp x yQ xdx 解为：p x dxp x dxyeQ x edxc 高考定积分应用常见题型大全 一选择题共 21 小题 1 2021如下列图，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影局部的概率为 A B C D 2 2021由曲线 y=*2，y=*3围成的封闭图形面积为 A B C D 3设 f*=，函数图象与*轴围成封闭区域的面积为 A B C D 4定积分的值为 A B 3+ln2 C 3ln2 D 6+ln2 5如下列图，曲线 y=*2和曲线 y=围成一个叶形图阴影局部，其面积是 A 1 B C D 6=A B 2 C D 4 7函数 f*的定义域为2，4，且 f4=f2=1，f*为 f*的导函数，函数 y=f*的图象如下列图，则平面区域 f2a+b1a0，b0所围成的面积是 A 2 B 4 C 5 D 8 801e*d*与01e*d*相比有关系式 A 01e*d*01e*d*B 01e*d*01e*d*C 01e*d*2=01e*d*D 01e*d*=01e*d*9假设 a=，b=，则 a 与 b 的关系是 .1 A ab B ab C a=b D a+b=0 10的值是 A B C D 11假设 f*=e 为自然对数的底数，则=A+e2e B+e C e2+e D +e2e 12f*=2|*|，则 A 3 B 4 C 3.5 D 4.5 13设 f*=3|*1|，则22f*d*=A 7 B 8 C 7.5 D 6.5 14积分=A B C a2 D 2a2 15函数的图象与*轴所围成图形的面积为 A 1/2 B 1 C 2 D 3/2 16由函数 y=cos*0*2的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积是 A 4 B C D 2 17曲线 y=*3在点1，1处的切线与*轴及直线*=1 所围成的三角形的面积为 A B C D 18图中，阴影局部的面积是 A 16 B 18 C 20 D 22 19如图中阴影局部的面积是 A B C D 20曲线与坐标轴围成的面积是 A B C D 21如图，点 P3a，a是反比例函 y=k0与O 的一个交点，图中阴影局部的面积为 10，则反比例函数的解析式为 .1 A y=B y=C y=D y=高考定积分应用常见题型大全含答案 参考答案与试题解析 一选择题共 21 小题 1 2021如下列图，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影局部的概率为 A B C D 考点：定积分在求面积中的应用；几何概型501974 专题：计算题 分析：根据题意，易得正方形 OABC 的面积，观察图形可得，阴影局部由函数 y=*与 y=围成，由定积分公式，计算可得阴影局部的面积，进而由几何概型公式计算可得答案 解答：解：根据题意，正方形 OABC 的面积为 11=1，而阴影局部由函数 y=*与 y=围成，其面积为01*d*=|01=，则正方形 OABC 中任取一点 P，点 P 取自阴影局部的概率为=；应选 C 点评：此题考察几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影局部的面积 2 2021由曲线 y=*2，y=*3围成的封闭图形面积为 A B C D 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：要求曲线 y=*2，y=*3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求01*2*3d*即可 解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是1，1，0，0故积分区间是0，1 所求封闭图形的面积为01*2*3d*，应选 A 点评：此题考察定积分的根底知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积.1 3设 f*=，函数图象与*轴围成封闭区域的面积为 A B C D 考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题；数形结合 分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两局部用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积 解答：解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=应选 C 点评：此题考察分段函数的图象和定积分的运用，考察积分与曲边图形面积的关系，属于中档题解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性 4定积分的值为 A B 3+ln2 C 3ln2 D 6+ln2 考点：定积分；微积分根本定理；定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分根本定理求出定积分的值即可 解答：解：=*2+ln*|12=22+ln212+ln1=3+ln2.1 应选 B 点评：此题考察求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于根底题 5如下列图，曲线 y=*2和曲线 y=围成一个叶形图阴影局部，其面积是 A 1 B C D 考点：定积分；定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：联立由曲线 y=*2和曲线 y=两个解析式求出交点坐标，然后在*0，1区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可 解答：解：联立得，解得 或，设曲线与直线围成的面积为 S，则 S=01*2d*=应选：C 点评：考察学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力 6=A B 2 C D 4 考点：微积分根本定理；定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：由于 F*=*2+sin*为 f*=*+cos*的一个原函数即 F*=f*，根据abf*d*=F*|ab公式即可求出值 解答：解：*2+sin*=*+cos*，*+cos*d*.1=*2+sin*=2 故答案为：2 点评：此题考察学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道根底题 7函数 f*的定义域为2，4，且 f4=f2=1，f*为 f*的导函数，函数 y=f*的图象如下列图，则平面区域 f2a+b1a0，b0所围成的面积是 A 2 B 4 C 5 D 8 考点：定积分的简单应用501974 分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出 a、b 满足的条件，画出平面区域，即可求解 解答：解：由图可知2，0上 f*0，函数 f*在2，0上单调递减，0，4上 f*0，函数 f*在0，4上单调递增，故在2，4上，f*的最大值为 f4=f2=1，f2a+b1a0，b0 表示的平面区域如下列图：应选 B 点评：此题考察了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题 解决时要注意数形结合思想应用 801e*d*与01e*d*相比有关系式 .1 A 01e*d*01e*d*B 01e*d*01e*d*C 01e*d*2=01e*d*D 01e*d*=01e*d*考点：定积分的简单应用；定积分501974 专题：计算题 分析：根据积分所表示的几何意义是以直线*=0，*=1 及函数 y=e*或 y=e*在图象第一象限圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可 解答：解：01e*d*表示的几何意义是以直线*=0，*=1 及函数 y=e*在图象第一象限圆弧与坐标轴围成的面积，01e*d*表示的几何意义是以直线*=0，*=1 及函数 y=e*在图象第一象限圆弧与坐标轴围成的面积，如图 当 0*1 时，e*e*，故有：01e*d*01e*d*应选 B 点评：此题主要考察了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进展求解，属于根底题 9假设 a=，b=，则 a 与 b 的关系是 A ab B ab C a=b D a+b=0 考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：a=cos*=cos2cos=cos2sin24.6，b=sin*=sin1sin0=sin1sin57.3.1 解答：解：a=cos*=cos2cos=cos2cos114.6=sin24.6，b=sin*=sin1sin0=sin1sin57.3，ba 应选 A 点评：此题考察定积分的应用，是根底题解题时要认真审题，仔细解答 10的值是 A B C D 考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：根据积分所表示的几何意义是以 1，0 为圆心，1 为半径第一象限圆弧与抛物线 y=*2在第一象限的局部坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的局部与*轴和直线*=1 围成的图形的面积即可 解答：解；积分所表示的几何意义是以 1，0 为圆心，1 为半径第一象限圆弧与抛物线 y=*2在第一象限的局部坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的局部与*轴和直线*=1 围成的图形的面积之差 即=故答案选 A 点评：此题主要考察了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进展求解，属于根底题 11假设 f*=e 为自然对数的底数，则=A+e2e B+e C e2+e D +e2e 考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两局部，进而分别求出相应的积分，即可得到结论 解答：解：=应选 C.1 点评：此题重点考察定积分，解题的关键是将积分区间分为两局部，再分别求出相应的积分 12f*=2|*|，则 A 3 B 4 C 3.5 D 4.5 考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：由题意，由此可求定积分的值 解答：解：由题意，=+=2+42=3.5 应选 C 点评：此题考察定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和 13设 f*=3|*1|，则22f*d*=A 7 B 8 C 7.5 D 6.5 考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：22f*d*=223|*1|d*，将223|*1|d*转化成212+*d*+124*d*，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可 解答：解：22f*d*=223|*1|d*=212+*d*+124*d*=2*+*2|21+4*2|12=7 应选 A 点评：此题主要考察了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考察了转化与划归的思想，属于根底题 14积分=A B C a2 D 2a2 考点：定积分的简单应用；定积分501974 专题：计算题.1 分析：此题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数 y=与*轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆 解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为 3 的圆的上半圆的面积，故=应选 B 点评：本小题主要考察定积分、定积分的几何意义、圆的面积等根底知识，考察考察数形结合思想属于根底题 15函数的图象与*轴所围成图形的面积为 A 1/2 B 1 C 2 D 3/2 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数 f*的积分，求出所求即可 解答：解：由题意图象与*轴所围成图形的面积为=|01+sin*=+1=应选 D 点此题考察定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定.1 评：积分的值，此题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，结实掌握好根底知识很重要 16由函数 y=cos*0*2的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积是 A 4 B C D 2 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：由题意可知函数 y=cos*0*2的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形可利用定积分进展计算，只要求01cos*d*即可然后根据积分的运算公式进展求解即可 解答：解：由函数 y=cos*0*2的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积，就是：01cos*d*=*sin*|0=应选 B 点评：此题考察余弦函数的图象，定积分，考察计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分 17曲线 y=*3在点1，1处的切线与*轴及直线*=1 所围成的三角形的面积为 A B C D 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分欲求所围成的三角形的面积，先求出在点1，1处的切线方程，只须求出其斜率的.1 析：值即可，故要利用导数求出在*=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决 解答：解：y=*3，y=3*2，当*=1 时，y=3 得切线的斜率为 3，所以 k=3；所以曲线在点1，1处的切线方程为：y1=3*1，即 3*y2=0 令 y=o 得：*=，切线与*轴、直线*=1 所围成的三角形的面积为：S=1 1=应选 B 点评：本小题主要考察直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上*点切线方程等根底知识，属于根底题 18图中，阴影局部的面积是 A 16 B 18 C 20 D 22 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为2，2，8，4 过2，2作*轴的垂线把阴影局局部为 S1，S2两局部，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影局部的面积 解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为2，2，8，4 过2，2作*轴的垂线把阴影局局部为 S1，S2两局部，分别求出它们的面积 A1，A2：A1=02d*=2 d*=，A2=28d*=所以阴影局部的面积 A=A1+A2=18 应选 B 点评：此题考察定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在*轴下方的局部积分为负积分的几何意义强调代数和，属于根底题考察学生利用定积分求阴影面积的方法的能力 19如图中阴影局部的面积是 A B C D 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：求阴影局部的面积，先要对阴影局部进展分割到三个象限，分别对三局部进展积分求和即可.1 解答：解：直线 y=2*与抛物线 y=3*2解得交点为3，6和1，2 抛物线 y=3*2与*轴负半轴交点，0 设阴影局部面积为s，则=所以阴影局部的面积为，应选 C 点评：此题考察定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在*轴下方的局部积分为负积分的几何意义强调代数和，属于根底题 20曲线与坐标轴围成的面积是 A B C D 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可 解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为 0 曲线与坐标轴围成的面积是：S=0d*+d*=围成的面积是 应选 D.1 点评：此题主要考察了学生会求出原函数的能力，以及考察了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数 21如图，点 P3a，a是反比例函 y=k0与O 的一个交点，图中阴影局部的面积为 10，则反比例函数的解析式为 A y=B y=C y=D y=考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题；数形结合 分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影局部的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据 P 在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得 k 的值 解答：解：设圆的半径是 r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：r2=10 解得：r=2 点 P3a，a是反比例函 y=k0与O 的一个交点 3a2=k 且=r a2=22=4 k=34=12，则反比例函数的解析式是：y=应选 C 点评：此题主要考察反比例函数图象的对称性的知识点，解决此题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影局部与圆之间的关系