高等数学上册知识点44189.pdf
第 1 页 共 1 页 高等数学上册 第一章 函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(xf在0 x连续 )()(lim00 xfxfxx 第一类：左右极限均存在。间断点 可去间断点(f(x0-)=f(x0+)、跳跃间断点(f(x0-)f(x0+)第二类：左右极限、至少有一个不存在。无穷间断点(f(x)limax)、振荡间断点 f(x)在 x。处可导，则 f(x)在 x。处必连续。5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。（二）极限 1、定义 1）数列极限 第 2 页 共 2 页 axNnNaxnnn ,0lim 2）函数极限 Af(x)时，xx0 当 x,0,0,Af(x)lim0 xx0左极限：)(lim)(00 xfxfxx 右极限：)(lim)(00 xfxfxx)f(x)f(x 存在 Af(x)lim00 xx0 2、极限存在准则 1）夹逼准则：1）)(0nnzxynnn 2）azynnnnlimlim axnnlim 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。3、无穷小（大）量 1）定义：若0lim则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量。2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小 Th1：)(o;Th2：limlim 存在，则lim,（无穷小代换）第 3 页 共 3 页 4、求极限的方法 1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a)1sinlim0 xxx b)exxxxxx)11(lim)1(lim10 补充：e)1(1 1xx0 xl i m 5）无穷小代换：（0 x）a)1arctanarcsintansinxexxxxx b)221cos1xx nx3nn!2xInx 第二章 导数与微分（一）导数 1、定义：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 左导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 右导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 第 4 页 共 4 页 函数)(xf在0 x点可导)()(00 xfxf 2、几何意义：)(0 xf 为曲线)(xfy 在点)(,00 xfx处的切线的斜率。3、可导与连续的关系：4、求导的方法 1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法。5、高阶导数 1）定义：dxdydxddxyd22 2）莱布尼茨公式：nkknkknnvuCuv0)()()(6、导数公式：arccosx+arcsinx=2 arccotx+arctanx=2 （二）微分 第 5 页 共 5 页 1）定义：)()()(00 xoxAxfxxfy，其中A与x无关。2）可 微 与 可 导 的 关 系：可 微可 导，且dxxfxxfdy)()(00 第三章 微分中值定理与导数的应用（一）中值定理 1、罗尔定理：若函数)(xf满足：1）,)(baCxf；2）),()(baDxf；3）)()(bfaf；则0()f使b),(a,.2、拉格朗日中值定理：若函数)(xf满足：1）,)(baCxf；2）),()(baDxf；则a)()(bff(a)使f(b)b),(a,.3、柯西中值定理：若函数)(),(xFxf满足：1）,)(),(baCxFxf；2）),()(),(baDxFxf；3）),(,0)(baxxF 则()F()fF(a)F(b)f(a)f(b)使b),(a,第 6 页 共 6 页 （二）洛必达法则 1.尽量先化简（有理数、无穷小代换、分离非零因子）在用洛必达法则 如：xt anc osxx1420nlim 2.对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，然后用用洛必达法则如：nnnn)2ba(lim 3.洛必达法则是一种很有效的方法，但不是万能的 如：xc osxx2nlim（三）泰勒公式 n阶泰勒公式：10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)()()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf 在0 x与x之间.当00 x时，成为n阶麦克劳林公式：第 7 页 共 7 页 1)1()(2)!1()(!)0(!2)0(!1)0()0()(nnnnxnfxnfxfxffxf 在0与x之间.常见函数的麦克劳林公式：1）12)!1(!1!211nnxxnexnxxe 在0与x之间，x；2）12121753)!12(2)12(sin)!12()1(!7!5!3sinmmmxmmmxxxxxx 在0与x之间，x；3）mmmxmmmxxxxx2221642)!2(22cos)!22()1(!6!4!21cos 在0与x之间，x；第 8 页 共 8 页 4）111432)1)(1()1()1(432)1ln(nnnnnnxnxxxxxx 在0与x之间，11x 5）nxnnxxxx!)1()1(!3)2)(1(!2)1(1)1(32 11)!1()1)()1(nnxnn，在0与x之间，11x.（四）单调性及极值 1、单调性判别法：,)(baCxf，),()(baDxf，则若0)(xf，则)(xf单调增加；则若0)(xf，则)(xf单调减少。2、极值及其判定定理：a)必要条件：)(xf在0 x可导，若0 x为)(xf的极值点，则0)(0 xf.b)第一充分条件：)(xf在0 x的邻域内可导，且0)(0 xf，则若当0 xx 时，0)(xf，当0 xx 时，0)(xf，则0 x为极大值点；若当0 xx 时，0)(xf，当0 xx 时，第 9 页 共 9 页 0)(xf，则0 x为极小值点；若在0 x的两侧)(xf 不变号，则0 x不是极值点。c)第二充分条件：)(xf在0 x处二阶可导，且0)(0 xf，0)(0 xf，则若0)(0 xf，则0 x为极大值点；若0)(0 xf，则0 x为极小值点。3、凹凸性及其判断，拐点 1）)(xf在区间I上连续，若2)()()2(,212121xfxfxxfIxx，则 称)(xf在 区 间I 上 的 图 形 是 凹 的；若2)()()2(,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I 上的图形是凸的。2）判定定理：)(xf在,ba上连续，在),(ba上有一阶、二阶导数，则 a)若0)(),(xfbax,则)(xf在,ba上的图形是凹的；b)若0)(),(xfbax,则)(xf在,ba上的图形是凸的。3）拐点：设)(xfy 在区间I上连续，0 x是)(xf的内点，如果曲线)(xfy 经过点)(,(00 xfx时，曲线的凹凸性改变了，则称点)(,(00 xfx为曲线的拐点。（五）不等式证明 第 10 页 共 10 页 1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）。（六）方程根的讨论 1、连续函数的介值定理；2、罗尔定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性。（七）渐近线 1、铅直渐近线：)(limxfax，则ax 为一条铅直渐近线；2、水平渐近线：bxfx)(lim，则by 为一条水平渐近线；3、斜 渐 近 线：kxxfx)(limbkxxfx)(lim存 在，则bkxy为一条斜渐近线。（同一方向上，水平和斜渐近线不同时存在。）第四章 不定积分（一）概念和性质 1、原函数：在区间I上，若函数)(xF可导，且)()(xfxF，第 11 页 共 11 页 则)(xF称为)(xf的一个原函数。2、不定积分：在区间I上，函数)(xf的带有任意常数的原函数称为)(xf在区间I上的不定积分。3、基本积分表（P217，13 个公式）；4、性质（线性）。（二）不定积分 不定积分的计算是整个积分运算的基础，定积分、重积分的计算都是依赖于此。因此掌握不定积分的计算方法和思路非常重要。不定积分计算的根本是最基本的积分公式，我们将这些公式分为两种，一种是直接将常用的求导公式反过来得到的积分公式：如：等 另一种是在计算积分的过程中得到的一些比较常用的公式 如：常见的积分法：第 12 页 共 12 页 第一类换元积分，又称为凑微分法，用来解决被积函数中同时存在原函数与导函数的情况，基本思想是 )()(d)()(xuduufxxxf 第二类换元积分是与第一类换元法相反的思路，在计算过程中应用得很频繁，基本思想是 )(1d)()()(xttttfdxxf 分部积分法主要解决两类不同类型的函数的乘积形式的积分，尤其是含有反三角函数、对数函数时的积分，基本思想是v duu vudv，关键点是u、v 的选取。常见的基本题型包括：有理函数的积分;可化为有理函数的积分(包括：三角有理式、指数有理式);根式的处理;分部积分法的使用等。三角公式：1+tan2x=sec2x cos2x+sin2x=1 （三）分部积分法：vduuvudv（四）有理函数积分 1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换等）。（五）有理函数的不定积分 P242 两个多项式的商Q(x)P(x)称为有理函数，又称有理分式。我们总假定分子多 第 13 页 共 13 页 项式 P(X)与分母多项式 Q(X)之间是没有公因式的。当分子多项式 P(X)的次数小于分母多项式 Q(X)的次数时，称这有理函数是真分式，否则称假分式。对于真分式Q(x)P(x)，如果分母可分解为两个多项式乘积 Q(X)=Q1(X)Q2(X),且 Q1(X)与 Q2(X)没有公因式，那么它可分拆成两个真分式之和：(X)Q(X)P(X)Q(X)PQ(X)P(X)2211（六）三角函数有理式的积分 P245 三角函数有理式的积分cosx)dxR(sinx,为通过万能代换 t2xtan化为三角函数有理式的积分 222t12t2xt an12x2t an2xs ec2x2t an2xcos2x2s i ns i nx 22t1t1cosx dtt12dx2arctantx2 dtt12)t1t1,t12tR(cosx)dxR(s i nx,2222 第五章 定积分（一）概念与性质：第 14 页 共 14 页 1、定义：niiibaxfdxxf10)(lim)(2、性质：（7条）性质 7（积分中值定理）函数)(xf在区间,ba上连续，则,ba，使)()(abfdxxfba （平 均 值：abdxxffba)()(）（二）微积分基本公式（NL 公式）1、变上限积分：设xadttfx)()(，则)()(xfx 推广：)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx 2、N L 公 式：若)(xF为)(xf的 一 个 原 函 数，则)()()(aFbFdxxfba（三）定积分 定积分的计算包含两方面：一基本思路是牛莱公式，利用不定积分的解题方法来计算;第 15 页 共 15 页 二、利用对称区间及函数的基本性质来解题，主要是运用函数的奇偶性。1、利用不定积分的计算方法 1)换元法 定理：设函数 f(x)在区间a,b上连续，函数满足条件：在区间上具有连续导数，其值域 则有 tttfdxxfbad)()()(注意：上下限要对应;2)分部积分法 bababavduuvudv出现抽象函数的导数或二阶导数，一律使用分部积分，例如设有一个原函数xs i nx，求 dx(x)xfx2x 3)首次积分法 2、对称区间上函数定积分的计算 第 16 页 共 16 页 1)利用奇偶性 设 f(x)在区间 a,-a上可积如果 f(x)是偶函数，则有dxf(x)2dxf(x)a0aa;如果 f(x)是奇函数，则有0dxf(x)aa。2)被积函数本身无奇偶性，直接计算积分又难算时考虑变量代换，令 x=-u，例如dxexx)1ln(11-特别地，分段函数的积分利用区间可加性先分段再计算，如果函数 f(x)的在区间 a,b上的解析式为 ，则;当被积函数中含有绝对值，最大值 max或最小值 min符号，或是极限式时，其本质上也是分段函数。因此，需要先写出被积函数的分段解析式，再分段计算。（四）反常积分 1、无穷积分：tatadxxfdxxf)(lim)(bttbdxxfdxxf)(lim)(第 17 页 共 17 页 00)()()(dxxfdxxfdxxf 2、瑕积分：btatbadxxfdxxf)(lim)(（a为瑕点）tabtbadxxfdxxf)(lim)(（b为瑕点）两个重要的反常积分：1)1 ,11 ,d1ppapxxpap 2)1 ,1 ,1)()(d)(d1qqqabxbxaxxqbaqbaq 第六章 定积分的应用（一）平面图形的面积 1、直角坐标：badxxfxfA)()(12 第 18 页 共 18 页 2、极坐标：dA)()(212122 （二）体积 1、旋转体体积：a)曲边梯形xbxaxxfy,),(轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：baxdxxfV)(2 b)曲边梯形xbxaxxfy,),(轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积：baydxxxfV)(2 （柱壳法）第 19 页 共 19 页 2、平行截面面积已知的立体：badxxAV)(（三）弧长 1、直角坐标：badxxfs2)(1 2、参数方程：dttts22)()(3、极坐标：ds22)()(第七章 微分方程（一）概念 1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。2、解：使微分方程成为恒等式的函数。通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同。特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。第 20 页 共 20 页 （二）变量可分离的方程 dxxfdyyg)()(，两边积分dxxfdyyg)()(（三）齐次型方程)(xydxdy，设xyu，则dxduxudxdy；或)(yxdydx，设yxv，则dydvyvdydx（四）一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy 用常数变易法或用公式：CdxexQeydxxPdxxP)()()(（五）可降阶的高阶微分方程 1、)()(xfyn，两边积分n次；2、),(yxfy（不显含有y），令py，则py；3、),(yyfy（不显含有x），令py，则dydppy （六）线性微分方程解的结构 1、21,yy是齐次线性方程的解，则2211yCyC也是；第 21 页 共 21 页 2、21,yy是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211yCyC是方程的通解；3、*2211yyCyCy为非齐次方程的通解，其中21,yy为对应齐次方程的线性无关的解，*y非齐次方程的特解。（七）常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程：0 qyypy 特征方程：02qprr，特征根：21,rr 特征根 通 解 实根 xrxreCeCy2121 221prr xrexCCy1)(21 ir,21)sincos(21xCxCeyx （八）常系数非齐次线性微分方程 )(xfqyypy 1、)()(xPexfmx 设特解)(*xQexymxk，其中 是重根 2,是一个单根 1,不是特征根 0,k 2、xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(21rr 第 22 页 共 22 页 设特解xxRxxRexymmxksin)(cos)()2()1(*，其中 ,maxnlm，i是特征根 1,i不是特征根 0,k 3.二阶常系数线性方程的类型欧拉方程 f(x)ypdxdyxpdxydx21222 （p1，p2为常数）的方程称为欧拉方程，对于这类方程，可令 x=et或 Intx=t,再根据复合函数的求导法则有：x1d td yd xd td td yd xd y 22222xdtdydtyd)dxdy(dxddxyd 于是原方程化为 )f(eypdtdy1)(pdtydt2122
