2016年高考数学理试题分类汇编：统计与概率1872.pdf

2016 年高考数学理试题分类汇编 统计与概率 一、选择题 1、（2016 年北京高考）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C 2、（2016 年山东高考）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是（A）56 （B）60 （C）120 （D）140 【答案】D 3、（2016 年全国I 高考）某公司的班车在7:30，8:00，8:30 发车，小明在7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（A）13 （B）12 （C）23 （D）34【答案】B 4、（2016 年全国II 高考）从区间 0,1随机抽取2n个数1x,2x，nx，1y，2y，ny，构成n 个数对11,x y，22,x y，,nnx y，其中两数的平方和小于1 的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 （A）4nm （B）2nm （C）4mn （D）2mn【答案】C 5、（2016 年全国III 高考）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C，B 点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是 (A)各月的平均最低气温都在00C 以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于200C 的月份有5 个 【答案】D 二、填空题 1、（2016 年山东高考）在,11上随机的取一个数k，则事件“直线kxy=与圆9522=+)(yx相交”发生的概率为 【答案】43 2、（2016 年上海高考）某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_（米）【答案】1.76 3、（2016 年四川高考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2 次试验中成功次数X 的均值是 .【答案】32 三、解答题 1、（2016 年北京高考）A、B、C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（1）试估计C 班的学生人数；（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1，表格中数据的平均数记为0，试判断0和1的大小，（结论不要求证明）解析】81004020，C 班学生40 人 在A 班中取到每个人的概率相同均为15 设A班中取到第i个人事件为,1,2,3,4,5iAi C 班中取到第j个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8jCj A班中取到ijAC的概率为iP 所求事件为D 则1234511111()55555P DPPPPP 12131313145858585858 38 10 三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2 但1中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0小，故拉低了平均值 2、（2016 年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3 分；如果只有一人猜对，则“星队”得1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每 轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：()“星队”至少猜对3 个成语的概率；()“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX 【解析】()“至少猜对3 个成语”包括“恰好猜对3 个成语”和“猜对4 个成语”设“至少猜对3 个成语”为事件A；“恰好猜对3 个成语”和“猜对4 个成语”分别为事件CB,，则1253232414331324343)(1212CCBP；4132324343)(CP 所以3241125)()()(CPBPAP ()“星队”两轮得分之和X的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是144131413141)0(XP；725144103143314131413241)1(1212CCXP；14425313243413131434332324141)2(12CXP；1211441231413243)3(12CXP；12514460)31433241(3243)4(12CXP；411443632433243)6(XP；X的分布列为：X 0 1 2 3 4 6 P 1441 725 14425 121 125 41 X的数学期望62314455264141253121214425172501441EX 3、（2016 年四川高考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5)分成9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中a 的值；（II）设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1 频率=(频率/组距)*组距 0.50.080.160.40.520.120.080.0421a 得0.3a （II）由图，不低于3吨人数所占百分比为0.50.120.080.04=12%全市月均用水量不低于3吨的人数为：3012%=3.6(万)（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：0.50.080.160.30.40.520.73 即73%的居民月均用水量小于2.5吨,同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.53x 假设月均用水量平均分布，则85%73%0.52.50.52.90.3x（吨）.注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。4、（2016 年天津高考）某小组共10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会.（I）设A 为事件“选出的2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（II）设X为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.【解析】（）设事件A：选2 人参加义工活动，次数之和为4 112343210C CC1C3P A（）随机变量X可能取值 0，1，2 222334210CCC40C15P X 11113334210C CC C71C15P X 1134210C C42C15P X X 0 1 2 P 415 715 415 7811515E X 5、（2016 年全国I 高考）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求()0.5P Xn，确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n 与20n 之中选其一，应选 用哪个？解：每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11 记事件iA为第一台机器3 年内换掉7i 个零件1,2,3,4i 记事件iB为第二台机器3 年内换掉7i 个零件1,2,3,4i 由题知 1341340.2P AP AP AP BP BP B，220.4P AP B 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22 11160.20.20.04P XP A P B 1221170.20.40.40.20.16P XP A P BP AP B 132231180.20.20.20.20.40.40.24P XP A P BP AP BP A P B 14233241190.20.20.20.20.40.2P XP A P BP AP BP A P BP AP B0.20.40.24 243342200.40.20.20.40.20.20.2P XP AP BP A P BP AP B 3443210.20.20.20.20.08P xP A P BP AP B 44220.20.20.04P xP AP B X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 要令0.5P xn，0.040.160.240.5，0.040.160.240.240.5 则n的最小值为19 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用 当19n 时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040 当20n 时，费用的期望为202005000.0810000.044080 所以应选用19n 6、（2016 年全国II 高考）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【解析】设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，()1()1(0.300.15)0.55P AP A 设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，()0.100.053()()0.5511P ABP B AP A 解：设本年度所交保费为随机变量X X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保费 0.85 0.300.151.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EXaaaaa 0.2550.150.250.30.1750.11.23aaaaaaa，平均保费与基本保费比值为1.23 7、（2016 年全国III 高考）下图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；（II）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量。参考数据：719.32iiy，7140.17iiit y，721()0.55iiyy，7 2.646.参考公式：相关系数12211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，回归方程yabt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niiiniittyybtt，=.a ybt 【解析】设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，()1()1(0.300.15)0.55P AP A 设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，()0.100.053()()0.5511P ABP B AP A 解：设本年度所交保费为随机变量X X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保费 0.85 0.300.151.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EXaaaaa 0.2550.150.250.30.1750.11.23aaaaaaa，平均保费与基本保费比值为1.23