通用版高考物理大二轮复习与增分策略专题三力与物体的曲线运动第2讲万有引力与航天5022.pdf

1 通用版高考物理大二轮复习与增分策略专题三力与物体的曲线运动第 2 讲万有引力与航天 1.在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供.其基本关系式为GMmr2mv2rm2rm(2T)2rm(2f)2r.在天体表面，忽略自转的情况下有GMmR2mg.2.卫星的绕行速度v、角速度、周期T与轨道半径r的关系(1)由GMmr2mv2r，得vGMr，则r越大，v越小.(2)由GMmr2m2r，得GMr3，则r越大，越小.(3)由GMmr2m42T2r，得T42r3GM，则r越大，T越大.3.卫星变轨(1)由低轨变高轨，需增大速度，稳定在高轨道上时速度比在低轨道小.(2)由高轨变低轨，需减小速度，稳定在低轨道上时速度比在高轨道大.4.宇宙速度(1)第一宇宙速度：推导过程为：由mgmv 21RGMmR2得：v1 GMRgR7.9 km/s.第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度.(2)第二宇宙速度：v211.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.(3)第三宇宙速度：v316.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.1.分析天体运动类问题的一条主线就是F万F向，抓住黄金代换公式GMgR2.2.确定天体表面重力加速度的方法有：(1)测重力法；(2)单摆法；(3)平抛(或竖直上抛)物体法；2(4)近地卫星环绕法.解题方略 1.利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于GMmR2mg，故天体质量MgR2G，天体密度MVM43R33g4GR.2.通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.(1)由万有引力等于向心力，即GMmr2m42T2r，得出中心天体质量M42r3GT2；(2)若已知天体半径R，则天体的平均密度MVM43R33r3GT2R3；(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度3GT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度.例 1 设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看做质量分布均匀的球体，半径为R.宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1 F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2F02.假设第三次在赤道平面内深度为R2的隧道底部，示数为F3；第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4.已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是()A.F3F04 F4F04 B.F3F04 F40 C.F315F04 F40 D.F34F0 F4F04 答案 B 预测 1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕，“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为()A.110 B.1 C.5 D.10 答案 B 3 解析 研究行星绕某一恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式为：GMmr2m42T2r，M42r3GT2“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，所以该中心恒星与太阳的质量比约为1203436521.预测 2 到目前为止，火星是除了地球以外人类了解最多的行星，已经有超过 30 枚探测器到达过火星，并发回了大量数据.如果已知万有引力常量为G，根据下列测量数据，能够得出火星密度的是()A.发射一颗绕火星做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期T B.测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r C.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的速度v D.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的角速度 答案 D 解析 根据GMmr2mr(2T)2可以得出火星的质量，但火星的半径未知，无法求出密度.故 A错误；测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期和轨道半径，根据万有引力提供向心力，可以求出太阳的质量，由于火星是环绕天体，不能求出其质量，所以无法求出密度.故 B 错误；根据GMmr2mv2r，得Mv2rG，密度v2rG43r33v24Gr2，由于火星的半径未知，无法求出密度.故 C 错误；根据GMmr2mr2得，Mr32G，则密度r32G43r3324G，可以求出火星的密度.故 D 正确.例 2 2016 年 2 月 1 日 15 点 29 分，我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五颗新一代北斗导航卫星.该卫星质量为m，轨道离地面的高度约为地球半径R的 3 倍.已知地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响.则()A.卫星的绕行速率大于 7.9 km/s B.卫星的绕行周期约为 8 2Rg 4 C.卫星所在处的重力加速度大小约为g4 D.卫星的动能大小约为mgR8 答案 D 解析 7.9 km/s 是第一宇宙速度，是卫星最大的环绕速度，所以该卫星的速度小于 7.9 km/s.故 A 错误；在地球表面质量为m0的物体，有GMm0R2m0g，所以有GMgR2.用M表示地球的质量，m表示卫星的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律得 GMm4R2m42T24Rmgmv24R 解得卫星的绕行周期约为T16Rg，卫星所在处的重力加速度大小约为 gg16 卫星的动能大小约为Ek12mv2mgR8.故 B、C 错误，D 正确.预测 3(2016全国乙卷17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍.假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为()A.1 h B.4 h C.8 h D.16 h 答案 B 解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律r3T2k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示.卫星的轨道半径为rRsin 302R 由r 31T 21r 32T 22得 6.6R32422R3T 22.5 解得T24 h.预测 4(2016四川理综3)国务院批复，自 2016 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”.1970 年 4 月 24 日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为 440 km，远地点高度约为 2 060 km；1984 年 4 月 8 日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空 35 786 km 的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为()A.a2a1a3 B.a3a2a1 C.a3a1a2 D.a1a2a3 答案 D 解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a2r，r2r3，则a2a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，GMmr2ma，由题目中数据可以得出，r1r2，则a2a2a3，选项 D 正确.例 3 近年来，火星探索计划不断推进.如图 1 所示，载人飞行器从地面发射升空，经过一系列的加速和变轨，在到达“近火星点”Q时，需要及时制动，使其成为火星的卫星.之后，又在绕火星轨道上的“近火星点”Q经过多次制动，进入绕火星的圆形工作轨道，最后制动，实现飞行器的软着陆，到达火星表面.下列说法正确的是()图 1 A.飞行器在轨道和轨道上均绕火星运行，所以具有相同的机械能 B.由于轨道与轨道都是绕火星运行，因此飞行器在两轨道上运行具有相同的周期 C.飞行器在轨道上从P到Q的过程中火星对飞行器的万有引力做正功 D.飞行器经过轨道和轨道上的Q 时速率相同 解析 飞行器由轨道在Q处必须制动才能进入轨道，所以飞行器在轨道上的机械能小于轨道上的机械能，故 A 错误.根据开普勒第三定律知，轨道的半长轴比轨道的半径大，则飞行器在轨道上运行的周期小，故 B 错误.飞行器在轨道上从P到Q的过程中，6 火星对飞行器的万有引力与速度方向的夹角小于 90，则万有引力做正功，故 C 正确.根据变轨原理知，飞行器经过轨道上的Q 时的速率大，故 D 错误.答案 C 预测 5 2016 年 5 月，天文爱好者迎来“火星冲日”的美丽天象.“火星冲日”是指火星和太阳正好分处于地球的两侧，三者几乎成一直线.若已知火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，地球绕太阳的公转周期为T，火星相邻两次冲日的时间间隔为t0，则火星绕太阳运行的周期为()A.t 20T B.T2t0 C.t0Tt0T D.t0t0TT 答案 D 解析“火星冲日”是指火星和太阳正好分处于地球的两侧，三者几乎成一直线，t0时间内地球和火星转过的角度之差等于 2，根据(2T2T火)t02 得，T火t0t0TT.预测 6 已知，某卫星在赤道上空轨道半径为r1的圆形轨道上绕地球运行的周期为T，卫星运动方向与地球自转方向相同，赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方.假设某时刻，该卫星如图 2 所示，在A点变轨进入椭圆轨道，近地点B到地心距离为r2.设卫星由A到B运动的时间为t，地球自转周期为T0，不计空气阻力.则()图 2 A.T38T0 B.tr1r2T2r1 r1r22r1 C.卫星在图中椭圆轨道由A到B时，机械能增大 D.卫星由图中圆轨道进入椭圆轨道过程中，机械能不变 答案 A 解析 赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方，知三天内卫星转了 8 圈，则有 3T08T，解得T38T0，故 A 正确；根据开普勒第三定律知，r1r2232t2r 31T2，解得tTr1r24r1 r1r22r1，故 B 错误；7 卫星在图中椭圆轨道由A到B时，只有万有引力做功，机械能守恒，故 C 错误；卫星由圆轨道进入椭圆轨道，需减速，则机械能减小，故 D 错误.解题方略 双星系统模型有以下特点：(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm1m2L2m1 21r1，Gm1m2L2m2 22r2.(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1T2，12.(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1r2L.例 4 2016 年 2 月 11 日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦 100 年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”.双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为 r(a星的轨道半径大于b星的轨道半径)，则()A.b星的周期为lrlrT B.a星的线速度大小为lrT C.a、b两颗星的半径之比为llr D.a、b两颗星的质量之比为lrlr 解析 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以b星的周期为T，故 A 错误；根据题意可知，rarbl，rarbr，解得：ralr2，rblr2，则a星的线速度大小va2raTlrT，rarblrlr，故 B 正确，C 错误；双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：ma2ramb2rb，解得：mambrbralrlr，故 D 错误.答案 B 预测 7 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图 3 所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是()8 图 3 A.每颗星做圆周运动的角速度为 3GmL3 B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的 2 倍，则周期变为原来的 2 倍 D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的 2 倍，则线速度变为原来的 4 倍 答案 C 解析 任意两星间的万有引力FGm2L2，对任一星受力分析，如图所示.由图中几何关系和牛顿第二定律可得：3Fmam2L3，联立可得：3GmL3，a2L33GmL2，选项 A、B 错误；由周期公式可得：T22 L33Gm，当L和m都变为原来的 2 倍，则周期T2T，选项 C 正确；由速度公式可得：vL3 GmL，当L和m都变为原来的 2 倍，则线速度vv，选项 D 错误.预测 8(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图 4 所示，四颗质量均为m的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗星体都在同一平面内绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，引力常量为G，则()图 4 A.每颗星做圆周运动的线速度大小为124Gma 9 B.每颗星做圆周运动的角速度大小为Gm2a3 C.每颗星做圆周运动的周期为 22a3Gm D.每颗星做圆周运动的加速度与质量m有关 答案 AD 解析 由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r22a，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：Gm22a22Gm2a2cos 45mv222a，解得v124Gma，角 速 度 为vr 222Gma3，周 期 为T222a34 2Gm，加速度av2r2 21Gm2a2，故选项 A、D 正确，B、C 错误.专题强化练 1.关于静止在地球表面(两极除外)随地球自转的物体，下列说法正确的是()A.物体所受重力等于地球对它的万有引力 B.物体的加速度方向可能不指向地球中心 C.物体所受合外力等于地球对它的万有引力 D.物体在地球表面不同处角速度可能不同 答案 B 解析 考虑了地球的自转，万有引力不等于重力，重力是万有引力的一个分力，只有两极重力才严格与万有引力相等，故 A 错误；物体的加速度方向指向轨道的圆心，而地球上的物体随地球做匀速圆周运动的轨道与地轴垂直，且纬度越高轨道半径越小，只有在赤道上的物体，加速度才指向地心，故 B 正确；在地球上随地球自转的物体，跟随地球一起做匀速圆周运动，万有引力和支持力的合力等于向心力，万有引力沿轨道半径方向上的分力提供向心力，另一分力是重力，所以物体所受合外力不等于地球对它的万有引力，故 C 错误；地球表面不同纬度的物体绕同一地轴转动，角速度相等，故 D 错误.2.(多选)2016 年 4 月 6 日 1 时 38 分，我国首颗微重力科学实验卫星实践十号返回式科学实验卫星，在酒泉卫星发射中心由长征二号丁运载火箭发射升空，进入近百万米预定轨道，开始了为期 15 天的太空之旅，大约能围绕地球转 200 圈，如图 1 所示.实践十号卫星的微重力水平可达到地球表面重力的 106g，实践十号将在太空中完成 19 项微重力科学和空间生命 10 科学实验，力争取得重大科学成果.以下关于实践十号卫星的相关描述中正确的有()图 1 A.实践十号卫星在地球同步轨道上 B.实践十号卫星的环绕速度一定小于第一宇宙速度 C.在实践十号卫星内进行的 19 项科学实验都是在完全失重状态下完成的 D.实践十号卫星运行中因受微薄空气阻力，需定期点火加速调整轨道 答案 BD 解析 实践十号卫星的周期T1524200 h1.8 h，不是地球同步卫星，所以不在地球同步轨道上，故 A 错误；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最大的圆周运动的环绕速度，则实践十号卫星的环绕速度一定小于第一宇宙速度，故 B 正确；根据题意可知，实践十号卫星内进行的 19 项科学实验都是在微重力情况下做的，此时重力没有全部提供向心力，不是完全失重状态，故 C 错误；实践十号卫星运行中因受微薄空气阻力，轨道半径将变小，速度变小，所以需定期点火加速调整轨道，故 D 正确.3.(多选)如图 2 所示为一卫星沿椭圆轨道绕地球运动，其周期为 24 小时，A、C两点分别为轨道上的远地点和近地点，B为短轴和轨道的交点.则下列说法正确的是()图 2 A.卫星从A运动到B和从B运动到C的时间相等 B.卫星运动轨道上A、C间的距离和地球同步卫星轨道的直径相等 C.卫星在A点速度比地球同步卫星的速度大 D.卫星在A点的加速度比地球同步卫星的加速度小 答案 BD 解析 根据开普勒第二定律知，卫星从A运动到B比从B运动到C的时间长，故 A 错误；根据开普勒第三定律a3T2k，该卫星与地球同步卫星的周期相等，则卫星运动轨道上A、C间的