2006年考研数学一试题与答案解析5192.pdf

fpg fpg 2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim1 cosxxxx.(2)微分方程(1)yxyx 通解是 .(3)设是锥面22zxy(01z)下侧,则23(1)xdydzydzdxzdxdy .(4)点(2,1,0)到平面3450 xyz距离z=.(5)设矩阵2112A,E为 2 阶单位矩阵,矩阵B满足2BABE,则B=.(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上均匀分布,则max,1PX Y=.二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前字母填在题后括号内)(7)设函数()yf x具有二阶导数,且()0,()0fxfx,x为自变量x在0 x处增量,y与dy分别为()f x在点0 x处对应增量与微分,若0 x,则(A)0dxy (B)0ydy (C)0ydy (D)0dyy (8)设(,)f x y为连续函数,则1400(cos,sin)df rrrdr等于(A)22120(,)xxdxf x y dy (B)221200(,)xdxf x y dy(C)22120(,)yydyf x y dx (C)221200(,)ydyf x y dx(9)若级数1nna收敛,则级数(A)1nna收敛 (B)1(1)nnna收敛 fpg fpg(C)11nnna a收敛 (D)112nnnaa收敛 (10)设(,)f x y与(,)x y均为可微函数,且1(,)0yx y.已知00(,)xy是(,)f x y在约束条件(,)0 x y下一个极值点,下列选项正确是(A)若00(,)0 xfxy,则00(,)0yfxy (B)若00(,)0 xfxy,则00(,)0yfxy(C)若00(,)0 xfxy,则00(,)0yfxy (D)若00(,)0 xfxy,则00(,)0yfxy(11)设12,s 均为n维列向量,A是mn矩阵,下列选项正确是 (A)若12,s 线性相关,则12,sAAA线性相关 (B)若12,s 线性相关,则12,sAAA线性无关 (C)若12,s 线性无关,则12,sAAA线性相关(D)若12,s 线性无关,则12,sAAA线性无关.(12)设A为 3 阶矩阵,将A第 2 行加到第 1 行得B,再将B第 1 列-1 倍加到第 2 列得C,记110010001P,则(A)1CP AP (B)1CPAP (C)TCP AP (D)TCPAP(13)设,A B为随机事件,且()0,(|)1P BP A B,则必有 (A)()()P ABP A (B)()()P ABP B (C)()()P ABP A (D)()()P ABP B(14)设随机变量X服从正态分布211(,)N,Y服从正态分布222(,)N,且12|1|1,PXP Y则(A)12 (B)12 (C)12 (D)12 三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)fpg fpg(15)(本题满分 10 分)设区域 D=22,1,0 x y xyx,计算二重积分2211DxyIdxdyxy.(16)(本题满分 12 分)设数列 nx满足110,sin1,2,.nxxxn.求:(1)证明limnxx存在,并求之.(2)计算211limnxnxnxx.(17)(本题满分 12 分)将函数 22xf xxx展开成x幂级数.(18)(本题满分 12 分)设函数 0,f u在内具有二阶导数 且22zfxy满足等式22220zzxy.(1)验证 0fufuu.(2)若 10,11,ff 求函数()f u表达式.(19)(本题满分 12 分)设在上半平面,0Dx yy内,数,f x y是有连续偏导数,且对任意0t 都有 2,f tx tyt f x y.证明:对L内任意分段光滑有向简单闭曲线L,都有(,)(,)0Lyf x y dxxf x y dy.(20)(本题满分 9 分)已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关解,(1)证明方程组系数矩阵A秩 2rA.(2)求,a b值及方程组通解.fpg fpg(21)(本题满分 9 分)设 3 阶实对称矩阵A各行元素之和均为 3,向量121,2,1,0,1,1TT 是线性方程组0 x A两个解.(1)求A特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得TQ AQA.(22)(本题满分 9 分)随机变量x概率密度为 21,1021,02,40,令其它xxfxxyxF x y 为二维随机变量(,)X Y分布函数.(1)求Y概率密度 Yfy.(2)1,42F.(23)(本题满分 9 分)设总体X概率密度为(,0)F X 10 0112xx其它,其中是未知参数(01),12n,.,XXX为来自总体X简单随机样本,记N为样本值12,.,nx xx中小于 1 个数,求最大似然估计.fpg fpg 2006 年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析 一、填空题（1）0ln(1)lim1 cosxxxx=2 .221cos1,)1ln(xxxx （0 x 当时）（2）微分方程(1)yxyx 通解是(0)xycxex，这是变量可分离方程.（3）设是锥面22(01)xyZZ=下侧，则23(1)2xdydzydzdxzdxdy 补一个曲面221:1xyz1上侧 16dxdydz（为锥面和平面1所围区域）6V（V为上述圆锥体体积）而123(1)0dydzydzdxzdxdy（在1上：1,0zdz）（4）,1,0,4502xyzd点(2)到平面3的距离(5)设A=2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|=.-1 2 解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得|B|A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.（6）91 二、选择题（7）设函数()yf x具有二阶导数，且()0fx，()0fx，x为自变量x在0 x处增量，y与dy分别为()f x在点0 x处对应增量与微分.若0 x，则A(11)设1,2,s 都是 n 维向量，A是 m n 矩阵，则（）成立.(A)若1,2,s线性相关,则A 1,A 2,A s线性相关.(B)若1,2,s线性相关,则A 1,A 2,A s线性无关.fpg fpg(C)若1,2,s线性无关,则A1,A2,As线性相关.(D)若1,2,s线性无关,则A1,A2,As线性无关.解:(A)本题考是线性相关性判断问题,可以用定义解.若1,2,s线性相关,则存在不全为 0 数 c1,c2,cs使得 c11+c22+css=0,用A左乘等式两边,得 c1A1+c2A2+csAs=0,于是A1,A2,As线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.1,2,s r(1,2,s)=s.2.r(AB)r(B).矩阵(A1,A2,As)=A(1,2,s),因此 r(A1,A2,As)r(1,2,s).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A是 3 阶矩阵,将A第 2 列加到第 1 列上得B,将B第 1 列-1 倍加到第 2 列上得C.记 1 1 0 P=0 1 0 ,则 0 0 1(A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.解:(B)用初等矩阵在乘法中作用得出 B=PA,1-1 0 C=B 0 1 0=BP-1=PAP-1.0 0 1 fpg fpg（13）根据乘法公式与加法公式有：P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)应选 C（14）依题：).1,0(),10(2211NYNx，因 ,1121YPXP 即 .11222111YPXp 所以 .,112121 应选 A 三、解答题（18）设函数()(0,)f u在内具有二阶导数，且22Zfxy满足等式（I）验证()()0f ufuu（II）若(1)0,(1)1ff 求函数()f u 的表达式 证：（I）22222222;zxzyfxyfxyxyxyxy （II）令(),;dppdpduf upcduupu 则（19）设 在 上 半 平 面(,)|0Dx yy内，函 数(,)fx y具 有 连 续 偏 导 数，且 对 任 意0t 都 有2(,)(,)f t x t ytfx y 证明：对D内任意分段光滑有向简单闭曲线L，都有0),(),(dyyxxfdxyxyfL.证：把2(,)(,)f tx tytf x yt两边对 求导 fpg fpg 得：(,)(,)2(,)xyxftx tyyftx tytf x y 令 1t，则(,)(,)2(,)xyxfx yyfx yf x y 再令(,),(,)Pyf x yQxf x y 所给曲线积分等于 0 充分必要条件为QPxy 今 (,)(,)xQfx yxfx yx 要求 QPxy成立，只要(,)(,)2(,)xyxfx yyfx yf x y 我们已经证明，QPxy，于是结论成立.(20)已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1，ax1+x2+3x3+bx4=1 有 3 个线性无关解.证明此方程组系数矩阵A秩为 2.求 a,b值和方程组通解.解:设1,2,3是方程组3 个线性无关解,则2-1,3-1是AX=0两个线性无关解.于是AX=0基础解系中解个数不少于 2,即 4-r(A)2,从而 r(A)2.又因为A行向量是两两线性无关,所以 r(A)2.两个不等式说明 r(A)=2.对方程组增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|)=4 3 5-1 -1 0 1 1 5 3 ,a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由 r(A)=2,得出 a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:fpg fpg 1 0 2-4 2 0 1-1 5 -3 .0 0 0 0 0 得同解方程组 x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求 出 一 个 特 解(2,-3,0,0)T和AX=0 基 础 解 系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得 到 方 程 组 通 解:(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,c1,c2任意.(21)设3 阶实对称矩阵A各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0解.求A特征值和特征向量.求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得 Q TAQ=.解:条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 0=(1,1,1)T是A特征向量,特征值为 3.又1,2都是AX=0 解说明它们也都是A特征向量,特征值为 0.由于1,2线性无关,特征值 0 重数大于 1.于是A特征值为 3,0,0.属于 3 特征向量:c0,c0.属于 0 特征向量:c11+c22,c1,c2不都为 0.将0单位化,得0=(33,33,33)T.对1,2作施密特正交化,1=(0,-22,22)T,2=(-36,66,66)T.作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ=0 0 0 .0 0 0 fpg fpg（22）随机变量X概率密度为其他,020,4101,21)(xxxfX，令2XY，),(yxF为二维随机变量）（YX,分布函数.（）求Y概率密度；（）)4,21(F 解：（）yyyyyXPyYPyFY4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式 yyydxdxyXyP00434121)()1(式；yydxdxyXyP00141214121)()2(式.所以：其他,041,8110,83)()(yyyyyFyfYY 这个解法是从分布函数最基本概率定义入手，对 y 进行适当讨论即可，在新东方辅导班里我也经常讲到，是基本题型.（）)4,21(F)212()22,21()4,21()4,21(2XPXXPXXPYXP4121211dx.（23）设总体X概率密度为其他,021,110,),(xxxf，其中是未知参数（01）.fpg fpg nXXX,21为来自总体简单随机样本，记 N 为样本值nxxx,21中小于 1 个数.求最大似然估计.解：对样本nxxx,21按照1 或者1 进行分类：pNppxxx,211，pnpNpNxxx,211.似然函数其他，,01,1,)1()(2121pnpNpNpNppNnNxxxxxxL，在pNppxxx,210 内任意分段光滑简单闭曲线 C，有022)(42Cyxxydydxy；（II）求函数)(y表达式.（20）（本题满分 9 分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),(xxaxxaxaxxxf秩为 2.（I）求 a 值；（II）求正交变换Qyx，把),(321xxxf化成标准形；（III）求方程),(321xxxf=0 解.（21）（本题满分 9 分）已知 3 阶矩阵 A 第一行是cbacba,),(不全为零，矩阵kB63642321（k 为常数），且 AB=O,求线性方程组 Ax=0 通解.（22）（本题满分 9 分）设二维随机变量(X,Y)概率密度为 求：（I）(X,Y)边缘概率密度)(),(yfxfYX；fpg fpg （II）YXZ 2概率密度).(zfZ（23）（本题满分9 分）设)2(,21nXXXn为来自总体 N(0,1)简单随机样本，X为样本均值，记.,2,1,niXXYii 求：（I）iY方差niDYi,2,1,；（II）1Y与nY协方差).,(1nYYCov