第五讲立体几何(文科)7545.pdf

第五讲 立体几何 第一节 空间几何体 三视图和几何体的结构特征是新课标高考的必考点，.几何体的表面积和体积也是高考命题的重点和热点，几乎年年出现，大多以小题出现，难度不大，大题中也有以三视图为背景条件的求面积、体积及位置关系问题，总体难度一般控制在之间.。考试要求（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）能画出简单空间图形（长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等简单组合体）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；题型一 三视图 例 1（1）右图 5-1-1，是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A9 B10 C11 D12 点拨 识别上述三视图表示的立体图形 解 从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱体组合而成的简单几何体，其表面积为：22411221 312.S ，故选 D.易错点 对原几何体的下部分（圆柱体）的分析出错，误以为是长方体.（2）将正三棱柱截去三个角（如图 5-1-2 中，图 1 所示ABC，分别是GHI三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（）点拨 侧视图和底面和 HGDE 垂直，分析 A 的位置.解：在图 2 的右边放扇墙(心中有墙),可得答案 A 易错点 对于左视图中点 A 的位置分析不正确.E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图 1 图 2 B E A B E B B E C B E D 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 图 5-1-1 图 5-1-2 变式与引申 1 （1）一个体积为12 3的正三棱柱的三视图如图 5-1-3 所示，则这个三棱柱的左视图的面积为 （）A6 3 B8 C8 3 D12 （2）用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图 5-1-4 所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是（）.A6 B7 C8 D9 题型二 与球有关组合体 例 2 如图 5-1-5 正三棱锥的高为 1，底面边长为62，内有一个球与四个面都相切.求棱锥的表面积和球的半径.点拨 解决这类题的关键是根据空间想象能力和组合体的特点画出截面图.解：如图图 5-1-6 过 PA 与球心 O 作截面 PAE 与平面 PCB 交于 PE，与平面 ABC 交于 AE，因ABC 是正三角形，易知 AE 即是ABC 中 BC 边上的高，又是 BC 边上的中线，作为正三棱锥的高 PD 通过 球 心，且D是 三 角 形 ABC的 重 心，据 此 根 据 底 面 边 长 为62，即 可 算 出 21132 62,123,332DEAEPE 图 5-1-3 图 5-1-4 pABCo图 5-1-5 pAEoFD图 5-1-6 由POFPED，知,1PErDEr.26,312rrr.362962433622132底侧表SSS 易错点，立体几何问题转化为平面问题解决.，截面图准确画出是最关键，也是容易出错的地方。变式与引申 2 如图图 5-1-7 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积。题型三；旋转体问题 例 3 一个圆锥的底面半径为 2cm，高为 6cm，其中有一个高为xcm 的内接圆柱：（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱侧面积最大并求出最大值.点拨：充分利用轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题，然后注意平面几何的性质.例如相似图形对应边成比例、直角三角形的勾股定理等.解：（1）母线长).(1022622cml 侧面积).(1042cmrlS（2）如图 5-1-8 所示，在轴截面图中设圆柱底面半径为r，则,662xr.631xr 图 5-1-7 r x图 5-1-8 xxS632圆柱侧 （0 x6）.62)6(322xx 这时,6xx 即.3x 故当cmx3时，圆柱侧面积最大，最大值为.62cm 易错点，不能建立圆柱的侧面积与x的函数关系式；忽视x的取值范围；变式与引申 3 如图 5-1-9，ABC 的三边之长分别是 AC=3，BC=3，AB=5.现以 AB 所在的直线为轴，将此三角形旋转一周如图 5-1-10，求所得旋转体的表面积和体积.题型四：割补应用 例 4 如图 5-1-11，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且AED、BCF 均为正三角形，EFAB，EF=2，求该多面体的体积。B A C B C C A 图 5-1-9 图 5-1-10 B A C D E F 图 5-1-11 点拨：这是一个五面体，由于 EF 与 AB 不等，这个几何体不是很规则，如果我们过 AD 作 EF 直截面 ADM，过BC 作EF直截面GBC，则面ADM面GBC.这个五面体就分割成直三棱柱ADM-BCG 和两个三棱锥：E-ADM，F-BCG.解：如图 5-1-12，过 BC 作 EF 的直截面 BCG，过 AD 作 EF 的直截面 ADM 则面 BCG面 ADM，ADMBCG 为直三棱柱.FBCG 与 EADM 是体积相等的两个三棱锥，取 BC 中点为 O，由于 BCF 为正三角形 311,(32)222FOGF 2222GOFOGF 112212224SBC GO BCG 22144ADMBCGVV 1 212122234212FBCGVV 2224123VVV12 易错点；“补”，“割”在解立几问题中是比较重要的思想方法，将不规则几何体怎样“补”，“割”成熟悉的几何体是关键，本题如何“割”是易错处。变式与引申 4 如图 5-1-13 已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 a 的正方体，E、F 分别为棱 AA1与 CC1的中点，求四棱锥 A1EBFD1的体积.E M G F D A B O C 图 5-1-12 A1 D F E A B1 C1 D1 图 5-1-13 本节主要考查（1）知识点有识别三视图和三视图的还原、几何体的结构特征、几何体的面积和体积。（2）技能技巧：割补法、等积变换等。（3）数学思想：数形结合，转化化归的应用以及观察能力，归纳能力，空间想象能力，运算求解能力等基本数学能力.点 评 （1）三视图是立体几何的重点，也是新课标的一个重点内容，也是高考的热点，主要考察如何识别三视图和还原成直观图（如例题 1）；（2）在分析三视图还原成几何体过程中，还原几何体是要注意确定三视方向分析组合体的组成形式，特点交线位置和虚实；还原数据时要注意对应：主，俯长对正；主，左高平齐；左，俯宽相等。（3）多面体的表面积是各个面的面积之和。圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理。（4）求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式13VSh进行计算即可。常用方法为：割补法和等积变换法：割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积；等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面。求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积性”可求“点到面的距离”。习题 51 1一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图 5-1-14 所示，则该集合体的俯视图为：（）2、直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于 。3、已知某几何体的俯视图是如图5-1-15所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 图 5-1-14 (1)求该儿何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S 4、如图 5-1-16，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，OAABCD 底面，2OA，M为OA的中点（）求四棱锥OABCD的体积；（）求异面直线 OB 与 MD 所成角的正切值 5、如图图 5-1-17 所示，等腰ABC 的底边66AB，高 CD=3，点 E 是线段 BD 上异于点 B、D 的动点，点 F 在 BC 边上，且 EFAB 现没 EF 将BEF 折起到PEF 的位置，使 PEAE，记 BE=)(,xVx表示四棱锥 PACFE 的体积.（1）求证：面 PEF面 ACFE；（2）求)(xV的表达式，并求当x为何值时)(xV取得最大值 第二节 点、直线、平面之间的位置关系 立体几何中点、直线、平面之间的位置关系是高考命题的重点和热点，其中线面垂直的判定和性质几图 5-1-15 MABDCO图 5-1-16 P B C A D E F 图 5-1-17 乎年年出现，面面垂直的性质和判定定理也是高考的一个热点，同时各平行的判定和性质也仍会被关注，考题以选择、填空、解答题的形式出现，属中档或中高档题，难度一般控制在之间。考试要求（1）理解空间点、直线、平面位置关系的定义；（2）理解线线平行，线面平行，面面平行的判定及性质定理，能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题；（3）理解线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定及性质定理，能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题。题型一 线面关系判断 例 1（2007 年江苏理科第 4 题）已知两条直线,m n，两个平面,，给出下面四个命题：/,mn mn /,/mnmn/,/mn mn /,/,mn mn 其中正确命题的序号是。点拨：考虑全面,准确地将题中符号、文字、图形三种语言进行转化和变换，借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断学科网 解析：正确命题的序号是、。因为对于，由于两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此正确；对于，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但不能确定它们平行，因此是错误的；对于，因为直线 n 可能位于平面内，因此是错误的；对于，因为两条平行线中一条垂直一个平面,则另一条也垂直于跟它平行的平面,是正确的.易错点：对于考虑不全面：认为两直线平行，其中一条直线平行一 个平面，那么另一条直线也平行这个平面，因此是正确的。变式与引申 1 设,m n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题正确的是学科网 A若,/mn mn，则/B若/,/,/,mn 则/mn学科网 C若,/,/mn，则mn D若/,/,/,mn mn则/学科网 学科网 题型二 空间的平行关系 例 2 已知：如图 5-1-18，正四棱锥ABCDP 中，M、N分别为PA、BD上的点，且有 MPAMNBDN:.求证：直线MN PBCAN BCQ PQ5-1-19ADBC由此可证明ANDQNB.则NBDNNQAN:.由已知：MPAMNQANMPAMNBDN:,:PQMN/.又PQ平面MNPBC,平面PBC，/MN平面PBC.方法 2 作ABME/交PB于E，作DCNF/交BC于F，连EF，如图 5-1-20 C A B D M N P 图 5-1-19 Q A B C D M N P 图 5-1-20 F E A B C D M N P 图 5-1-18/,:.MEABMEABPMPA BDNBDCNFDCNF:,/由已知,:NBDNMPAM可得BDNBPAPM:再由可得DCNFABME:.由正四棱锥的性质，有DCAB.所以，NFME.由ABME/，NF得MEDCABDCNF/,/,/.则四边形MNFE为平行四边形，所以./EFMN又EF平面,PBCMN平面PBC.所以/MN平面PBC。方法 3 作ADNG/交AB于G,连,MG如图 5-1-21.ADNG/.NDBNGABG:由已知MAPMNDBN:所以:,BG GAPMMA则PBMG/又,/BCADGN且MG平面PBC GN平面,PBC,GGNMG 平面/MGN平面PBC,又MN平面/,MNMGN 平面PBC。易错点：利用已知条件MPAMNBDN:出错，不能准确得出所需结论。变式与引申 2 如图图 5-1-22：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60,ABCPA平面 ABCD，点,M N分别为,BC PA的中点，且2 ABPA.(1)证明：BC平面AMN；(2)求三棱锥AMCN 的体积；(3)在线段 PD 上是否存在一点 E，使得/NM平面ACE；若存在，求出 PE 的长；若不存在，说明理由.题型三 空间的垂直关系 例 3（2010 广东文数第 18 题）如图 5-1-23，弧 AEC 是半径为a的半圆，AC 为直径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B 和点 C图 5-1-22 图 5-1-23 C A B D M N P 图 5-1-21 G 为线段 AD 的三等分点，平面 AEC 外一点 F 满足 FC平面 BED,FB=a5（1）证明：EBFD（2）求点 B 到平面 FED 的距离.点拨 设法证明BE平面FBD即可（1）证明：点 E 为AC的中点，且,ABBC AC为直径 EBAC FCBED 平面，且BEBED平面FCBE FCAC=C BE平面 FBD FD平面 FBD EBFD （2）解：FCBED 平面，且BDBED 平面 FCBD 又BCDC，5FDFBa 32211 122533 23F EBDFEDaVSEBaaaa,EBBDFFBBDF平面且平面 aaaEBFBEF652222 aaaBDEBEDBDEB542222 222221)26()5(621aaaSFED 则点 B 到平面 FED 的距离aSVdFEDEBDF2121431 易错点 利用等体积法求距离时，容易出错.变式与引申 3 如图 5-1-24，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 是直角三角形，ABC90，2ABBCBB1a，且 A1CAC1D，BC1B1CE，截面 ABC1与截面 A1B1C 交于 DE，(1)求证：A1B1平面 BB1C1C(2)求证：A1CBC1(3)求证：DE平面 BB1C1C 题型四 综合运用 例 4 如图 5-1-25 是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）图 5-1-24 4 2 2 2 左视图 俯视图 主观图 MDEBACN图 5-1-25 被削去上底后的 直观图与三视图的左视图、俯视图，在直观图中，M 是 BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三 角形，有关数据如图所示.(1)求出该几何体的体积.(2)若 N 是 BC 的中点，求证：/AN平面CME；(3)求证：平面BDE 平面BCD.点拨(1)先对应求出各边，(2)找线线平行，(3)找线面垂直 解：(1)由题意可知：四棱锥ACDEB中，平面ABC平面ACDE，ACAB 所以，AB平面ACDE，又4,2CDAEABAC，则四棱锥ACDEB的体积为：4222)24(3131ABSVACDE(2)连接MN，则,/,/CDAECDMN 又CDAEMN21，所以四边形ANME为平行四边形，EMAN/AN平面CME,EM平面CME,所以，/AN平面CME；(3)ABAC ,N是BC的中点,BCAN，又平面ABC平面BCDAN平面BCD 由(2)知：EMAN/EM平面BCD又EM平面BDE所以，平面BDE 平面BCD.易错点 容易求错相应边的值，很难找出线面垂直.变式与引申 4 一个多面体的直观图和三视图如图 5-1-26 所示，其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点，G 是 DF 上的一动点.（1）求证：;ACGN （2）当 FG=GD 时，在棱 AD 上确定一点 P，使得 GP 图 5-1-26 本节主要考查（1）线线，线面，面面平行的判定与性质定理；线线，线面，面面垂直的判定与性质定理以及这些知识的综合应用（2）技能技巧；（3）数形结合，转化化归的应用以及观察能力，归纳能力，空间想象能力，运算求解能力等基本数学能力.点 评 （1）平行关系是立体几何中的重点，也是高考中常考热点，在解决线面，面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意转化的方向总是受题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.（2）证明线面平行可以使用线面平行的判定定理，也可以使用面面平行的性质定理.在证明过程中，画辅助线构造几何图形往往是必不可少的步骤，构造时应紧密结合已知条件和平面几何的有关知识，主要是两条直线平行的判定定理，可以从以下两种情况进行考虑。用线面平行的判定定理来证：构造一个三角形、或一个平行四边形，使其一边在所证的平面内，利用相关的定理、性质证明两直线平行。用面面平行的性质定理来证：构造一个平面图形，往往是三角形，使三角形的一边为所证的直线，证明这个三角形另两边与所证的平面平行.（3）垂直关系是立体几何中的必考点，无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件下手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所以证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.（4）解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：线线平行（垂直）判定性质 线面平行（垂直）判定性质面面平行（垂直）（5）对于平行与垂直关系，应根据本节的各种概念，定理多的特点进行复习，重在理清各种定理的特征和关系，总结规律，重视通性通法，培养计算能力和应用能力.习题 52 1 设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直 上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）2 如 图5-1-27，在 四 面 体ABCD中，CBCDADBD，EF，分别是ABBD，的中点 DEFCAB图 5-1-27 求证：（1）直线/EF面ACD；（2）面EFC 面BCD 3（2010 陕西文数 18 题）如图 5-1-28，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F 分别是 PB,PC 的中点.(1)证明：EF 平面 PAD；(2)求三棱锥 EABC 的体积 V.4如图 5-1-29，已知直三棱柱 ABCA1B1C1，4,2,901AABCACACB.E、F 分别是棱 CC1、AB 中点.（1）求证：1BBCF；（2）求四棱锥 AECBB1的体积；（3）判断直线 CF 和平面 AEB1的位置关系，并加 以证明.5 如 图5-1-30已 知 直 角 梯 形ABCD中,/ABCD,1,2,13,ABBC ABBCCD 过A作 AECD,垂足为E,G、F 分别为AD、CE的中点,现将ADE沿AE折叠,使得DEEC.（1）求证：BCCDE 面；（2）求证：/FGBCD面；（3）在线段AE上找一点R,使得面BDR 面DCB,并说明理由.图 5-1-28 图 5-1-29 A B C D E G F A B C D E G F 图 5-1-30 第五讲 测试题 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1、某几何体的三视图如图 5-1-31 所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为 A83 B44 5 C43 D12 2 某几何体的三视图如图 5-1-32 如下，则该几何体的体积是 A.12 B.16 C.48 D.64 3、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 5-1-33 所示,则其侧面积等于 A3 B2 C2 3 D6 4、与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个 5、已知两条直线nm,，两个平面,，给出下列四个命题 nmnm,/nmnm/,/,/nmnm nmnm,/,/图 5-1-31 正视图 侧视图 俯视图 4 4 3 图 5-1-32 图 5-1-33 其中正确命题的序号为 6、已知,S A B C是球O表面上的点，SAABC 平面，ABBC，1SAAB，2BC，则 球O的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）7、已知一个四面体的一条边长为6，其余边长均为2，则此四面体的外接球半径为 A53 B.5 C.153 D.155 8、已知正四棱锥SABCD中，2 3SA，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）（A）1 （B）3 （C）2 （D）3 9、若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）(A)26 (B)23 (C)33 (D)23 10、在正四棱柱1111DCBAABCD 中，3,11AAAB，E 为 AB 上一个动点，则CEED1的最小值为 A 22 B 10 C 15 D22 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）11、已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为_.12、ABC 的三边长为 1，3，2，P 为平面 ABC 外一点，它到三顶点的距离都等于 2，则 P 到平面 ABC的距离为_.13、已知球 O 的表面上四点 A、B、C、D，DA 平面 ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，则球 O 的体积等于 .14、设线段BCCDABBC,且CD与平面成 30角，且2CDBCAB，则AD=_ 15、如图 5-1-34，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且22EF.现有如下四个结论：;BEAC EF 其中正确结论的序号是 .三、解答题（共 75 分）16、（本小题满分 12 分）如图 5-1-35，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1)求证：PCBC；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离。17、（本小题满分 12 分）如图 5-1-36，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。EF25-1-37111ABCABC11BCC B11BCAB1ABC11ABCD11AC1/AB1BCD11:AD DC 19、（湖南省岳阳市 2010 届高三教学质量检测试题二）（本小题满分 12分）一个四棱锥的三视图和直观图如图 5-1-38 所示：E 为侧棱 PD 的中点 如 5-1-34 图 5-1-35 图 5-1-36 图 5-1-37 （1）求证：PBAECPAFAPFPABDFBDCF 5-1-39ABC,221AEBD （I）求证：OD/平面 ABC；（II）能否在 EM 上找一点 N，使得 ON平面 ABDE 若能，请指出点 N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由 21、（本题满分 14 分）如图 5-1-40，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF AB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为 BC 的中点，()求证：FH 平面 EDB;（）求证：AC平面 EDB;（）求四面体 BDEF 的体积；A P C A D C B D B P P 2 2 2 2 60)1 正视图 侧视图 视图 A B C F E P 图 5-1-38 图 5-1-39 ABCDEFH图 5-1-40